Chapitre II Système international d'unités PDF

Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités CHAPITRE II : SYSTEME INTERNATIONAL D'UNITES Contenu du chapitre : 1. Le Système international dÕunités SI Unités de base. Symboles....

Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités CHAPITRE II : SYSTEME INTERNATIONAL D'UNITES Contenu du chapitre : 1. Le Système international dÕunités SI Unités de base. Symboles. Unités dérivées. Autres unités. 2. Modèles des relations entre unités de mesures. 3. Mesure, 4. Erreurs Incertitudes Terminologie des incertitudes de mesure. 5. Les modes d'évaluation des incertitudes de mesure. 6. Loi de composition des incertitudes de mesure. I.1 LE SYSTEME INTERNATIONAL D’UNITES SI C’est une sélection de grandeurs, reconnue par tous les pays qui se comparent au plus haut niveau et qui permet d’associer toutes les unités de mesure à un petit nombre d’étalons fondamentaux. La précision de ces étalons peut être sans cesse améliorée, c’est là l’une des missions des laboratoires nationaux de métrologie comme le LNE. On distingue deux classes d’unités SI :  Les unités de base ;  Les unités dérivées. II.1.1 Unités de base Néanmoins, la Conférence générale a pris en considération les avantages que présente l’adoption d’un système mondial d’unités, unique et pratique, pour les relations internationales, l’enseignement et la recherche scientifique, et a décidé de fonder le Système international sur un choix de sept unités bien définies que l’on convient de considérer comme indépendantes du point de vue dimensionnel : le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère, le kelvin, la mole et la candela. Ces unités SI sont appelées unités de base. II.1.2 Symboles Unité de longueur : le mètre (symbole : m) : Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458 de seconde. Cycle dÕingénieur : 3ème année 1 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Unité de masse : le kilogramme (symbole : kg) : Le kilogramme est l’unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international du kilogramme. Unité de temps : la seconde (symbole : s) : La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental du césium 133. Unité de courant électrique : l’ampère (symbole : A) : L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux circuits conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance d’un mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2.10-7 newton par mètre de longueur Unité de température thermodynamique : le kelvin (K) : Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l’eau. Aussi que l’unité de kelvin et son symbole K sont utilisés pour exprimer un intervalle ou une différence de temp. Remarque : en dehors de la température thermodynamique (symbole : T) exprimée en kelvins, on utilise aussi la température Celsius (symbole t) définie par l’expression t = T-T0 Unité de quantité de matière : la mole (symbole : mol) : La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y a d’atomes dans 0, 012 kilogramme de carbone 12. Remarque : Lorsqu’on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d’autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules. Unité d’intensité lumineuse : la candela (symbole : cd) : La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 hertz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1/683 watt par stéradian. Cycle dÕingénieur : 3ème année 2 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-1. Unités de base du SI Grandeur de base Unité SI de base Nom de la grandeur de base Symbole Nom de l’unité SI de base Symbole Longueur l, x, r, etc. Mètre m Masse M Kilogramme kg Temps, durée T Seconde s Courant électrique I, i Ampère A Température thermodynamique T Kelvin K Quantité de matière N Mole mol Intensité lumineuse Iv Candela cd II.1.3 Unités dérivées : La deuxième classe des unités SI est celle des unités dérivées. Ce sont les unités qui sont formées en combinant les unités de base d’après des relations algébriques qui lient les grandeurs correspondantes. Les noms et les symboles de ces unités sont exprimés à l’aide des noms et symboles des unités de base. Certains d’entre eux peuvent être remplacés par des noms et des symboles spéciaux qui peuvent être utilisés pour exprimer les noms et symboles d’autres unités dérivées (Tableau 2-2). Certaines unités dérivées ont reçu un nom spécial (Tableau 2-3) qui peut à son tour, être utilisé pour former d’autres noms d’unités (Tableau 2-4). Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-2. Exemples d'unités SI dérivées cohérentes exprimées à partir des unités de base Grandeur dérivée Unité SI dérivée cohérente Nom Symbole Nom Symbole Superficie A Mètre carré m2 Volume V Mètre cube m3 Vitesse v Mètre par seconde m s-1 Accélération a Mètre par seconde carrée m s-2 Nombre d'ondes σ Mètre à la puissance m-1 moins un Masse volumique ρ Kilogramme par mètre kg m-3 cube Masse surfacique ρA Kilogramme par mètre kg m-2 carré Volume massique v Mètre cube par m3kg-1 kilogramme Cycle dÕingénieur : 3ème année 3 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Densité de courant j Ampère par mètre carré A m-2 Champ magnétique H Ampère par mètre A m-1 Concentration de quantité de c Mole par mètre cube mol m-3 matière, concentration Concentration massique ρ, γ Kilogramme par mètre cube kg m-3 Luminance lumineuse Lv Candela par mètre carré cd m-2 Indice de réfraction n (Le nombre) un 1 Perméabilité relative μr (Le nombre) un 1 Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-3. Unités SI dérivées cohérentes ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers Unité SI dérivée cohérente Grandeur dérivée Nom Symbole Expression utilisant Expression d'autres unités SI en unités SI de base Fréquence Hertz Hz s-1 Force Newton N m kg s-2 Pression, contrainte Pascal Pa N/m2 m-1 kg s-2 Énergie, travail, Joule J Nm m2 kg s-2 Quantité de chaleur Puissance, flux Watt W J/s m2 kg s-3 Énergétique Température Celsius degré °C K Celsius Flux lumineux Lumen lm cd sr cd Luminance lumineuse Lux lx lm/m2 m-2 cd Activité d'un radionucléide Becquerel Bq s-1 Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-4. Exemples d'unités SI dérivées cohérentes dont le nom et le symbole comprennent des unités SI dérivées cohérentes ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers : Unité SI dérivée cohérente Unité SI dérivée cohérente Grandeur dérivée Nom Symbole Expression en unités SI de base Viscosité dynamique Pascal seconde Pa s m-1 kg s-1 Moment d'une force Newton mètre Nm m2 kg s-2 Tension superficielle Newton par mètre N/m kg s-2 Flux thermique surfacique, Watt par mètre carré W/m2 kg s-3 Éclairement énergétique Capacité thermique, entropie Joule par kelvin J/K m2 kg s-2 K-1 Capacité thermique massique, Joule par J/(kg K) m2 s-2 K-1 Entropie massique Kilogramme kelvin Énergie massique Joule par J/kg m2 s-2 Kilogramme Conductivité thermique Watt par mètre kelvin W/(m K) m kg s-3 K-1 Énergie volumique Joule par mètre cube J/m3 m -1 kg s-2 Champ électrique Volt par mètre V/m m kg s-3 A-1 Énergie molaire Joule par mole J/mol m2 kg s-2 mol-1 Entropie molaire, capacité Joule par mole kelvin J/(mol K) m2 kg s-2 K-1 mol-1 Cycle dÕingénieur : 3ème année 4 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Thermique molaire Exposition (rayons x et γ) Coulomb par kilogramme C/kg kg-1 s A Débit de dose absorbée Gray par seconde Gy/s m2 s-3 Intensité énergétique Watt par stéradian W/sr m4 m-2 kg s-3 = m2 kg s-3 Luminance énergétique Watt par mètre carré W/(m2 sr) m2 m-2 kg s-3 = kg s-3 stéradian Concentration de l'activité Katal par mètre cube kat/m3 m-3 s-1 mol catalytique II.1.4 Autres unités Unités supplémentaires A côté de ces unités de base et des unités dérivées, il existe des unités supplémentaires, au nombre de deux :  L’unité d’angle plan le radian (symbole : rad); le radian est l’angle plan compris entre deux rayons qui, sur la circonférence d’un cercle, interceptent un arc de longueur égale à celle du rayon,  L’unité d’angle solide : le stéradian (symbole : sr); le stéradian est l’angle solide qui, ayant son sommet au centre d’une sphère, découpe sur la surface de cette sphère une aire égale à celle d’un carré ayant pour côté le rayon de la sphère. Les grandeurs angle plan et angle solide doivent être considérées comme des unités dérivées sans dimension qui peuvent être utilisées ou non dans les expressions des unités dérivées (Tableau 2-5). Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-5. Exemples d’unités SI dérivées exprimées en utilisant des unités supplémentaires Grandeur Unité SI Nom Symbole Vitesse angulaire Radian par seconde rad. s−1 Accélération angulaire Radian par seconde carrée rad. s−2 Luminance énergétique Watt par mètre carre stéradian W. m−2.sr−1 Multiples et sous-multiples Lorsqu’une unité s’avère trop grande ou trop petite, pour l’emploi envisagé, on utilise des multiples ou des sous- multiples exclusivement décimaux. Ils sont obtenus en joignant un préfixe, choisi (Tableau 2-6), au nom de l’unité. Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-6. Préfixes SI Facteur Nom Symbole Facteur Nom Symbole 1 -1 10 Déca da 10 Déci d 102 Hecto h 10-2 Centi c 3 -3 10 Kilo k 10 Milli m Cycle dÕingénieur : 3ème année 5 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités 106 Méga M 10-6 Micro μ 109 Giga G 10-9 Nano n 1012 Téra T 10-12 Pico p 15 -15 10 Péta P 10 Femto f 1018 Exa E 10-18 Atto a 21 -21 10 Zetta Z 10 Zepto z 1024 Yotta Y 10-24 Yocto y Les noms et les symboles des multiples et sous-multiples décimaux de l'unité de masse sont formés par l'adjonction de noms de préfixes au mot 'gramme' et de symboles de ces préfixes au symbole de l'unité 'g'. I.2 MODELES DES RELATIONS ENTRE UNITES DE MESURES Le tableau suivant décrit les 10 relations fondamentales concernant les grandeurs physiques utilisées surtout en mécanique. A partir de chacune de ces relations entre grandeurs physiques (relations appelées familièrement "des formules") nous dégagerons systématiquement une relation produite entre les unités de mesure. Remarque : en mécanique l'énergie (en Joule) est parfois appelée "travail", la force (en Newton) est parfois appelée "effort", la pression (en Pascal) est parfois appelée "contrainte", et le couple (en Newton Mètre) est parfois appelé "moment". Définition du newton : Force qui communique, à un corps ayant une masse de 1 kilogramme, une accélération de 1 mètre par seconde carrée. Définition du pascal : Pression uniforme qui, agissant sur une surface plane de 1 mètre carré, exerce perpendiculairement à cette surface une force totale de 1 newton. Définition du joule : Energie produite par une force de 1 newton dont le point d'application se déplace de 1 mètre dans la direction de la force. Définition du watt : Puissance d'un système énergétique dans lequel est transférée uniformément une énergie de 1 joule pendant 1 seconde. Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-7. Les 10 relations fondamentales de mécanique N° Désignation Relation entre Relation entre les grandeurs Relation produit entre les les grandeurs physiques en toutes lettres unités 1 Force d'un système statique F=p.S force = pression x surface 1 N = 1 Pa x 1 m2 2 Force d'un système dynamique F=m.a force = masse x accélération 1 N = 1 kg x 1 m.s-2 Cycle dÕingénieur : 3ème année 6 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités 3 Puissance d'un système mécanique P=c.Ω puissance = couple x vitesse 1 W = 1 N.m x 1 rad.s-1 de rotation angulaire 4 Puissance d'un système mécanique P=F.v puissance = force x vitesse 1 W = 1 N x 1 m.s-1 de translation linéaire 5 Energie développée par un système W=P.t énergie = puissance x temps 1J=1Wx1s de puissance P pendant un temps t 6 Energie développée par une force F W=F.d énergie = force x distance 1J=1Nx1m produisant un déplacement d 7 Quantité de mouvement d'une q=m.v quantité de mouvement = 1 kg.m.s-1 = 1 N.s masse m se déplaçant à la vitesse v masse x vitesse linéaire 8 Energie potentielle de pesanteur W=m.g.z énergie = masse x accélération 1 J = 1 kg x 1 m.s-2 x 1 m d'une masse m à une altitude z x altitude 9 Energie dans un système mécanique W=(J.