Centrali Elettriche e Generazione Distribuita PDF

INDICE 1. INTRODUZIONE....................................................................................................................... 4 2. MODELLO DINAMICO DEGLI ALTERNATORI.............................................................. 8 2.1. Rappresentazione mediante circ...

INDICE 1. INTRODUZIONE....................................................................................................................... 4 2. MODELLO DINAMICO DEGLI ALTERNATORI.............................................................. 8 2.1. Rappresentazione mediante circuiti accoppiati magneticamente ed in moto....... 8 2.2. Trasformazione di Park................................................................................................. 13 2.2.1. Trasformazione di Park di terne simmetriche di variabili sinusoidali............................. 15 2.3. Matrici delle induttanze di Park.................................................................................. 16 2.4. Equazioni di Park di un alternatore............................................................................ 17 2.5. Circuiti equivalenti......................................................................................................... 19 2.6. Circuiti equivalenti in p.u............................................................................................. 20 2.7. Reattanza satura e non satura e rapporto di cortocircuito....................................... 22 2.8. Coppia elettromagnetica................................................................................................ 24 2.9. Equazione del moto del rotore..................................................................................... 25 3. CIRCUITI ELETTRICI DELLE CENTRALI E PROTEZIONI.......................................... 28 3.1. I circuiti elettrici principali........................................................................................... 28 3.2. Impianti elettrici che alimentano i servizi ausiliari................................................. 30 3.2.1. Potenza assorbita a regime...................................................................................................... 31 3.2.2. Schemi di alimentazione degli ausiliari di gruppo............................................................... 32 3.3. Il sistema elettrico nelle centrali idroelettriche di produzione e pompaggio..... 33 3.3.1. Avviamento asincrono.............................................................................................................. 34 3.3.2. Avviamento con motore di lancio........................................................................................... 34 3.3.3. Avviamento sincrono................................................................................................................ 35 3.4. Sistema elettrico dei gruppi turbogas......................................................................... 37 3.5. Protezioni dei circuiti principali.................................................................................. 39 3.5.1. Sistemi di protezioni dell’insieme sincrono-trasformatore contro i guasti interni......... 39 3.5.2. La protezione differenziale....................................................................................................... 39 3.5.3. La protezione di terra statorica............................................................................................... 41 3.5.4. Protezione di terra rotorica o per contatti a massa del rotore........................................... 42 4. SISTEMA DI ECCITAZIONE E SUA REGOLAZIONE.................................................... 43 4.1. Tipi di Eccitatrici............................................................................................................. 45 4.1.1. Eccitatrici rotanti in corrente continua.................................................................................. 45 4.1.2. Eccitatrici rotanti in corrente alternata................................................................................. 46 4.1.3. Eccitatrici statiche..................................................................................................................... 48 1  4.2. Controllo in retroazione dell’eccitazione................................................................... 49 4.2.1. Schema a blocchi e parametri della risposta al gradino...................................................... 49 4.2.2. Analisi del sistema semplificato............................................................................................. 51 4.3. Analisi del sistema completo di regolazione dell’eccitazione............................... 