Calcul des Dalles PDF

E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Table des matières 1) GENERALITES.................................................................................................. 2 2) Méthodes de calcul des dalles................................

E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Table des matières 1) GENERALITES.................................................................................................. 2 2) Méthodes de calcul des dalles.............................................................................. 4 3) Calcul des sollicitations........................................................................................ 5 4) Dispositions constructives.................................................................................. 11 5) POINCONNEMENT SOUS CHARGE LOCALISEE....................................... 13 6) CALCUL DES DEFORMATIONS A L’ELS VIS-A-VIS DES......................... 15 7) METHODE DE WOOD ARMER “Direct Design Method”............................. 19 8) BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE.................................................................. 20 1 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles CALCUL DES DALLES 1) GENERALITES Les dalles en béton armé ou hourdis sont des éléments de structure plans d’épaisseur faible par rapport à ses deux autres dimensions ; leur fonction principale est de transmettre les charges qui lui sont appliquées perpendiculairement à leur plan moyen ; comme on doit tenir compte des effets de l’environnement comme la température, et l’habilité des dalles à résister aux composantes des forces agissant dans le plan parallèle à leurs plan moyen. Les dalles en béton armé peuvent être utilisées comme plancher ou toiture d’habitation comme voile d’un réservoir ou d’une habitation et comme hourdis de tablier de pont pour transmettre des charges concentrées relativement importantes. Les dalles en béton armé peuvent être regroupées en deux principales catégories : a/ Planchers sans poutres (dalles non supportées par des poutres). Comme ‘plancher – dalle’ et ‘Plancher Champignon’. b/ Planchers supportés par des poutres. Comme on peut construire des variantes de dalles à partir de ces deux catégories. 1.1 Les planchers – dalles Elément de structure extrêmement simple en conception et en construction consistant en une dalle d’épaisseur constante supportée directement par les poteaux. Poteaux Chapiteau Poteaux Plancher dalle Plancher champignon La portée de la dalle et la charge qu’elle doit supporter caractérisent le choix entre un plancher- dalle et un plancher-champignon. La résistance des planchers-dalles est souvent limitée par sa résistance au poinçonnement à l’effort tranchant au niveau des sections sur le contour des poteaux d’où l’idée d’améliorer cette résistance par des chapiteaux et des élargissements. 2 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles 1.2 Dalles supportées par des poutres Ce système de dalle est né du système poutres où on peut facilement visualiser le cheminement des charges à partir du point d’application au poteau (dalle→poutrelle→poutre→poteau) ; et ainsi ou peut évaluer les éléments de réduction de chacun de ces éléments. En fonction de leur mode de fonctionnement les dalles supportées par des poutres se regroupent en 2 catégories. 𝐿𝑋 Dalle travaillant dans un seul sens : ⁄𝐿 ≤ 0.4 (poutres-dalles) 𝑌 𝐿𝑋 Dalle travaillant dans deux sens : 0.4 ≤ ⁄𝐿 ≤ 1 (dalles proprement dites) 𝑌 Poutre Lx Poutrelle Ly Lx : petit côté. Planchers supportés par des poutres Ly : grand côté. 1.3 Dalles caissons C’est une variante de dalles solides ; pouvant être visualisées comme étant un grillage de poutres entre-espacées par une distance relativement faible par rapport à la portée et supportant une dalle mince en partie supérieure. Les poches qui apparaissent à la face inférieure font alléger la dalle tout en gardant une grande épaisseur fictive. Les dalles caissons sont souvent utilisées pour des portées supérieures à 10m. 1.4 Dalles nervurées C’est une dalle caisson mais à qui on a enlevé les poutres dans un sens. Elles sont moins solides que les dalles caissons. 