Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits PDF

Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES PARFAITS 1 INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes. L’écoulement des f...

Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES PARFAITS 1 INTRODUCTION Dans ce chapitre, nous allons étudier les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les éléments d’un fluide en mouvement peuvent se déplacer à des vitesses différentes. L’écoulement des fluides est un phénomène complexe. On s’intéresse aux équations fondamentales qui régissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier : - l’équation de continuité (conservation de la masse), - le théorème de Bernoulli (conservation de l’énergie) et, - le théorème d’Euler (conservation de la quantité de mouvement) à partir duquel on établit les équations donnant la force dynamique exercée par les fluides en mouvement (exemple les jets d’eau). 2 ECOULEMENT PERMANENT L’écoulement d’un fluide est dit permanent si le champ des vecteurs vitesse des particules fluides est constant dans le temps. Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme dans l’espace. L’écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible est le seul que nous aurons à considérer dans ce cours. Un écoulement non permanent conduirait à considérer les effets d’inertie des masses fluides. 3 EQUATION DE CONTINUITE Considérons une veine d’un fluide incompressible de masse volumique ρ animée d’un écoulement permanent. 52  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits S1 dm1 S’1 dx1 r V1 M dm2 S2 S’2 dx2 r V2 On désigne par : - S1 et S2 respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à l’instant t, - S’1 et S’2 respectivement les sections d’entrée et de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt), - V1 et V2 les vecteurs vitesse d’écoulement respectivement à travers les sections S1 et S2 de la veine. - dx1 et dx2 respectivement les déplacements des sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps dt, - dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1 et S’1, - dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S’2, - M : masse comprise entre S1 et S2, - dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections S1 et S’1, - dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections S2 et S’2, A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse égale à (dm1+ M) A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a une masse égale à (M+ dm2). Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 53  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Par conservation de la masse: dm1 + M = M + dm2 en simplifiant par M on aura dm1 = dm2 Donc ρ1.dV1 = ρ 2.dV2 ou encore ρ1.S1.dx1 = ρ 2.S 2.dx2 , En divisant par dt on abouti à : dx1 dx ρ1.S1. = ρ 2.S 2. 2 ⇔ ρ1.S1.V1 = ρ 2.S 2.V2 dt dt Puisque le fluide est incompressible : ρ1 = ρ 2 = ρ On peut simplifier et aboutir à l’équation de continuité suivante : S1.V 1= S 2.V2 (1) 4 NOTION DE DEBIT 4.1 Débit massique dm Le débit massique d’une veine fluide est la limite du rapport quand dt tend dt vers 0. dm qm = dt où : - qm est la masse de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dm : masse élémentaire en (kg) qui traverse la section pendant un intervalle de temps dt. - dt : intervalle de temps en (s) en tenant compte des équations précédentes on obtient : dm dx dx qm = = ρ.S1. 1 = ρ.S 2. 2 (2) dt dt dt avec : dx1 = V1 = V1 : Vitesse moyenne d’écoulement de la veine fluide à travers S1, dt dx 2 = V2 = V2 : Vitesse moyenne d’écoulement de la veine fluide à travers S2 dt D’après (2) : Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 54  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits q m = ρ.S1.V1 = ρ.S 2.V2 Soit dans une section droite quelconque S de la veine fluide à travers laquelle le fluide s’écoule à la vitesse moyenne v : q m = ρ.S.V (3) où : qm : Débit massique en (kg/s) ρ : Masse volumique en (kg/m3) S : Section de la veine fluide en (m2) V : Vitesse moyenne du fluide à travers (S) en (m/s) 4.2 Débit volumique dV Le débit volumique d’une veine fluide est la limite du rapport quand dt tend dt vers 0. dV qv = dt Où : - qv : Volume de fluide par unité de temps qui traverse une section droite quelconque de la conduite. - dV : Volume élémentaire, en (m3), ayant traversé une surface S pendant un intervalle de temps dt, - dt : Intervalle de temps en secondes (s), dm D’après la relation (3) et en notant que dV = on peut écrire également que ρ qm qv = soit ρ qv = S.V 4.3 Relation entre débit massique et débit volumique A partir des relations précédentes on peut déduire facilement la relation entre le débit massique et le débit volumique : qm = ρ.qv Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 55  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 5 THEOREME DE BERNOULLI – CAS D’UN ECOULEMENT SANS ECHANGE DE TRAVAIL Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 3 avec les mêmes notations et les hypothèses suivantes: - Le fluide est parfait et incompressible. - L’écoulement est permanent. - L’écoulement est dans une conduite parfaitement lisse. r On considère un axe Z vertical dirigé vers le haut. On note Z1, Z2 et Z respectivement les altitudes des centres de gravité des masses dm1, dm2 et M. On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2. r dm1 F1 S1 S’1 G1 Z1 dx1 r V1 M dm2 G Z S2 r S’2 F2 r Z2 G2 F2 r dx2 V2 Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 56  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son énergie 2 1 S 2 dm.V mécanique est : E mec = E pot + Ecin = (dm1.g.Z1 + MgZ ) + dm1.V1 + ∫ 2 2 S '1 2 A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son S2 dm.V 2 1 énergie mécanique est : E ' mec = E ' pot + E 'cin = ( MgZ + dm2.g.Z 2 ) + ∫ + dm2.V22 S '1 