55 4.3.1. Retroazione transitoria stabilizzatrice................................................................................. 57 4.3.2. Compensazione del carico........................................................................................................ 59 5. MODELLO DINAMICO DI UN IMPIANTO IDROELETTRICO.................................. 60 5.1. Funzione di trasferimento assumendo l’acqua incomprimibile e la condotta anelastica 62 5.1.1. Portata dell’acqua nella condotta............................................................................................... 62 5.1.2. Potenza meccanica della turbina................................................................................................. 63 5.1.3. Accelerazione della colonna d’acqua.......................................................................................... 63 5.1.4. Relazione fra apertura del distributore e potenza meccanica della turbina.............................. 63 5.2. Effetti della comprimibilità dell’acqua e della elasticità della condotta.......................... 66 5.2.1. Fenomeni transitori nelle condotte forzate................................................................................. 66 5.2.2. Equazione del moto...................................................................................................................... 68 5.2.3. Equazione di continuità................................................................................................................ 68 5.3. Equazioni delle onde e propagazione delle onde di pressione e portata nella condotta forzata 69 5.4. Riflessioni delle onde alle estremità della condotta......................................................... 71 5.5. Funzione di trasferimento che tiene conto dei fenomeni di propagazione..................... 72 5.6. Modello dinamico del sistema serbatoio-galleria- pozzo piezometrico.......................... 75 5.7. Condizione di stabilità di un pozzo cilindrico.................................................................... 76 5.8. Tipi di pozzi piezometrici................................................................................................... 80 5.9. Problemi di calcolo e di esercizio....................................................................................... 82 6. REGOLAZIONE DI VELOCITÀ DI UN GRUPPO IDROELETTRICO........................ 83 6.1. Richiami sulla regolazione di frequenza primaria................................................... 83 6.2. Regolatore di un gruppo idroelettrico........................................................................ 85 7. MODELLO DINAMICO DI UN GRUPPO A VAPORE................................................... 91 7.1. Generalità sulle turbine a vapore................................................................................ 91 7.2. Modello dinamico della turbina a vapore.................................................................. 92 7.2.1. Funzione di trasferimento di un recipiente di vapore........................................................... 92 7.2.2. Coppia fornita dalla turbina.................................................................................................... 93 7.2.3. Modello dinamico della turbina tandem con surriscaldamento......................................... 93 7.2.4. Modello lineare semplificato................................................................................................... 95 7.3. Modello dinamico di caldaia........................................................................................ 97 2  7.3.1. Dinamica di un processo di generazione di vapore elementare.......................................... 97 7.3.2. Funzioni di trasferimento del generatore di vapore elementare....................................... 101 8. MODI DI REGOLAZIONE CALDAIA-TURBINA.......................................................... 110 8.1. Sistema di controllo delle centrali termoelettriche a vapore................................ 110 8.2. Sistema di regolazione della velocità di turbina.................................................... 112 8.3. Modi di regolazione caldaia – turbina...................................................................... 116 8.3.1. Modo di regolazione caldaia-segue...................................................................................... 116 8.3.2. Modo di regolazione turbina-segue....................................................................................... 118 8.3.3. Modo di regolazione a pressione variabile.......................................................................... 120 8.3.4. Controllo coordinato di caldaia e turbina........................................................................... 