1.5 Les planchers préfabriqués en béton armé Ils sont constitués de poutrelles préfabriquées non jointives en béton armé ou précontraint, reliés pas des corps creux en céramique ou en béton ou en polystyrène et d’un hourdis coulé sur place au–dessus de ces éléments. Les poutrelles préfabriquées s’appuient à leurs extrémités sur des poutres ou des murs porteurs. Les planchers préfabriqués ne travaillent que dans un sens. Hourdis ou dalle de compression avec son armature en treillis soudé. Poutrelle 3 Entrevous E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles 1.6 Choix du type de dalle : Le choix d’un type de dalle dépend de plusieurs paramètres : Economie (coût de l’ouvrage) : considération importante mais reste qualitative comme argument ; Le type de chargement ; Les portées ; Condition de d’exploitation (ELS). Par exemple entre plancher–dalle et plancher–champignon pour une situation de 4.8KN/M2 et une portée de7 à 8m un plancher- champignon est un meilleur choix. Le paramètre coût peut être évalué correctement de la manière suivante : Coût de construction (main d'oeuvre) coût des matériaux. 2) Méthodes de calcul des dalles Pour calculer ou dimensionner une dalle en béton armé, plusieurs approches sont possibles. Ces dernières sont basées sur la théorie élastique, la théorie plastique et sur leurs modifications. 2.1 Méthodes élastiques Méthodes déduites de la théorie élastique des plaques minces, c’est-à-dire de la résolution de l’équation de Lagrange : q : chargement imposé à la dalle 4 4 4 q  W  W  W par unité de surface ; = + 2 + D 4 2 2 4 w : déplacement de la dalle dans la x x y y direction du chargement en un point (x,y) ; D : rigidité flexionnelle. Equation d’une plaque iso tropique déduite à partir des équations d’équilibre et de constitution. Moments par unité de longueur Efforts tranchants par unité de longueur 4  E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles La résolution de l’équation de Lagrange se fait soit par une analyse harmonique (Navier, Lévy, Newmark, Ritz, etc…), soit par une méthode numérique (différence finis, analogie de grillage, éléments finis et bandes finis). La méthode des éléments finis ‘MEF’ (méthode scientifiquement justifiée et correspondant au fonctionnement réel du plancher) reste la méthode la plus générale dans son application. 2.2 Méthodes plastiques (Méthodes des états limites ) Méthodes déduites de la théorie de plasticité : la théorie de plasticité est utilisée afin de prendre en compte le comportement plus au moins réel des dalles (fissuration, fluage des barres d’acier, non linéarité des relations, etc.) Les méthodes déduites de la théorie de plasticité se regroupent en deux catégories différentes : a) Théorème des limites supérieures : - Méthodes des lignes de rupture de ‘Johansen’ b) Théorème des limites inférieures : - Méthode des bandes simples de Hillerborg ; - Méthode avancée des bandes de Hillerborg ; - Méthode de Wood-Armer (voir s/chapitre 8) ; - Etc. 2.3 Méthodes approchées (simplifiées) Méthodes présentées par les codes d’utilisation de béton armé et qui sont en général issues de la théorie élastique tout en tenant compte de l’expérience. Par exemple la méthode forfaitaire présentée en annexe E.1 et méthode Caquot en annexe E.2 des Règles BAEL 91. 3) Calcul des sollicitations Nous présenterons les méthodes de calcul issues de l’utilisation d’un modèle élastique. 