Travaux Dirigés: Electromagnetisme et Electronique des Circuits Alternatifs PDF

ÉLECTROMAGNÉTISME & ÉLECTRONIQUE DES CIRCUITS TRAVAUX DIRIGÉS ALTERNATIFS FORCES DE LAPLACE I - RAIL DE LAPLACE 1 - On considère une barre...

ÉLECTROMAGNÉTISME & ÉLECTRONIQUE DES CIRCUITS TRAVAUX DIRIGÉS ALTERNATIFS FORCES DE LAPLACE I - RAIL DE LAPLACE 1 - On considère une barre M1 M2 qui glisse sans frottement sur les rails de LAPLACE. Le circuit est orienté dans le sens indiqué pour l’intensité i sur la figure ci-après. On suppose que la résistance totale du circuit fermé vaut R. a - Exprimer l’intensité i en fonction de E et R. b - Exprimer la force de LAPLACE qui s’exerce sur la barre en fonc- tion de E, R, B, l et d’un vecteur unitaire. 2 - On considère la configuration ci-contre, dans laquelle le champ magnétique est nul sauf dans la zone délimité par les traits interrom- pus, de largeur l égale à la longueur de la barre, où il est uniforme de norme B0. On note de nouveau R la résistance totale du circuit. La barre, de masse m, est lancée de la gauche vers la droite et arrive avec une vitesse v0 dans la zone de champ magnétique. Déterminer le temps qu’elle met pour en sortir. On néglige tout frotte- ment mécanique II - BALANCE DE COTTON Le dispositif de la balance de COTTON permet d’équilibrer le poids d’un objet par la force de LAPLACE exercée sur un conducteur. On obtient un équilibre entre le moment du poids de la masse m à droite et le moment de la force de LAPLACE exercée sur la partie droite du circuit de gauche soumis au champ magnétique B = −Bex qui règne dans la partie en pointillés. Les masses autres que m sont négligées. Le champ de pesanteur est uniforme et vaut g = −gez. Exprimer la relation entre m, g, a, b, l, B et i à l’équilibre. Ce dispositif permet d’obtenir un étalon de masse basé sur une mesure de courant. Il est à l’œuvre dans le projet de la balance de WATT visant à redéfinir le kg. Il faut ensuite définir un étalon de courant basé sur des phénomènes quantiques. III - TIGE EN ROTATION On considère une tige rectiligne en rotation autour de l’axe Oz. 1 M. KAAB A. ElBoubekri  ÉLECTROMAGNÉTISME & ÉLECTRONIQUE DES CIRCUITS TRAVAUX DIRIGÉS ALTERNATIFS FORCES DE LAPLACE On note J le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe Oz. Une extrémité coı̈ncide avec l’origine O du repère, et l’autre extrémité glisse sur un cercle conducteur, de rayon a, fixe dans le référentiel d’étude. On impose une différence de potentiel U entre l’extrémité en O et le cercle conducteur. La tige a une résistance électrique R. L’ensemble est soumis à un champ magnétique uniforme B = Bez. Outre les forces de LAPLACE, la tige subit une force de frottement de la forme −αv(M ), où v(M ) est la vitesse de l’extrémité de la tige au niveau du contact sur le cercle conducteur. 1 - a - Exprimer le moment résultant des forces de LAPLACE exercées sur la tige par rapport à l’axe Oz en fonction de i, a et B. b - Exprimer le moment des forces de frottement par rapport à l’axe Oz en fonction de a, α, ω où ω = θ̇ est la vitesse angulaire de rotation. 2 - Appliquer le théorème du moment cinétique à la tige pour obtenir une équation différentielle sur ω(t), vitesse angulaire de rotation autour de l’axe Oz. Introduire un temps caractéristique τ et une vitesse angulaire asymptotique ω∞. 3 - La tige est supposée immobile à la date t = 0. Exprimer la vitesse angulaire ω(t > 0) et tracer l’allure du graphe correspondant. 2 M. KAAB A. ElBoubekri