123 9. MODELLO E REGOLAZIONI DEI GRUPPI TURBOGAS E A CICLO COMBINATO GAS-VAPORE......................................................................................................................... 128 9.1. Regolazioni in un gruppo combinato gas vapore................................................... 129 10. MODELLO E REGOLAZIONI DEGLI IMPIANTI EOLICI E FOTOVOLTAICI...... 133 10.1. Turbine eoliche............................................................................................................. 133 10.1.1. DFIG....................................................................................................................................... 136 10.1.2. Convertitore di potenza uguale a quella del generatore.......................................................... 140 10.1.3. Osservazioni di riepilogo........................................................................................................ 141 11. MODELLO E REGOLAZIONI DEGLI IMPIANTI FOTOVOLTAICI......................... 143 11.1. Impianti fotovoltaici..................................................................................................... 143 11.2. Regolazione dell’inverter di un impianto fotovoltaico......................................... 145 11.3. Controllo esterno........................................................................................................... 147 11.4. Controllo interno........................................................................................................... 150 11.5. Sincronizzazione........................................................................................................... 153 3 1. INTRODUZIONE Le centrali elettriche sono le parti di un sistema elettrico di potenza in cui avviene la trasformazione delle fonti di energia in energia elettrica. La produzione da parte di impianti di potenza unitaria limitata a qualche megawatt connessi direttamente alle reti di distribuzione dell’energia elettrica è detta generazione distribuita. Negli impianti di produzione si trovano i motori primi (turbine, motori alternativi, pannelli fotovoltaici), i generatori (alternatori e convertitori) e (tranne nel caso di alcuni impianti fotovoltaici in bassa tensione) i trasformatori per la connessione alle reti di trasmissione dell’energia a grande distanza in alta tensione (tipicamente in Italia 132 kV, 150 kV, 220 kV e 400 kV) o alle reti di distribuzione dell’energia elettrica agli utenti finali in media tensione (tipicamente fra 15 kV, 20 kV, 23 kV) e bassa tensione (400 V). In molti impianti il generatore è costituito da alternatori sincroni trifasi il cui rotore è in rotazione grazie alla potenza fornita dalle turbine (idroelettriche, a vapore, a gas) e i cui terminali sono connessi ai rispettivi trasformatori elevatori e quindi alla rete. Come illustrato dalla Fig. 1 in un gruppo di generazione (o sezione o unità) sono inoltre presenti gli apparati per la regolazione della tensione e della velocità dei generatori. Il sistema di regolazione della tensione, sensibile alla tensione ai terminali di macchina Vt, fa variare, attraverso il sistema di eccitazione, la tensione Vf applicata al circuito di campo dell’alternatore (nel seguito indicato come circuito f), in modo tale da mantenere la tensione ai terminali il più possibile pari a un valore di riferimento predefinito. Il sistema di regolazione della velocità, sensibile alla velocità meccanica Ωm dell’alternatore, agisce sull’apertura α delle valvole di ammissione del fluido motore (nelle turbine idrauliche o a vapore) o del combustibile (nelle turbine a gas), causando la conseguente variazione della coppia meccanica (o motrice) Cm che la turbina fornisce all’alternatore fino a renderla il più possibile uguale alla coppia elettromagnetica (o resistente) dovuta al carico elettrico. Durante tale regolazione, la coppia meccanica dipende anche dalle caratteristiche del sistema energetico adduttore, ossia dell’impianto che fornisce il fluido motore alla turbina (ad esempio le condotte forzate o le caldaie) e non soltanto da quelle della turbina. Ogni centrale comprende spesso due o più gruppi turbina-alternatore in parallelo. Regolazione di Ωm Eccitatrice velocità regolatore di tensione Vt Vf Trasformatore di unità Sbarre AT Motore Linee della primo Alternatore rete di α (turbina) trasmissione Cm Sbarre di macchina Sistema energetico e adduttore Fig. 1 Schema di un gruppo di generazione di una centrale elettrica. Le relazioni tra le diverse grandezze che caratterizzano un generico impianto di produzione dell’energia elettrica possono essere riassunte come nello schema di Fig. 2. in cui compaiono: 4  - un sottosistema di tipo prevalentemente meccanico, costituito dalle parti rotanti (con inerzie e attriti) dei gruppi