3.1 Flexion locale – Flexion générale : Lorsque l’hourdis est coulé sur place, il y a continuité de ferraillage entre celui-ci et les poutres qui le supportent. Il ne peut donc y avoir de glissement entre ces deux éléments. q Hourdis de portée lx va fléchir transversalement. lx l q l lx 5 poutre E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Les 2 poutres principales de portée l, vont fléchir longitudinalement et entraîner l’hourdis dans leurs déformations puisqu’il n’y a pas de glissement entre les 2 éléments. La flexion du hourdis considéré comme dalle s’appuyant sur les poutres est appelée flexion locale. La flexion du hourdis considéré comme membre supérieur des poutres est appelée flexion générale. Les sollicitations dans le hourdis sont donc la somme des sollicitations de flexion locale et de flexion générale. En fait, pour dimensionner une dalle, on fera abstraction conformément à l’art.’8.2.2’ des règles BAEL 91, de son rôle de hourdis de compression. On ne considérera donc que les sollicitations de flexion locale qui font l’objet des paragraphes suivants. 3.2 Dalle rectangulaire articulées sur leur contour : a) C.U.D. sur toute la surface de la dalle : (Annexe E.3 des Règles BAEL) 𝒍𝒙 1er cas : ≤ 𝟎. 𝟒 ly 𝒍𝒚 Mx Lx  0.4 Ly Dans ce cas, les moments My dans le sens de la grande portée sont faibles. On les néglige et on admet donc que la dalle ne porte que dans une seule direction « lx ». La dalle travaille donc comme une poutre de portée lx. Les moments et les efforts tranchants maximaux sont égaux par unité de largeur à :  2 M x = p lx = 0,125 p lx 2  8   = lx = 0,500 p lx  Tx p  2 2eme cas : 0,40    1 La dalle porte alors dans deux directions, ce qui augmente sa rigidité. Une méthode forfaitaire donne, en fonction de lx/ly, les moments « isostatiques » dans les sens lx et ly ; ces calculs sont menés pour des bandes de 1 m de largeur. 1m Mox = x p lx2 Moy = y Mox Mox p = 1,35 G + 1,5 Q lx ou p = G + Q suivant l’E.L.U ou l’E.L.S ly Moy 6  E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Les valeurs maxi de l’effort = 0,2 = 0,2 = 0,0  tranchant sont égales à : x y x y 0,40 0,112 0,293 0,110 - au milieu du grand côté : 0,45 0,105 0,333 0,102 p lx 1 0,50 0,098 0,373 0,095 Vx = 2  0,55 0,092 0,420 0,088 1+ 2 0,60 0,086 0,476 0,081 0,305 par unité de longueur 0,65 0,080 0,530 0,0745 0,369 0,70 0,074 0,585 0,068 0,436 - au milieu du petit côté : 0,75 0,068 0,643 0,062 0,509 p lx 0,80 0,063 0,710 0,056 0,595 Vy =  Vx 0,85 0,058 0,778 0,051 0,685 3 0,90 0,053 0,846 0,046 0,778 0,95 0,048 0,923 0,041 0,887 1,00 0,044 1,000 0,037 1,000 = 0,2 utilisée pour le calcul des déformations ; = 0,0 utilisée pour le calcul des sollicitations (ELU/ELS sauf pour le calcul des déformations). y < 0.025 correspondant à α < 0.557 ne sont pas à considérer vu l’article 8.2.41 *Art.8.2,41 : Les armatures disposées suivant deux directions perpendiculaires sont telles (en chaque point) que le rapport de la section armant la direction la moins sollicitée (armatures de répartition) à celle armant la direction orthogonale (la plus sollicitée) est au moins égal à : 1/3 avec charges concentrées ; 1/4 sans charges concentrées. y ≤ 1, ce qui signifie que le moment le plus important est dans le sens de la petite portée et par conséquent, le direction parallèle aux petits cotés sera la plus armé. Ce résultat qui peut paraître surprenant (on a tendance à vouloir mettre plus d’acier si la portée est plus grande) vient du fait que la part des charges transmise dans la direction de la petite portée est plus importante que celle transmise dans la direction de la grande portée. b) Charge localisée P au milieu de la dalle Les moments par unité de largeur au centre de la dalle se calculent par les expressions 𝑀𝑥 = (𝑀1 + 𝜈 𝑀2 ) 𝑃 suivantes :{ 𝑀𝑦 = (𝜈 𝑀1 + 𝑀2 ) 𝑃 M1 et M2 sont des coefficients dont les valeurs ont été calculées par M.PIGEAUD et mises par celui-ci sous forme d’abaques. Les valeurs maximales de l’effort tranchant sont égales à : P  Vu =  2 u + v   par unite de longueur. Vv = P  Vu  3u   u et v étant les dimensions du rectangle diffusé, dans le cas où u < v , inverser dans les formules ci-dessus u et v. 7 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles c) Charge localisée P excentrée On peut utiliser les abaques de PUCHER qui donnent les surfaces d’influence des moments et des efforts tranchants. Pour le cas de panneaux de hourdis des tabliers des ponts à poutres sous chaussées, M.THENOZ a établi des abaques qui figurent dans le bulletin technique n° 1 (et son complément du SETRA). 