Ω2)/2 énergie = ½ x moment d'inertie 1 J = 1 kg x 1 m2.s-2 de rotation x vitesse angulaire ² 10 Energie dans un système mécanique W=(m.v2)/2 énergie = ½ x masse x vitesse 1 J = 1 kg x 1 m2.s-2 de translation linéaire² Tableau Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-8. Les 10 relations fondamentales d'électronique N° Désignation R. entre les Relation entre les grandeurs physiques Relation produit grandeurs en toutes lettres entre les unités 1 Puissance d'un système électrique P=U.I puissance = tension x courant 1W=1Vx1A 2 Tension dans une résistance électrique U=R.I tension = résistance x courant 1V=1Ωx1A ("loi d'ohm") 3 Quantité d'électricité dans un circuit Q=I.t quantité d'électricité = courant x temps 1C=1Ax1s électrique 4 Quantité d'électricité dans un Q=C.U quantité d'électricité = capacité x tension 1C=1Fx1V condensateur 5 Flux magnétique dans un circuit Φ=U.t flux = tension x temps 1 Wb = 1 V x 1 s électrique 6 Flux magnétique dans une bobine Φ=L.I flux = inductance x courant 1 Wb = 1 H x 1 A 7 Constante de temps d'un circuit RC t=R.C temps = résistance x capacité 1s=1Ωx1F 8 Constante de temps d'un circuit RL t=L/R temps = inductance / résistance 1H=1Ωx1s 9 Energie emmagasinée dans un W=(C.U2)/2 énergie = ½ x capacité x tension² 1 J = 1 F x 1 V² condensateur 10 Energie emmagasinée dans une bobine W=(L.I2)/2 énergie = ½ x inductance x courant² 1 J = 1 H x 1 A² Example : Cycle dÕingénieur : 3ème année 7 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités II.3 MESURE : La métrologie en mécanique est l'ensemble des moyens techniques utilisés pour la mesure et le contrôle de pièces mécaniques. Elle permet de déterminer la conformité des produits, mais elle participe aussi à l’amélioration de la qualité. En effet, on ne peut valider une action sur un procédé qu’en vérifiant le résultat de cette action par une mesure. En mécanique générale, la métrologie s'intéresse :  Au contrôle des pièces exécutées ou en cours d'usinage.  Au contrôle, sur machine de la position de la pièce par rapport à l'outil.  À la vérification géométrique des machines-outils.  Au contrôle statistique des performances possibles sur chaque machine-outil. En mécanique automobile, la métrologie s'intéresse :  Au contrôle des organes mécaniques pouvant subir une usure ou une déformation due au fonctionnement (ex : frottement cylindre/piston). Les mesures et/ou les contrôles de pièces mécaniques s’effectuent en respectant les conditions suivantes : Cycle dÕingénieur : 3ème année 8 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités  Température ambiante de la pièce à contrôler et des instruments de mesures voisine de 20°.  Pièce à contrôler propre.  Ebavurage convenable.  Précision des appareils de mesures impose :  Manipulation soignée (pas de choc).  Entretien régulier et approprié.  Rangement systématique après utilisation. II.4 ERREURS ET INCERTITUDES DE MESURE Aucune mesure n'est parfaite. Quel que soit le soin apporté à sa mise en œuvre, la précision de l'appareil, la compétence de l'opérateur, le respect des règles de manipulation et de contrôle sévère de tous les paramètres d'influence, il restera toujours une incertitude sur la mesure, aussi infinie soit-elle. C'est pourquoi toute mesure, pour être complète, doit comporter la valeur mesurée et les limites de l'erreur possible sur la valeur donnée. II.4.1 Erreur : L'erreur de mesure a été définie comme la différence entre le résultat mesuré et une valeur de référence (obtenue à partir d'une méthode ou d'une mesure standard). Cette définition reflète que toute mesure expérimentale est entachée d'une erreur, aussi petite soit-elle. Toutefois, le calcul de l'erreur est dans certains cas impossible : il faut en effet connaître la valeur "réelle" (ou valeur de référence), ce qui n'est pas toujours le cas. II.4.2 Incertitude : L'incertitude de mesure a été définie comme un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs autour d'une valeur "moyenne" (pas forcément la moyenne arithmétique) d'un mesurande. Elle reflète l'impossibilité de connaître exactement la valeur du mesurande. De même que tout mesurage est entaché d'une erreur, tout mesurage est accompagné d'une incertitude, c'est-à-dire d'un doute sur la valeur mesurée. Aussi, de même que la quantification d'une grandeur est caractérisée par une valeur numérique et une unité, la mesure d'une grandeur est caractérisée par une valeur numérique, une unité et une incertitude. Il est à noter que, contrairement à l'erreur, l'incertitude n'a pas de signe. Le résultat du mesurage sera donc noté de la façon suivante : Résultat du mesurage = ("valeur numérique" ± "incertitude") "unité" Par convention, l'incertitude sur une grandeur est notée en reprenant le symbole de la grandeur précédé du signe Δ. Ainsi, à