Forces de Laplace - Notes de Cours PDF

FORCES DE LAPLACE ÉLECTROMAGNÉTISME M. KAAB  INTRODUCTION On se propose dans ce chapitre de mettre l’accent sur l’action d’un champ magnétique uniforme et stationnaire sur un circuit fermé parcouru par un courant. C’est l’action de LAPLACE  Cette acti...

FORCES DE LAPLACE ÉLECTROMAGNÉTISME M. KAAB  INTRODUCTION On se propose dans ce chapitre de mettre l’accent sur l’action d’un champ magnétique uniforme et stationnaire sur un circuit fermé parcouru par un courant. C’est l’action de LAPLACE  Cette action est caractérisée par sa résultante, notée 𝑭𝑳 et son moment 𝜞𝑳.  On examinera dans ce chapitre les exemples suivants: 1. Rails de LAPLACE 2. Spire rectangulaire en rotation dans un champ magnétique stationnaire et uniforme 3. Action d’un champ magnétique sur un aimant 4. Effet moteur d’un champ magnétique tournant I – ACTION DE LAPLACE I – 1. Force de LAPLACE sur un circuit filiforme Considérons un conducteur filiforme parcouru par un courant d’intensité 𝑰 et plongé dans un champ magnétique 𝑩𝟎 créé par une source extérieure. Il est supposé stationnaire et uniforme.  Un élément de longueur 𝒅𝒍𝑴 subit la force 𝑩𝟎 élémentaire 𝒅𝑭𝑳 (𝑴): 𝒅𝑭𝑳 = 𝑰𝒅𝒍𝑴 × 𝑩𝟎 𝑽 𝑭𝑳 𝑹 𝑰 I – ACTION DE LAPLACE I – 1. Force de LAPLACE sur un circuit filiforme  La résultante appliquée à l’ensemble du conducteur fermé de contour (𝑪) : 𝑭𝑳 = 𝒅𝑭𝑳 (𝑴) = 𝑰𝒅𝒍𝑴 × 𝑩𝟎 𝑩𝟎 𝑴∈(𝑪) 𝑴∈(𝑪) 𝑽 𝑭𝑳 𝑹 𝑰 I – ACTION DE LAPLACE I – 1. Force de LAPLACE sur un circuit filiforme  Le moment résultant, par rapport à un point 𝑨 quelconque, appliqué à l’ensemble du conducteur fermé de contour (𝑪) : 𝑩𝟎 𝚪𝑨,𝑳 = 𝑨𝑴 × 𝒅𝑭𝑳 (𝑴) 𝑴∈(𝑪) = 𝑨𝑴 × 𝑰𝒅𝒍𝑴 × 𝑩𝟎 𝑽 𝑭𝑳 𝑴∈(𝑪) 𝑹 𝑰 I – ACTION DE LAPLACE I – 2. Densité volumique de force de LAPLACE  Considérons un volume élémentaire 𝒅𝝉𝑴 d’un conducteur, parcouru par un courant de densité volumique 𝑱(𝑴) et plongé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire 𝑩𝟎  Chacune des charge en mouvement contenue dans 𝒅𝝉𝑴 est soumise à la force magnétique, La force de LAPLACE est la résultante de ces forces. 𝑩𝟎  On admet que la force exercée sur cet élément s’écrit 𝒅𝑭𝑳 𝑱 𝒅𝑭𝑳 = 𝑱 𝑴 × 𝑩𝟎 𝒅𝝉𝑴 = 𝒇𝒗,𝑳 𝒅𝝉𝑴 Où 𝒇𝒗,𝑳 est la densité volumique de force de LAPLACE II – PUISSANCE, TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE II – 1. Puissance La puissance de l’action de LAPLACE sur un circuit filiforme dans le cas général s’écrit, 𝐴 étant un point du circuit: 𝓟𝑳 = 𝑭𝑳 ∙ 𝒗𝑨 + 𝚪𝑨,𝑳 ∙ 𝛀𝑪/𝑹  Dans le cas où le circuit décrit un mouvement de translation, , 𝛀𝑪/𝑹 = 𝟎, à la vitesse 𝒗: 