3.3 Dalles sur 4 appuis aux conditions diverses : bord libre, articulation et encastrement parfait On peut utiliser les abaques de PUCHER, ou les formulaires de résistance des matériaux pour les cas de charges simples ; soit les abaques de M.THENOZ pour les tabliers de pont. Le principe de calcul est basé sur les efforts qui s’y développeraient si les dalles étaient articulées sur leur contour. 3.4 Dalles rectangulaires continues Cas courant des panneaux de hourdis de ponts à poutres et des planchers de bâtiments qui s’appuient sur un réseau de poutres. On dit qu’un appui continu constitue un encastrement partiel. Les moments dans les panneaux de dalles continues se calculent forfaitairement à partir des efforts isostatiques Mx et My calculés sur l’hypothèse du panneau appuyé sur des appuis articulés. Dans le cas de planchers à charge d’exploitation modérée on applique la méthode dite ‘’forfaitaire’’ et pour le cas de charge d’exploitation relativement élevée on applique la méthode de Albert Caquot. 3.4.1 La méthode forfaitaire de calcul des planchers à charge d’exploitation modérée Elle s’applique dans les cas où : - QB ≤ 2 G ou QB ≤ 5 KN/m² - La fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celles des cloisons ; - Les éléments de plancher ont une même inertie dans les différentes travées ; - Les portées vérifient : Li-1 li li+1 0.8 ≤ li / li-1 ≤ 1.25 0.8 ≤ li / li+1 ≤ 1.25 Dans le cas où l’une des hypothèses 2,3 ou 4 ne serait pas vérifiée : appliquer la méthode de Caquot pour les planchers à QB › 2G en modifiant les moments sur appui provenant de G par un coefficient variant entre 1 et 2/3. Les moments Mx et My au centre de la dalle, calculés dans l’hypothèse de l’articulation peuvent être réduits de 15 à 25% selon les conditions d’encastrement (art.A8.2.32. des règles BAEL 91) ; 8 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Les moments d’encastrement sur les grands et petits côtés sont évalués au moins à 50% du Mx dans le sens de la petite portée. Appelons : Mx : moment maximal au centre du panneau articulé dans la direction lx ; Mtx : moment au centre du panneau de la dalle continue dans la direction lx ; Mwx et Mex : moments sur les appuis constitués par les grands côtés de gauche et de droite ; My : moment maximal au centre du panneau articulé dans la direction ly ; Mty : moment au centre du panneau de la dalle continue dans la direction ly ; Mwy et Mey : moments sur les appuis constitués par les petits côtés de gauche et de droite. α = QB / (G+QB) 3.4.1.1 cas  < 0,40 et la charge est uniforme - dans la direction lx Les moments évalués suivant la méthode forfaitaire de calcul des poutres de planchers : M + M M tx + wx ex  Max ( 1+ 0.3α) M ox ; 1.05 M ox  2 On adoptera les valeurs forfaitaires minimales suivantes : |Max| ≥ 0 0.6 M 0x1-2 0 Mx1-2 = Max (M0x1 ; M0x2) 1.2+0.3𝛼 1.2+.3𝛼 𝑀𝑡𝑥 ≥ 𝑀𝑜𝑥1 𝑀𝑜𝑥2 2 2 Max ≥ 0 0.5 M0x1-2 0.4 M0x2-3 1.2+0.3𝛼 1.0+.3𝛼 1.0+.3𝛼 𝑀𝑡𝑥 ≥ 𝑀𝑜𝑥1 𝑀𝑜𝑥2 𝑀𝑜𝑥3 2 2 2 M0x i-j = Max (M0xi ; M0xj) - dans le sens ly : Les moments de flexion sont négligés sauf sur les appuis, où on adoptera des moments de même ordre de grandeur que sur le petit côté. 3.4.1.2 Autres cas En prenant l’indice x ou y suivant le sens de flexion envisagé : 9 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Max May Mty Mtx lx ly Ma ≥ 0.3 Mo 0.5 Mo 0.5 Mo Mtx ≥ 0.85 Mo 0.75 Mo M + M Ce qui réalise : + w e  1.25 M M t o 2 3.4.1.3 Les moments minimaux : - en travée : C.U.D seulement : Mty ≥ Mtx / 4 Présence de charge concentrée : Mty ≥ Mtx / 3 - sur appuis : Max Max Max lx Max ly Pour les efforts tranchants, on admet que ceux-ci sont les mêmes que dans le cas du panneau articulé. 