une grandeur X, on associe une incertitude de mesure ΔX. ΔX est appelée "incertitude absolue". Comme pour l'erreur, on peut également exprimer l'incertitude en valeur relative. Ainsi, l'expression de l'incertitude relative correspondant à une incertitude absolue ΔX est la suivante : {Delta X} \{X} Cycle dÕingénieur : 3ème année 9 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités A noter que l'incertitude est une caractéristique de la mesure et qu'il n'est pas nécessaire de connaître l'erreur de la mesure pour quantifier l'incertitude de mesure. Erreur absolue, incertitude absolue : Soient :  X : la valeur mesurée de la grandeur  Xe : la valeur théorique exacte de la même grandeur. L’erreur absolue, notée X est l'écart qui existe entre la valeur mesurée et sa valeur théorique exacte exprimée avec la même unité. X X Xe Comme la valeur exacte de la grandeur à mesurer est inconnue, il faut évaluer une limite supérieure de l'erreur absolue qui n'est autre que l'incertitude absolue notée : Xsup X Erreur relative, incertitude relative L'erreur relative est le quotient de l'erreur absolue à la valeur exacte r  XXe  X XeXe Comme il s'agit d'un nombre sans dimension (pas d'unité), on l'exprime généralement en pourcentage (%) :  r %  XXe  100  X XeX e  100 Également, si la valeur exacte de la grandeur est inaccessible, on prendra la limite supérieure de X l'erreur relative qui n'est autre que l'incertitude relative : Xe X On peut l'exprimer en % : Xe  100 Remarque : les erreurs sont de signe quelconque (positif ou négatif). Expression du résultat Le résultat peut s'exprimer de deux façons : 1ère façon : La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de l'incertitude absolue : Cycle dÕingénieur : 3ème année 10 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités X e  X  X unité 2ème façon : La valeur adoptée est égale à la valeur mesurée suivie de l'évaluation de l'incertitude relative :  X  X e  X  unité    %  X  Exemples : R 10 5% ou R (10.0 0.5) II.4.3 Calcul pratique de l’incertitude II.4.3.1 Cas des appareils analogiques (ou à déviation) Ce type d'appareil a pour principe de donner une déviation d'aiguille sur une échelle graduée proportionnelle à la valeur de la grandeur à mesurer. Ainsi la valeur mesurée sera donnée par la relation suivante : 𝐶L 𝑋= 𝐸 Avec : C : le calibre utilisé [unité] L : la lecture (nombre de graduations lues sur l’échelle) E : l’échelle (nombre total de graduations de l’échelle) Un appareil de mesure à déviation est caractérisé par son indice de classe de précision qui entraîne, suite à son utilisation : Une incertitude de classe 𝐶𝐿𝐶 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝐶𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝛥𝑥 = = 100 100 De plus, l'opérateur n'étant pas parfait ; il peut commettre une erreur de lecture qui entraîne : Une incertitude de lecture L’incertitude de lecture est due soit à une mauvaise vue, soit de mauvaises conditions de la lecture. On désigne par 𝚫𝑳 la fraction de graduation d’erreur commise (appelée aussi la fraction de division estimé lors de la mesure), l’incertitude de lecture sera donnée par la relation suivante : Cycle dÕingénieur : 3ème année 11 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités 𝐶Δ𝐿 Δ𝑥 = 𝐸 L’incertitude totale La méthode est aussi une source d'incertitude à évaluer (notée 𝚫𝒙𝐦é𝐭𝐡𝐨𝐝𝐞 ). D'où l’incertitude totale sera la somme de l'incertitude de classe, de l'incertitude de lecture et de l'incertitude de méthode si elle existe : 𝛥𝑥 = 𝛥𝑥 + 𝛥𝑥 + 𝛥𝑥 é II.4.3.2 Cas des appareils numériques Pour les appareils à affichage numérique, les constructeurs fournissent sous le nom de précision une indication qui permet de calculer l'incertitude totale sur la mesure. La précision est généralement donnée en pourcentage de la lecture pour chaque gamme. Elle peut être exprimée de deux façons : 1ère façon : Δ𝑥 = ±(𝑥% 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 + 𝑦% 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑒) On obtient donc : 𝑥𝐿 𝑦𝐺 𝛥𝑥 = + 100 100 Avec : G : la gamme utilisée [unité] L : la lecture (affichée directement sur l’afficheur de l’appareil) 2eme façon : Δ𝑥 = ±(𝑥% 𝐿𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 + 𝑛 