2 2 On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ : « La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures. » E 'mec − Emec = WForces de pression = F1.dx1 − F2.dx2 ⇔ E 'mec − Emec = P1.S1.dx1 − P2.S 2.dx2 = P1.dV1 − P2.dV2 1 1 P P en simplifiant on obtient : dm2.g.Z 2 + dm2.V22 − dm1.g.Z1 −.dm1.V12 = 1.dm1 − 2.dm2 2 2 ρ1 ρ2 Par conservation de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : ρ1 = ρ 2 = ρ , On aboutie à l’équation de Bernoulli : V22 − V12 P2 − P1 + + g ( Z 2 − Z1 ) = 0 (4) 2 ρ L’unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg) D’après la relation (4) on peut alors écrire : V22 P2 V12 P1 + + g.z 2 = + + g. z1 2 ρ 2 ρ 6 THEOREME DE BERNOULLI – CAS D’UN ECOULEMENT AVEC ECHANGE DE TRAVAIL Reprenons le schéma de la veine fluide du paragraphe 4 avec les mêmes notations et les mêmes hypothèses. On suppose en plus qu’une machine hydraulique est placée entre les sections S1 et S2. Cette machine est caractérisée par une puissance nette Pnet échangée avec le fluide, une puissance sur l’arbre Pa et un certain rendement η.Cette machine peut être soit une turbine soit une pompe. Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 57  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits - Dans le cas d’une pompe : le rendement est donné par l’expression suivante : Pnet η= Pa - Dans le cas d’une turbine : le rendement est donné par l’expression suivante : Pa η= Pnet Entre les instant t et t’=(t+dt), le fluide a échange un travail net Wnet = Pnet.dt avec la machine hydraulique. Wnet est supposé positif s’il s’agit d’une pompe et négatif s’il s’agit d’une turbine. On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections S1 et S2. A l’instant t le fluide de masse (dm1 + M) est compris entre S1 et S2. Son énergie 2 1 S 2 dm.V mécanique est : E mec = E pot + Ecin = (dm1.g.Z1 + MgZ ) + dm1.V1 + ∫ 2 2 S '1 2 r dm1 F1 S1 S’ G1 Z1 dx1 r V1 M dm2 G Z Pompe S2 r S’ Turbine F2 Z2 G2 r dx2 V2 Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 58  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits A l’instant t’=(t+dt) le fluide de masse (M+dm2) est compris entre S’1 et S’2. Son dm.V 2 1 S2 énergie mécanique est : E ' mec = E ' pot + E 'cin = ( MgZ + dm2.g.Z 2 ) + ∫ + dm2.V22 S '1 2 2 On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ :« La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures. »,en considérant cette fois ci le travail de la machine hydraulique E 'mec − Emec = F1.dx1 − F2.dx2 + Pnet.dt E ' mec − E mec = P1.S1.dx1 − P2.S 2.dx 2 + Pnet..dt = P1.dV1 − P2.dV2 + Pnet.dt en simplifiant on aura : 1 1 P P dm2.g.Z 2 + dm2.V22 − dm1.g.Z1 −.dm1.V12 = 1.dm1 − 2.dm2 + Pnet.dt Par conservation 2 2 ρ1 ρ2 de la masse : dm1 = dm2 = dm et puisque le fluide est incompressible : ρ1 = ρ 2 = ρ , V22 − V12 P2 − P1 P on aboutie à l’équation de Bernoulli : + + g ( Z 2 − Z1 ) = net (5) 2 ρ qm 7 THEOREME D’EULER : Une application directe du théorème d’Euler est l’évaluation des forces exercées par les jets d’eau. Celles-ci sont exploitées dans divers domaines : production de l’énergie électrique à partir de l’énergie hydraulique grâce aux turbines, coupe des matériaux, etc. Le théorème d’Euler résulte de l’application du théorème de quantité de mouvement à l’écoulement d’un fluide : dP ∑ Fext = dt ; avec P = mV G : quantité de mouvement. Ce théorème permet de déterminer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. Enoncé La résultante ( ∑ Fext ) des actions mécaniques extérieures exercées sur un fluide isolé (fluide contenu dans l’enveloppe limitée par S1 et S2 ) est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide qui entre en S1 à une vitesse V1 et sort par S2 à une vitesse V2. ∑ Fext = q m (V2 − V1 ) Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 59  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits Exemple : Considérons un obstacle symétrique par rapport à l’axe Z. Le jet d’un écoulement de débit massique qm, de vitesse V1 et de direction parallèle à l’axe Z , percute l’obstacle qui le dévie d’un angle β. Le fluide quitte l’obstacle à une vitesse V2 de direction faisant un angle β par rapport à l’axe Z. Z V2 V2 F V1 La quantité de mouvement du fluide à l’entrée de l’obstacle est : qm.V1 porté par l’axe Z. La quantité de mouvement du fluide à la sortie de l’obstacle est : qm.V1. cos β porté par l’axe Z. La force opposée au jet étant égale à la variation de la quantité de mouvement : R = qm.V2. cos β − qm.V1 La force F exercée sur l’obstacle en direction de Z est égale et opposée à celle- ci : F = qm.(V1 − V2. cos β ) Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 60  Chapitre 3 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits 8 CONCLUSION Les lois et les équations établies dans ce chapitre en particulier l’équation de Bernoulli ont un intérêt pratique considérable du moment ou elles permettent de comprendre le principe de fonctionnement de beaucoup d’instruments de mesure de débits tels que le tube de Pitot, le tube de Venturi et le diaphragme…etc. Réservées aux fluides incompressibles, ces lois et équations peuvent être employées dans certains cas particulier pour les fluides compressibles à faible variation de pression. Une telle variation existe dans plusieurs cas pratiques. Cependant, lorsqu’on veut prendre en considération la compressibilité dans les calculs, il est nécessaire d’employer les formules appropriées. 9 EXERCICES D’APPLICATION Exercice N°1: 1 ENONCE On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l’angle α (schéma ci-dessus). α R1 V1 V2 R2 l 1) Calculer le rapport des rayons (R1/R2). 2) Calculer ( R1 - R2 ) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R1 = 50 mm, α = 15°). 2 REPONSE 1) On applique l’équation de continuité : Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 61