3.4.2 La méthode de Albert Caquot de calcul des planchers à charge d’exploitation relativement élevée Elle s’applique dans le cas où : QB › 2G ou QB › 5 KN/m² Se reporter à l’annexe E2 des Règles BAEL 91 rév99. 10 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles 3.5 Planchers champignons et planchers-dalles Pour le calcul des sollicitations dans ces planchers, on se reportera à l’annexe F4 des règles BAEL 91. Se reporter à l’annexe E4 des Règles BAEL 91 rév99. 4) Dispositions constructives 4.1 Epaisseur des dalles (h) a) Hourdis de ponts :BAEL 91 ne les traite pas ; b) planchers de bâtiments : b1- satisfaire la condition de l’isolation phonique : h= 14 cm b2- satisfaire la condition de résistance à l’incendie : - coupe-feu de 01Heure : h ≥ 07 cm ; - coupe-feu de 02 heures : h≥ 11 cm. b3- satisfaire la condition de déformabilité : 𝒍𝒙 cas : ≤ 𝟎. 𝟒 𝒍𝒚 𝒍 𝑙 𝒉 ≥ 𝟐𝟎𝒙 pour un panneau isolé ; ℎ ≥ 25𝑥 pour une dalle continue ; cas : 𝟎. 𝟒⟨𝜶⟨𝟏 𝑙 𝑙 ℎ ≥ 30𝑥 Pour un panneau isolé ; ℎ ≥ 40𝑥 pour une dalle continue. Ce qui permet en général de se dispenser des vérifications concernant E.L de déformation (B.7.5). 4.2 Nécessité de dispenser des armatures transversales Il n’est pas nécessaire de prévoir d’armatures transversales si on ne prévoit pas de reprise de bétonnage sur l’épaisseur de la dalle et si : 𝑉 𝑓𝑐𝑗 𝜏𝑢 = 𝑏 𝑢𝑑 ≤ 0.07 𝛾 Vu : effort tranchant à l’ELU par mètre de contour ; 0 𝑏 d : hauteur utile de la dalle. Pour les dalles travaillant dans les 2 sens, on considère que l’effort tranchant par mètre de contour 𝑃𝑙𝑥 𝑙𝑦 Vu est maximal au centre du grand côté et vaut : 𝑉𝑢 = 2𝑙𝑦 +𝑙𝑥 Si les conditions ne sont pas satisfaites  les armatures d’effort tranchant sont calculées comme dans le cas d’une poutre, quand il est impossible d’augmenter h. 11 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Si une pré-dalle est utilisée, il faut justifier la surface de reprise entre la pré-dalle et le béton coulé en place vis-à-vis du glissement. L’étude et la mise en œuvre des prédalles sont régies par le règlement BAEL 91 art B.7.6,0 ; l’épaisseur de la prédalle doit normalement être supérieure ou égale à 5 cm, ce qui permet de justifier sa tenue en phase provisoire ainsi que les conditions d’enrobage et de mise en œuvre. 4.3 Diamètre maximal des armatures : Pour que la liaison des armatures et le béton de la dalle soit correct, les armatures doivent avoir 𝒉 un diamètre 𝝋 ≤ 𝟏𝟎 4.4 Pourcentages minimaux d’acier Sens’ ly ‘ en exprimant h0 en mètres : 12 h0 pour les R.L ; Taux minimaux d’acier Ay,min (cm²/m) = 8 h0 pour HA FeE 400 ; en travée dans le sens 6 h0 pour HA FeE 500 ou T.S. « X » et « Y » 𝑐𝑚2 3−𝛼 Sens lx : 𝐴𝑥,𝑚𝑖𝑛 ( ) = Ay, min 𝑚 2 La section des aciers armant les deux directions de chaque nappe doit être au moins dans le rapport 1 à 3 si les charges appliquées comprennent des forces concentrées, et dans le rapport 1 à 4 dans le cas contraire. En, outre les aciers de chapeaux disposés sur les petits côtés des dalles doivent pouvoir équilibrer des moments équivalents à ceux disposés sur les grands côtés. Pour les appuis de rive, où pourraient se développer des moments d’encastrement partiel, on doit prévoir des ‘’chapeaux’’ capables d’équilibrer un moment égal à 0,15 Mo. 4.5 Espacements minimaux (1) Cas des charges réparties, fissuration peu préjudiciable : Stx ≤ Min (3h0 ; 33 cm) armatures dans le sens lx, Sty ≤ Min (4h0 ; 45 cm) armatures dans le sens ly. (2) Cas où la dalle supporte également des charges concentrées et où la fissuration est jugée préjudiciable : Stx ≤ Min (2h0 ; 25 cm) armatures dans le sens lx, Sty ≤ Min (3h0 ; 33 cm) armatures dans le sens ly. (3) Cas où la fissuration est jugée préjudiciable ou très préjudiciable : Pour h0≤ 40 cm Stx et Sty ≤ Min (2h0 ; 25 cm) et 𝜑 ≥ 6 mm sens l𝑥 si fissuration préjudiciable ; Stx et Sty ≤ Min (1.5h0 ; 20 cm) et 𝜑 ≥ 8 mm sens l𝑥 si fissuration très préjudiciable. 