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠) On obtient donc : Cycle dÕingénieur : 3ème année 12 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités 𝑥𝐿 𝑛𝐺 Δ𝑥 = + 100 𝑁 Avec : n : le nombre de points d’erreur commise par appareil N : le nombre total de points de l’appareil II.5 LES MODES D'EVALUATION DES INCERTITUDES DE MESURE : Il existe deux manières de déterminer l'incertitude du résultat d'un mesurage ; on parle d'évaluation de type A ou d'évaluation de type B. Par extrapolation, on parle souvent d'incertitude de type A et d'incertitude de type B, mais ceci ne doit pas laisser penser qu'il s'agit de deux incertitudes différentes. Il s'agit en fait de deux façons d'estimer l'incertitude du résultat d'un mesurage. Au-delà de cette classification liée au mode d'obtention, on distingue les incertitudes suivantes Incertitude-type Ce terme est utilisé pour évoquer l'incertitude associée à une grandeur dont on a réalisé un mesurage direct. Par exemple, si la grandeur est une résistance électrique dont on détermine la valeur en branchant directement cette résistance sur un ohmmètre, l'incertitude associée est appelée incertitude-type. Incertitude-type composée Par opposition à l'incertitude-type, ce terme est utilisé pour le résultat d'un mesurage indirect comme par exemple lorsqu'une valeur est obtenue à partir des valeurs de plusieurs autres grandeurs soumises directement au mesurage. Si on reprend l'exemple de la résistance électrique, on détermine cette fois sa valeur en alimentant la résistance par un générateur électrique. On procède alors au mesurage du courant qui traverse la résistance (I) et de la tension aux bornes de la résistance (U). En utilisant la loi d’Ohm (U = R x I), on peut obtenir la valeur de la résistance R à partir des valeurs de U et I. L'incertitude qui sera associée à la valeur de R est une incertitude-type composée. Incertitude élargie Elle s'obtient en multipliant une incertitude-type (composée ou non) par un facteur d'élargissement, ce qui permet d'augmenter la certitude que la valeur vraie de la grandeur se trouve à l'intérieur de l'intervalle définit par l'incertitude élargie. II.5.1 Évaluation de type A de l'incertitude Pour les variables xi, générant des erreurs aléatoires de type A, la méthode d’estimation statistique est utilisée. Si on nomme xij les résultats d’une série de N mesures du paramètre xi, la moyenne correspondante est Cycle dÕingénieur : 3ème année 13 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités 1 N  ( xi )  xi   xij n j 1 Si on veut caractériser la dispersion des moyennes 𝑥𝚤 d'échantillon, l’incertitude type est :  (Xi )  ( xi )   ( X i )  N Dans la pratique, l'écart-type expérimental de la moyenne est appelé incertitude type de répétabilité. Exemple : Répétabilité (même opérateur, même instrument, même lieu, même étalon) extraite d'un étalonnage d'un micromètre suivant procédure le concernant ; on mesure cinq fois une cale étalon de 25 mm ; le nombre de mesures individuelles est réduit pour l'exemple. Mesure Relevé Écart à 25 en μm Mesure no 1 25,007 7 Mesure no 2 25,010 10 Mesure no 3 25,008 8 o Mesure n 4 25,011 11 Mesure no 5 25,008 8 Écart-type estimé uA (pour une mesure) 1,65 μm II.5.2 Évaluation de type B de l’incertitude : Pour les variables xi, générant des erreurs de type B l’approche est moins structurée : on « appréciera » les moyennes et les incertitudes type en utilisant les informations techniques disponibles et des distributions (pas nécessairement gaussiennes) supposées à priori. La moyenne μ(xi) sera par exemple estimée à partir de certificat d'étalonnage, constat de vérification, valeur trouvée dans la littérature, notice du constructeur, archives de production,.. L’incertitude-type μ(xi) sera estimée à partir :  De l’identification de la loi de probabilité associée à xi,  Des valeurs extrêmes que peut prendre physiquement xi. Pour arriver à exprimer l'incertitude de type B sous forme d'un écart-type, il faut recourir à des lois de probabilité dont les plus employées sont rassemblées dans le tableau suivant. Notons qu'elles se rapportent ici à une distribution de valeurs d'une variable aléatoire de moyenne µ = 0 et d'étendue [-a ; +a] = 2a. Cycle dÕingénieur : 3ème année 14 