generatori e dai sistemi adduttori (termici, idraulici, ecc.) che forniscono il fluido motore; - un sottosistema di tipo prevalentemente elettrico, costituito da tutte le parti rimanenti, e cioè: i circuiti elettrici degli alternatori, i sistemi di trasmissione e distribuzione, e gli utilizzatori (ed eventuali fonti di energia di tipo non meccanico, quali le batterie di accumulatori). Aperture Velocità dei gruppi Controllo valvole Sistema di tipo (e sfasamenti) f/P prevalentemente meccanico Potenze attive generate Tensioni di Tensioni eccitazione Sistema di tipo e potenze reattive Controllo prevalentemente v/Q elettrico Parametri modulabili Condizioni di carico Fig. 2 Schema a blocchi funzionale di massima di un generico impianto. Le variabili d’ingresso del sistema sono fondamentalmente (a parte le perturbazioni di struttura): - l’apertura delle valvole dei motori primi, che nel sottosistema meccanico influiscono – per date condizioni dei sistemi adduttori (riferimenti dei controlli di caldaia, invasi d’acqua nei serbatoi, ecc.) – sulle potenze motrici; - le tensioni di eccitazione degli alternatori, che nel sottosistema elettrico influiscono sull’ampiezza delle forze elettromotrici agenti sul sistema trifase; - parametri vari, modulabili per scopi di controllo (in particolare, per il controllo tensione/potenza reattiva v/Q): capacità e induttanze di componenti reattivi (di tipo statico), rapporti di trasformazione dei trasformatori a rapporto variabile sotto carico, ecc.; - le condizioni di carico imposte, che si traducono in ulteriori ingressi del sottosistema elettrico. Il controllo frequenza-potenza attiva (f/P) è compiuto attraverso l’apertura delle valvole, mentre il controllo v/Q è realizzato agendo sulle tensioni di eccitazione e sui parametri modulabili. Le condizioni di carico vengono invece a costituire ingressi di disturbo che influiscono su entrambi i tipi di controllo. I due sottosistemi elettrico e meccanico interagiscono fra loro, in particolare attraverso: - le potenze attive generate; - le velocità degli alternatori e, quindi, gli sfasamenti tra i loro rotori. 5 Le potenze attive generate si comportano come potenze resistenti (in opposizione a quelle motrici) sui rotori dei rispettivi gruppi, e perciò influiscono sulle velocità – e sugli sfasamenti relativi – dei rotori stessi; mentre velocità e sfasamenti influiscono, a loro volta, sui vettori delle forze elettromotrici e quindi sulle potenze attive generate dai diversi gruppi (oltre che, ovviamente, sulle altre variabili del sistema elettrico). Tutto ciò si traduce, nelle condizioni di normale funzionamento, in azioni sincronizzanti, che solitamente consentono – attraverso oscillazioni elettromeccaniche smorzate – il ripristino del sincronismo e che solo di fronte a perturbazioni importanti possono essere insufficienti a evitare fenomeni di perdita di passo. Per quanto concerne i tempi di risposta, è assai importante rilevare che il sottosistema meccanico ha in genere una dinamica alquanto più lenta di quella del sottosistema elettrico, soprattutto per effetto delle inerzie dei rotori, dei limiti sulle velocità di variazione delle potenze motrici e dei ritardi con cui le potenze motrici si adeguano a eventuali variazioni di apertura delle valvole, ritardi dovuti alle caratteristiche dinamiche dei sistemi adduttori. Questa circostanza può legittimare diverse semplificazioni, particolarmente utili per individuare i fattori più rilevanti dei diversi fenomeni, per eseguire analisi dinamiche ragionevolmente approssimate, per scegliere i criteri e implementare i segnali su cui basare l’esercizio in tempo reale (controllo, protezione, supervisione, ecc.). Molti fenomeni dinamici possono, in effetti, essere ricondotti a una delle seguenti categorie: - fenomeni di tipo prevalentemente meccanico, provocati da perturbazioni nel sottosistema meccanico e nel controllo f/P, abbastanza lenti da consentire una rappresentazione semplificata della risposta transitoria del sottosistema elettrico, fino all’adozione, per esso, di un modello puramente statico; - fenomeni di tipo prevalentemente elettrico, provocati da perturbazioni nel sottosistema elettrico e nel controllo v/Q, abbastanza rapidi da poter spesso supporre costanti le velocità delle macchine, senza chiamare in causa la risposta del sottosistema meccanico; - fenomeni di tipo strettamente elettromeccanico, per i quali l’interazione tra i sottosistemi risulta essenziale, ma appare ancora lecito semplificare i modelli dinamici delle varie parti, in base alle oscillazioni elettromeccaniche di maggiore interesse e alle frequenze a cui esse si verificano. Come illustrato in Fig. 3, i principali fenomeni dinamici e i relativi intervalli temporali per l’analisi sono: - variazioni di f/P e relativo controllo: da 1 s alle centinaia di secondi; - variazioni di v/Q e relativo controllo: da 0,1 s a 10 s (100 s per il controllo secondario); - oscillazioni elettromeccaniche: da 0,1 s (locali) a decine di secondi (oscillazioni fra aree del sistema); - variazione dei flussi magnetici rotorici negli alternatori: da qualche ms a qualche secondo (variazioni subtransitorie) o 10 s (variazioni transitorie); - oscillazioni torsionali dei rotori: da qualche ms a quasi 1 s; - transitori elettrici in rete e relative protezioni: da millisecondi (o meno) alle centinaia di millisecondi. 