12  E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles 4.6 Arrêt des armatures (1) Armatures du centre Les aciers armant à la flexion la région centrale d’une dalle sont prolongés jusqu’aux appuis : - Dans leur totalité si la dalle est soumise à des charges concentrées mobiles ; - A raison d’une sur deux dans le cas contraire. Les autres armatures sont arrêtées à une distance des appuis inférieure au 1/10 de la portée lx. (2) Armatures sur appuis (dites en chapeau) : Les aciers de chapeaux auront pour longueur, vers l’intérieur des dalles à partir des contours, alternativement l1 ou l2. l1 = Max (l,lS) et l2 = max ( l1/2 ; lS) l = lX (0.05+0.3K) avec K = MW / M0 ou ME / M0 ls lx/10 l2 ls l1 lx lx/10 lx/10 l1 l2 lx/10 ls ls ly 4.7 Ouverture et trémie : On dispose de part et d’autre des ouvertures, dans les deux directions, une section d’acier équivalente à celle coupée. La transmission des efforts des barres coupées à celles de renfort se faisant par des bielles à 45°, la longueur des barres de renfort est a + b + 2 lS , où a et b sont les dimensions de la trémie. 5) POINCONNEMENT SOUS CHARGE LOCALISEE 5.1 Charge concentrée éloignée des bords de la dalle : Pas d’armatures transversales si : QU ≤ 0.045.UC.h.(fc28/b) Où : 13 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Qu = charge de calcul à l’E.L.U ; h = épaisseur de la dalle ; UC = périmètre du rectangle d’impact au niveau du feuillet moyen de la dalle. Ou, en tenant compte de l’effet favorable du quadrillage d’armatures : QU-Lim ≤ (0.05 + 1.5l ) UC.d.(fc28/b) Avec : l = min (√𝝆𝒍𝒙 𝝆𝒍𝒚 ; 0.015) et d = hauteur utile moyenne du quadrillage d’armatures. Sinon prévoir des armatures d’âme (de poinçonnement) calculées et disposées dans toute la zone intérieure à un contour parallèle au contour Uc et de périmètre Um. 𝛾𝑏. 𝑄𝑢 𝑄𝑢 𝑢𝑚 = ; 𝑢𝑚 ≻ 𝑢𝑐 ; 𝜏𝑢 = (𝑢 ≤ 𝑢 ≤ 𝑢𝑚 ) 0.045ℎ𝑓𝑐28 𝑢ℎ 𝑐 Rectangle d’impact : a0 (b0) P = p.a0.b0 h1 h0 a(b) h0/2 lx (ly) a0 et a : dimensions parallèles à lx ; b0 et b : dimensions parallèles à ly. a = a0 + h0 + 2h1 et b = b0 + h0 + 2h1  = 1 pour les revêtements en béton ; = 0.75 pour des revêtements moins résistants. (angle de diffusion des charges est de 45° pour un matériau analogue et 37° pour un matériau moins résistant) 5.2 Charge concentrée voisine des bords de la dalle : Faire les vérifications du paragraphe 6.1 en modifiant éventuellement ‘UC’ comme suit : 14 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles D A E F F Contour du rectangle C d’impact au niveau du feuillet moyen. D E B A B C U ou Uc = ABCDE si AB + DE < BF + FD = ABCD si AB + CD < BE + EF + FC 6) CALCUL DES DEFORMATIONS A L’ELS VIS-A-VIS DES DEFORMATIONS On cherche à vérifier que les flèches de service restent inférieures aux flèches admissibles déterminées pour que l’usage de la structure se fasse dans de bonnes conditions (non fissuration des revêtements de sol et des cloisons, bonne fermeture des portes et des fenêtres,...). 6.1 Valeurs limites des flèches (B.6.5,3) Pour les éléments reposant sur deux appuis ou plus (poutre et dalle), les flèches sont limitées à : 𝒍 si la portée 𝒍 ≤ 𝟓. 