Exercices de Mécanique des Fluides (PDF)

3ème Année Licence Energétique FGMGP/ USTHB CINEMATIQUE DES FLUIDES Exercice 1 Le champ de vitesse d'un écoulement de fluide est donné par : u  2 x     v ...

3ème Année Licence Energétique FGMGP/ USTHB CINEMATIQUE DES FLUIDES Exercice 1 Le champ de vitesse d'un écoulement de fluide est donné par : u  2 x     v  3y  w   z    On définit par (x, y, z) et (x0, y0, z0) les coordonnées d'une même particule aux instants respectifs t et t0. 1. L'écoulement est-il incompressible ? 2. L'écoulement est-il irrotationnel ? 3. Déterminer la représentation Lagrangienne de l'écoulement ; 4. Déterminer les projections sur le plan (x, y) des lignes de courant et de la trajectoire; Que peut-on en déduire ? justifier ? Exercice 2 Les lignes de courant d’un champ d’écoulement 2D particulier sont sous forme de cercles concentriques (figure). 1. L’intensité de vitesse est égale à V = r Où  = Vitesse angulaire de la masse fluide en rotation. Déterminer la circulation suivant le cercle de rayon a. Déterminer la circulation suivant le contour ABCD d’angle d’ouverture 2. Refaire le même calcul avec une vitesse d’intensité V = K/r Exercice 3 La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide incompressible est donnée par l'équation : 1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine. 2. Déterminer le débit volumique à travers deux points A(0,1) et B(1,0) Exercice 4 L'écoulement plan de la figure correspond au potentiel des vitesses suivant : Où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer la fonction de courant associée et localiser d'éventuels points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en s'aidant de la représentation qui en est donnée. Exercice 5 On étudie l'écoulement symétrique sur un demi-corps de longueur infinie, généré par la combinaison de deux écoulements : écoulement source d'intensité q situé à l'origine des coordonnées (ox, oy), et écoulement uniforme horizontal de vitesse -U s'écoulant dans le ses opposé à l'axe ox. 1. On demande de tracer graphiquement par combinaison d'écoulement, l'allure de la configuration de l'écoulement résultant (méthode graphique : pour la source prendre le sens trigonométrique avec  = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pour l'écoulement uniforme prendre le sens des Y positifs avec  = 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8) ; 2. Trouver les expressions des fonctions de courant et potentielle en fonction de m, U, x et y uniquement ; 3. Trouver les composantes de la vitesse de l'écoulement sur la surface du demi-corps obtenu (c.à.d. pour  = 0) en fonction de m, U, x et y ; 4. Déterminer la position du point d'arrêt x0 (point de stagnation) sur l'axe (ox), ainsi que la hauteur h correspondant à  = 0 et x= 0 ; 5. En utilisant l'équation de Bernoulli, trouver l'expression de la pression P() sur la surface du demi-corps en fonction de P, U, , m,  et r ; sachant que très loin en amont du demi-corps P et Usont connus. NB: L'écoulement est symétrique par rapport à l'axe (ox), aussi, on considérera uniquement l'axe des y positifs. Exercice 6 On s’intéresse à l’écoulement plan s’un fluide incompressible autour d’un cylindre solide, de rayon a, de hauteur infinie et d’axe oz. Représenter schématiquement les lignes de courant d’un tel écoulement en indiquant les points remarquables. Préciser la condition que doit satisfaire la vitesse V du fluide sur les parois du cylindre. On admet que le potentiel de vitesse est donnée par :  a2  r ,   V0 r 1  2  cos   r   1. Déterminer les composantes Vr et V et préciser les points d’arret 2. Schématisez le coefficient de pression autour du cercle. 3. On met maintenant le cylindre en rotation (). Pour tenir compte de l’effet de rotation du cylindre, on ajoute dans l’expression du potentiel de vitesse une singularité tourbillonnaire de circulation .  a2   r ,   V0 r 1  2  cos     2  r  a. Donner les nouvelles valeurs de Vr et V b. En se plaçant aux points particuliers = /2 et –/2, donner, en le justifiant, le signe de la circulation c. Discuter, en fonction de l’expression de la circulation  et a, la position des points d’arrêt sur le cylindre. d. Le modèle de fluide parfait permet-il de rendre compte de l’effet de rotation du cylindre sur l’écoulement du fluide ? A quel propriété du fluide doit-on faire appel ?. Exercice 7 On considère, dans le demi-plan y>0, l’écoulement défini par le potentiel complexe : f(z) = Vz2 Où z = x + iy est la variable complexe et V une constante réelle ; 1. Déterminer et tracer les lignes de courant ; 2. Déterminer la position à l’instant t, de la particule fluide qui à l’instant t1 occupe la position x=x1 et y=y1. Exercice 8 L’écoulement autour d’un cylindre de rayon a est donné par la fonction complexe :  a2  f ( z )  V  z    z  1. Tracer les lignes de courant et les équipotentielles de l’écoulement ; 2. Trouver le module de la vitesse de l’écoulement ; 3. En déduire la position du point d’arrêt. Exercice 9 On étudie l’écoulement d’un fluide parfait autour d’un cylindre avec circulation, défini par la  a2  fonction potentielle complexe : f z   U 0  z    i K Lnz ; où U0, a et K sont des constantes, z  z  2 le nombre complexe et i l’imaginaire. a. Trouvez le module de la vitesse d’écoulement bidimensionnelle V(u, v) ; b. Déterminez les fonctions de courant et potentielle en fonction de U 0, r, a, K et  ; c. Trouvez dans quelles conditions la fonction f(z) est analytique ou régulière.