𝓟 𝑳 = 𝑭𝑳 ∙ 𝒗  Dans le cas où le circuit décrit un mouvement de rotation autour d’un axe fixe dans 𝑹: 𝓟𝑳 = 𝚪𝑨,𝑳 ∙ 𝛀𝑪/𝑹 II – PUISSANCE, TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE II – 2. Travail Le travail des force de LAPLACE pour l’ensemble du circuit filiforme en translation a pour expression: 𝜹𝑾𝑳 = 𝒅𝒕 𝑰𝒅𝒍𝑴 × 𝑩𝟎 ∙ 𝒗 𝑴∈(𝑪) Il représente la partie de l’énergie EM reçue par le circuit, convertie en énergie mécanique:: Cette conversion est à la base de fonctionnement des moteurs et des générateurs électriques II – PUISSANCE, TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE II – 2. Flux coupé Exprimons le travail des forces de LAPLACE autrement, soit 𝑰𝒅𝒍𝑴 un élément de courant d’un circuit filiforme (𝐶) effectuant le déplacement élémentaire 𝒅𝒓 = 𝒗𝒅𝒕: 𝜹𝟐 𝑾𝑳 = 𝑰𝒅𝒍𝑴 × 𝑩𝟎 ∙ 𝒅𝒓 = 𝑰𝑩𝟎 ∙ 𝒅𝒓 × 𝒅𝒍𝑴 = 𝑰𝑩𝟎 ∙ 𝒏𝒄 𝒅𝑺𝒄 Posons 𝒅𝑺𝒄 = 𝒅𝒓 × 𝒅𝒍𝑴 l’aire balayée par cet élément de circuit le long du déplacement 𝒅𝒓 et 𝒏𝒄 la normale à cette surface 𝒅𝒓 On appelle flux coupé, noté 𝜹𝚽𝒄 , le flux de 𝑩𝟎 à travers la surface balayée 𝑺𝒄 par l’ensemble 𝒅𝒍 du circuit: 𝑩𝟎 𝜹𝚽𝒄 = 𝑩𝟎 ∙ 𝒏𝒄 𝒅𝑺𝒄 (𝑪) II – 2. Flux coupé `` Pour obtenir le travail de la force de LAPLACE sur le circuit le long du déplacement 𝒅𝒓, on multiplie par 𝐼 le flux coupé, 𝜹𝚽𝒄 , puisque 𝐼 est le même en tout point du circuit en ARQS: 𝜹𝑾𝑳 = 𝑰𝜹𝚽𝒄 II – 3. Théorème de MAXWELL En considérant le surface fermée Σ constituée de 𝑆𝑐 et des deux surfaces 𝑆 et 𝑆′ s’appuyant sur les contours (𝐶) et (𝐶′) qui coïncident avec les positions du circuit à 𝑡 et à 𝑡 + 𝑑𝑡: 𝒅𝒓 −𝒏 𝒅𝒍 𝒏 Le flux de 𝑩𝟎 à travers cette surface est nul: 𝑩𝟎 ∙ 𝒏𝒆𝒙 𝒅𝑺 + 𝑩′𝟎 ∙ 𝒏′𝒆𝒙 𝒅𝑺 + 𝜹𝚽𝒄 = 𝟎 𝑩𝟎 𝑺 𝑺 Avec 𝒏𝒆𝒙 = 𝒏 et 𝒏′𝒆𝒙 = −𝒏 Comme 𝐵0 est stationnaire, il vient: 𝚽 𝒕 − 𝚽 𝒕 + 𝒅𝒕 = 𝜹𝚽𝒄 Ainsi en régime stationnaire, le flux coupé par le circuit est égale à la variation de flux de 𝑩𝟎 à travers toute surface s’appuyant sur (𝑪): Le travail élémentaire des forces de LAPLACE s’écrit donc: 𝜹𝑾𝑳 = 𝑰𝒅𝚽 𝒅𝒓 −𝒏 𝒅𝒍 𝒏 Ce résultat est connu sous le nom de théorème de MAXWELL 𝑩𝟎 III – EXEMPLES III – 1. Rails de LAPLACE III – EXEMPLES III – 2. Spire rectangulaire III – EXEMPLES III – 2. Spire rectangulaire III – EXEMPLES III – 3. Action d’un champ magnétique sur un aimant III – EXEMPLES III – 3. Action d’un champ magnétique sur un aimant III – EXEMPLES III – 4. Effet moteur d’un champ magnétique tournant Création d’un champ tournant III – EXEMPLES III – 4. Effet moteur d’un champ magnétique tournant III – EXEMPLES III – 4. Effet moteur d’un champ magnétique tournant Action d’un champ tournant