𝟎𝟎𝒎, 𝟓𝟎𝟎 𝒍 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 dans le cas contraire où la flèche et la portée l sont exprimées en mètre. Pour les éléments en console, les flèches sont limitées à : 𝑙 si la portée de la console l ≤ 2.00m 250 Les règles BAEL admettent qu’il n’est pas indispensable de calculer les flèches des poutres de grande hauteur à faible élancement, telles que L/h ≤ 10. Il est admis de ne pas procéder au calcul de flèche si : h/L ≥ 0.1(Mt/M0) et sous réserve que la section d’acier tendu soit inférieure à (4.2/fe)b0d 15 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Avec Mt moment fléchissant réel maximal en travée ; M0 // // maximum de la même travée supposée sur 2 appuis simples avec le même chargement. Pour des planchers nervurés associés à un hourdis, le calcul de la flèche n’est pas indispensable si h/L  1/16 avec L ≤ 8.00m Pour les planchers appuyés sur les 4 côtés, on pourra admettre de ne pas donner de justification du calcul des flèches si, pour la direction du moment maximum, on a h/L ≥ Mt/ 20M0 avec Mt≥ 0.75M0 et un % d’acier A/bd < 2/fe Pas de calculs de flèche pour les poutres ou dalles portant dans une direction non liée ou ne supportant pas des éléments fragiles (ACI-318-77) Hauteur totale minimum h Elément Sur En continuité En Console appuis d’un seul côté continuité simples des 2 côtés Dalle pleine (dite sur 2 appuis) L/20 L/24 L/28 L/10 Poutre ou plancher nervuré à un sens L/16 L/18.5 L/21 L/8 6.2 Evaluations des flèches 6.2.1 Influence de la fissuration L’évaluation des flèches des éléments en BA est complexe à cause de la fissuration : avant la fissuration, l’élément se comporte comme si son inertie était constante sur toute sa longueur et valait celle de sa section totale (acier + béton) rendue homogène par rapport au béton en adoptant un coefficient d’équivalence n = 15. après la fissuration son inertie est variable et elle se situe certainement entre l’inertie initiale non-fissurée et l’inertie de la section dont le béton tendu est négligé. La flèche réelle f est donc comprise entre : la flèche fi de la section homogène non fissurée, la flèche fv de la section complètement fissurée. On admet que la section commencera à fissurer dès lors que la fibre de béton la plus tendue supportera une contrainte de traction ftj correspondant à l’application du moment de fissuration Mf. 6.2.2 Influence de la durée d’application des charges Les déformations dues au fluage du béton sous chargement de longue durée étant trois fois plus importantes que les déformations instantanées, il convient d’évaluer la durée d’application des charges. 16 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles En résumé, on peut dire que la flèche réelle se situe entre les deux courbes de la Figure ci- dessous en fonction du chargement appliqué. Courbes enveloppes de la flèche réelle d’un élément soumis à de la flexion. 6.2.3 Flèches pour la section fissurée Le BAEL (B.6.5,2 commentaires) définit un moment d’inertie fictif (ou fissurée) : 𝐼0 𝐼𝑓 = 1.1 1+𝜆𝜇 où I0 est le moment d’inertie de la section non fissurée homogénéisée par rapport au béton, 0.05𝑏𝑓 𝜆 = 𝜆𝑖 = [(2𝑏+3𝑏𝑡28)𝜌] pour les déformations instantanées, 0 2 𝜆 = 𝜆𝑣 = 𝜆𝑖 pour les déformations de longue durée, 5 1.75𝑓𝑡28 𝜇 = Max [0; 1 − ] 4𝜌𝜎𝑠𝑡 +𝑓𝑡28 Dans ces expressions : - I0 est le moment quadratique de la section totale homogénéisée par rapport au béton calculé avec un coefficient d’équivalence n = 15, - les résistances caractéristiques ft28 et 𝝈𝒔𝒕 sont exprimées en MPa, - 𝜌 = As / (b0d) le pourcentage d’armatures tendues. - b0 largeur de la nervure 6.2.4 Calcul des flèches Calcul global On adoptera (Commentaires du B.6.5,2) les expressions suivantes pour le calcul des flèches : 𝑀 𝑙² 𝑓 = 10𝐸𝑡 pour les poutres et dalles, 𝑏𝐼 𝑀 𝑙² 𝑓 = 4𝐸𝑡 pour les consoles, 𝑏𝐼 avec - Eb = Ebi et I = Ifi si la charge est de courte durée, - Eb = Ebv et I = Ifv si la charge est de longue durée. 17 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Calcul plus précis : Il est possible de faire un calcul plus précis (mais plus compliqué) en intégrant les courbures le long de la poutre. Pour le béton armé, la courbure dans une section est donnée par : 1 𝜀𝑠𝑡 +𝜀𝑏𝑐 𝑀 𝜎𝑏𝑐 𝑟 = 𝑑 = 𝐸𝐼 où 𝜀𝑏𝑐 = 𝐸𝑏 𝜎𝑠𝑡 𝑓𝑡𝑗 𝐴𝑡𝑗 𝑓 ( − 2𝐸 𝜌 ) si 𝜌𝑓 = 𝐵 𝑠 ≥ 𝜎 𝐸𝑠 et 𝜀𝑠𝑡 = { 𝑠 𝑓 𝜎𝑠𝑡 𝑓 𝑠𝑡 si non 𝐸𝑠 avec 𝐵𝑓 = 𝑏0 𝑥𝑀𝑎𝑥[0.3𝑑; 2(ℎ − 𝑑 )] C’est l’aire du tirant équivalent à la zone tendue autour des aciers (aire de béton mobilisée par l’entraînement des armatures). La première expression de 𝜀𝑠𝑡 correspond à la valeur moyenne de la déformation entre deux fissures sachant que la contrainte dans les aciers est maximale au niveau des fissures et minimale à mi-distance de deux fissures. La deuxième expression de𝜀𝑠𝑡 suppose que l’adhérence du béton n’a plus lieu (la contrainte d’adhérence a dépassé sa valeur admissible). 