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités D'une manière générale, si le constructeur fournit l'incertitude-type, on l'utilise directement. Si on a très peu d'information sur une grandeur d'entrée et que l'intervalle de variation supposé de celle- ci est de la forme  Δx = ± a alors l'incertitude-type est : a  ( x)  3  Δx = q (x entre 0 et q) alors l'incertitude-type est: q  ( x)  2 3 En considérant une loi uniforme sur l'intervalle de variation de la grandeur. Un cas intéressant peut être la dérive d’un instrument de mesure. Si l’analyse des résultats des étalonnages successifs montre une tendance qui peut être modélisée, alors on applique une correction C. On estime l’incertitude sur cette correction par exemple grâce à une technique de régression. Si 1‘examen des résultats des étalonnages ne montre pas de tendance, on ne peut pas parler de dérive mais de défaut de reproductibilité que l’on peut évaluer par la méthode statistique de type A. Figure Erreur ! Il n'y a pas de texte répondant à ce style dans ce document.-1. Lois de probabilité Loi Représentation graphique Ecart type Normale ou a gaussienne 3 a  3 Cycle dÕingénieur : 3ème année 15 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Uniforme ou a rectangulaire 3 a Dérivée d’arc sinus 2 Exemples d'incertitudes de Type B Résolution d'un appareil de mesure La graduation d'un instrument de mesure analogique ou l'afficheur d'un appareil numérique sont des sources d'incertitude. Si la résolution du dispositif de lecture est δx, la valeur du signal d'entrée qui produit une indication donnée X peut se situer avec une égale probabilité à n'importe quel endroit de l'intervalle x x X ;X  2 2 Le signal d'entrée est alors décrit par une loi de probabilité rectangulaire de largeur δx et d'écart- type x res ( x)  2 3 Cycle dÕingénieur : 3ème année 16 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités Appelée incertitude de résolution. Classe d'un instrument L'Erreur Maximale Tolérée (EMT) donne les limites extrêmes de variation de l'indication obtenue d'un instrument de mesure de classe définie par l'intervalle  a;  a ] L'incertitude-type associée est alors a classe ( x)  3 Hystérésis L'indication d'un instrument peut différer d'une quantité fixe selon que les lectures successives se font par valeurs croissantes ou décroissantes. La plupart du temps le sens de l'hystérésis n'est pas observable. Si la largeur de l'étendue des lectures possibles dues à cette cause est δx, l'incertitude-type due à l'hystérésis est x hyst ( x)  2 3 Variations de température Une des principales grandeurs d'influence d'un système de mesure est la température d'environnement du moyen de mesure (local, enceinte climatisée, boîtier,...). Dans la mesure où la température varierait entre 2 extrema de façon quasi sinusoïdale, la loi de probabilité associée à cette grandeur d'influence est la fonction dérivée d'arc sinus. Si les variations de la température sont telles que ΔT = ± b, alors l'incertitude-type due aux variations de température est b temp (T )  2 II.6 LOI DE COMPOSITION DES INCERTITUDES DE MESURE En général, la valeur de la grandeur à mesurer (Xe) est obtenue par une relation mathématique : Xef (a, b, c, K). De ce fait, on peut utiliser l’outil mathématique « calcul de la différentielle » afin de déterminer les incertitudes : L'incertitude absolue s’exprime sous la forme suivante : Cycle dÕingénieur : 3ème année 17 Réalisé par Dr. DJEMANA.M  Cour : M.M Chapitre II : Système international d'unités f f f X .a .b .c a b ,ccte b a,ccte c a,b cte L'incertitude relative s’exprime sous la forme suivante : X f a f b f c . . . X a b ,ccte X b a,ccte X c a,b cte X Appliquons ces deux formules afin de déterminer les incertitudes absolues et relatives dans le cas des opérations de base : Somme : Cas d'une association de boîtes de résistances en série : R  R1  R2  R3 R R1  R2  R3 On obtient : R  R1  R2  R3 ou encore  R R1  R2  R3 Différence : Soit : I I1I2  I  I1   I 2 On obtient : II1I2 ou encore  I I1  I 2 Produit Cas d'une énergie : W UIt W U I t On obtient : WItU Ut I UI t ou encore    W U I t Quotient a Soit : X b a a X a b On obtient : X   b ou encore   b b2 X a b Cycle dÕingénieur : 3ème année 18 Réalisé par Dr. DJEMANA.M