6  transitori elettrici in rete oscillazioni torsionali variazioni dei flussi rotorici negli alternatori variazioni subtransitorie – variazioni transitorie oscillazioni elettromeccaniche locali – fra aree variazioni di regime v/Q controllo primario – controllo secondario variazioni di regime f/P controllo primario – controllo secondario 0,01 0,1 1 10 100 1000 Fig. 3 Principali fenomeni dinamici e i relativi intervalli temporali. Nell’ultimo decennio è diventata significativa la presenza di impianti in cui la connessione alla rete include una interfaccia costituita da un convertitore elettronico di potenza. La presenza del convertitore è necessaria per gli impianti in cui il generatore è in corrente continua come gli impianti fotovoltaici. Si usano spesso convertitori negli impianti eolici e anche in alcuni idroelettrici per adeguare le condizioni di funzionamento a quelle di maggiore efficienza. Convertitori possono essere usati per gli avviamenti delle turbine a gas e delle macchine idrauliche negli impianti di produzione e pompaggio. Negli alternatori connessi direttamente alla rete, ogni variazione della frequenza implica una variazione della velocità di rotazione dei rotori e quindi una variazione della loro energia cinetica proporzionale al momento di inerzia. La velocità di variazione della frequenza (detta anche ROCOF, rate of change of frequency) è quindi fisicamente associata a una variazione della potenza fornita dal generatore. Al contrario, le tipiche logiche di controllo dei convertitori non sono sensibili alla velocità di variazione della frequenza. Questa insensibilità di una parte significativa degli impianti di produzione riduce l’inerzia complessiva del sistema rispetto al caso in cui tutta la produzione sia fornita da impianti con alternatori connessi direttamente alla rete. La riduzione dell’inerzia del sistema rende più veloce la variazione della frequenza a seguito di squilibri fra produzione e carico e di perturbazioni. Per limitare gli effetti, si inseriscono sistemi di regolazione più veloci, si installano alternatori connessi in rete senza turbina (detti compensatori sincroni) al fine di aumentare l’inerzia e migliorare il controllo v/Q, si includono logiche opportune (dette virtual synchronous machine) nei sistemi di controllo degli impianti interfacciati mediante convertitori. 7 2. MODELLO DINAMICO DEGLI ALTERNATORI Consideriamo un alternatore trifase con una sola coppia di poli. Nello statore si hanno tre avvolgimenti disposti a 120° l’uno dall’altro. Se tali avvolgimenti sono percorsi da correnti trifasi equilibrate, nel traferro si produce un campo magnetico rotante alla velocità angolare pari alla pulsazione delle correnti. Nel rotore si ha un avvolgimento d’eccitazione percorso da corrente continua, che produce un campo magnetico fisso rispetto al rotore. In condizioni di regime, il rotore ruota alla velocità di sincronismo con il campo magnetico rotante. I due campi magnetici sono dunque fissi uno rispetto all’altro. Dalla loro interazione si origina la coppia elettromagnetica fra rotore e statore che permette di realizzare la conversione dell’energia meccanica in energia elettrica e viceversa. A regime sia la coppia meccanica sia la coppia elettromagnetica sono costanti. Nel caso più generale di una macchina con p coppie polari, la pulsazione  0 delle correnti di statore è legata alla velocità angolare del rotore dalla relazione  0 = p   m. La distribuzione del campo d’induzione magnetica al traferro si ripete ogni 360°/p. Da un punto di vista elettrico, il comportamento può essere analizzato facendo riferimento a una macchina con una sola coppia di poli. Gli alternatori si possono suddividere nei due seguenti tipologie. - Macchine a rotore liscio, o isotrope, nelle quali il rotore presenta una simmetria di rivoluzione. Queste macchine sono generalmente accoppiate a turbine a vapore o a gas e sono quindi indicate con il nome di turboalternatori. I turboalternatori funzionano a velocità elevate e quindi hanno al massimo due coppie polari. Il rotore è costituito da un cilindro d’acciaio massiccio, forgiato, di diametro limitato per contenere gli