6.2.5 Flèche nuisible Les flèches se cumulent et pour évaluer la valeur de la flèche à chaque étape de la construction, il faut tenir compte des différentes phases (par exemple pour une dalle) : 1/ Coulage de la dalle, 2/ Pose des cloisons, 3/ Pose du revêtement de sol, 4/ Exploitation du bâtiment. On définit la flèche nuisible comme la flèche due aux charges appliquées à partir de la pose des cloisons. On calcule : ✓ les flèches instantanée et différée fgi et fgv dues à l’ensemble des charges permanentes, ✓ la flèche instantanée fji due aux charges permanentes appliquées au moment de la mise en œuvre des cloisons, ✓ la flèche instantanée fpi due à l’ensemble des charges permanentes et d’exploitation supportées par l’élément considéré. La flèche nuisible aux cloisons à comparer aux valeurs admissibles vaut : 𝛥𝑓𝑡 = 𝑓𝑔𝑣 − 𝑓𝑗𝑖 + 𝑓𝑝𝑖 − 𝑓𝑔𝑖 18 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles 7) METHODE DE WOOD ARMER “Direct Design Method” Wood & Armer proposent une méthode de calcul plastique très intéressante et en plus orientée vers la Conception Assistée par Ordinateur (CAO ou CAD en anglais) ; elle utilise explicitement les moments de torsion dans le calcul du ferraillage des dalles. Cette méthode utilise un champ de contraintes élastiques (Mx ; My ; Mxy) déterminé par la méthode des éléments finis (MEF), puis avec les combinaisons de l’E.L.U et en concordance avec un critère de plasticité proposé par Johansen, on détermine le ferraillage nécessaire de la dalle. (Mx* - Mx) (My* - My) – M²xy = 0.0 Critère de plasticité pour une dalle ferraillée orthogonalement Mx* et My* étant les moments résistants par unité de longueur autour des axes X et Y respectivement. Pour un ferraillage optimal orthogonal les équations suivantes sont utilisées : 8-1 Nappe inférieure : Mx* = Mx +  Mxy  ……….8.1 My* = My +  Mxy  Si on trouve Mx* ou My* négatif, on l’égalise à zéro, comme suit : Mx* = Mx +  (M²xy)/My  avec My* = 0.0 …. 8.1-a ou My* = My +  (M²xy)/Mx  avec Mx* = 0.0 …. 8.1-b Si, au niveau de ses nouvelles formules, le signe algébrique résultant de Mx* ou de My* n’est pas bon, alors, le ferraillage n’est pas nécessaire mécaniquement dans cette direction. Si, par contre, Mx* et My* sont tous les deux négatifs, alors pas besoin de ferraillage inférieur (mécaniquement). 8-2 Nappe supérieure : Mx* = Mx -  Mxy  ……….8.2 My* = My -  Mxy  Si on trouve Mx* ou My* négatif, on l’égalise à zéro, comme suit : Mx* = Mx -  (M²xy)/My  avec My* = 0.0 …. 8.2-a ou My* = My -  (M²xy)/Mx  avec Mx* = 0.0 …. 8.2-b Si, au niveau de ses nouvelles formules, le signe algébrique résultant de Mx* ou de My* n’est pas bon, alors, le ferraillage n’est pas nécessaire mécaniquement dans cette direction. Si, par contre, Mx* et My* sont tous les deux négatifs, alors pas besoin de ferraillage inférieur (mécaniquement). 19 E.N.S.T.P Cours Calcul d’Ouvrages en BA Chapitre Quatre : Calcul des dalles Note : Pour une dalle biaise, se reporter à article ” The reinforcement of slabs in accordance with a pre-determined field of moments” R.H. Wood, Concrete Feb 1968. 8) BIBLIOGRAPHIE DU CHAPITRE 1/ DIRECT DESIGN OF REINFORCED CONCRETE SLABS USINIG NON ELASTIC STRESS FIELDS Mustapha Benredouane M Sc thesis, Glasgow University, 1988. 2/ COURS DE BETON ARME , TOME II CALCUL DES OUVRAGES BELAZOUGHI ; OPU 1983 3/ REGLES BAEL91 rev99 4 / TRAITE DE BETON ARME. N° 04 A. GUERRIN, R.C. LAVAUR DUNOD 1971 5/ PRATIQUE DU BAEL 91 J PERCHAT / JEAN ROUX EYROLLES 6/ COURS DE BETON ARME, IUP3, GRENOBLE 20