sforzi meccanici dovuti alla velocità. La macchina ha quindi forma allungata. I conduttori dell’avvolgimento d’eccitazione sono alloggiati in cave scavate longitudinalmente sul rotore. - Macchine a poli sporgenti, o anisotrope, nelle quali il traferro non ha larghezza costante. Queste macchine hanno generalmente il rotore laminato (come sempre lo statore) e sono accoppiate a turbine di velocità limitata come le turbine idrauliche. Più la velocità di rotazione è bassa maggiore è il numero delle coppie polari. Si ha quindi un’alternanza di poli sporgenti Nord e Sud sulla periferia di una ruota polare con un rapporto diametro/lunghezza nettamente maggiore di quello di un turboalternatore. Numerose macchine sono dotate d’avvolgimenti smorzatori. Nel caso di turboalternatori si tratta di conduttori posti nelle cave del rotore. Nelle macchine a poli salienti si tratta di sbarre collocate sui poli e cortocircuitate alle estremità da anelli o segmenti (gabbia di scoiattolo). In condizioni di transitorio, le correnti indotte in questi avvolgimenti determinano una coppia di smorzamento delle oscillazioni rotoriche. Un effetto simile è prodotto dalle correnti indotte nei rotori massicci. 2.1. Rappresentazione mediante circuiti accoppiati magneticamente ed in moto I metodi moderni d’analisi dettagliata delle macchine ricorrono alla risoluzione numerica delle equazioni dell’elettromagnetismo mediante algoritmi alle differenze finite o elementi finiti. Questi metodi sono convenienti soprattutto per la progettazione delle macchine. Per gli studi del comportamento dinamico dei sistemi elettrici di potenza, gli alternatori sono in genere rappresentati mediante un certo numero di circuiti equivalenti, magneticamente accoppiati e in movimento. 8  t  =   dt +  0 0 Fig. 4 Circuiti dell’alternatore con gli assi diretto e in quadratura. Nel rotore è indicato il solo circuito d’eccitazione (circuito f). I circuiti sono rappresentati in Fig. 4. Si considera una macchina con una sola coppia di poli. Lo statore è dotato di tre circuiti denominati a, b e c, con assi magnetici A, B e C distanti 120° uno dall’altro. Il rotore ha un certo numero di circuiti equivalenti ripartiti secondo i due assi: l’asse diretto d che coincide con l’asse magnetico del circuito di eccitazione e l’asse in quadratura q, perpendicolare al precedente. L’angolo fra l’asse d e l’asse A individua in ogni istante di tempo t la posizione angolare θ del rotore (funzione della velocità angolare ω). Come convenzione, consideriamo l’asse in quadratura in ritardo rispetto a quello diretto. Il numero d’avvolgimenti rotorici caratterizza il grado di dettaglio del modello. Dato che i circuiti rotorici, a parte quello d’eccitazione, non corrispondono generalmente ad avvolgimenti effettivi e accessibili agli strumenti di misura, i loro parametri sono determinati per via indiretta. È in genere sufficiente un modello con quattro circuiti rotorici: il circuito di eccitazione f, un circuito equivalente sull’asse diretto d1, e due circuiti sull’asse in quadratura q1 e q2, che tengono conto degli avvolgimenti smorzatori e delle correnti indotte nel rotore massiccio a poli lisci. Per le macchine a poli sporgenti, le correnti indotte nel rotore laminato sono trascurabili e quindi si può rappresentare la macchina con un solo circuito sull’asse in quadratura, invece di due (modello f, d1, q1). Nel seguito considereremo il modello a quattro avvolgimenti (f, d1, q1, q2). Assumiamo per i circuiti di statore la convenzione dei generatori e per quelli di rotore la convenzione degli utilizzatori (Fig. 5). 9  vd1=0 vb vf vn vc va vq1=0 vq2=0 Fig. 5 Circuiti di statore e di rotore dell’alternatore. Equazioni degli avvolgimenti di statore: d a va ( t ) = − Ra ia ( t ) − dt d vb ( t ) = − Ra ib ( t ) − b (1) dt d vc ( t ) = − Ra ic ( t ) − c dt dove Ra è la resistenza di una qualsiasi fase di statore e dove λ è il flusso totale concatenato all’avvolgimento. Equazioni dei circuiti rotorici: df v f (t ) = R f  i f (t ) + dt d d1 0 = Rd 1  id1 ( t ) + dt (2) d q1 0 = Rq1  iq1 ( t ) + dt d q2 0 = Rq 2  iq2 ( t ) + dt dove Rf, Rd1, Rq1, Rq2 sono le resistenze dei circuiti di rotore e λf, λd1, λq1, λq2 sono i flussi concatenati. In forma compatta dλ s vs = −R s  i s − dt (3) dλ vr = R r  ir + r dt 10  v s =  va vc  , i s = ia ic  T T dove Rs=diag(Ra,Ra,Ra), Rr=diag(Rf,Rd1,Rq1,Rq2), vb ib , λ s =  a b c . 1 T Introduciamo l’ipotesi che il mezzo magnetico sia lineare. Non consideriamo quindi fenomeni di saturazione. Con questa ipotesi possiamo scrivere:  λ s   Lss ( ) Lsr ( )  is   = T  i  (4)  λ r  Lsr ( ) Lrr   r dove  è la posizione angolare del rotore, definito per convenzione come l’angolo fra l’asse diretto e l’asse della fase a. Gli elementi delle matrici Lss e Lsr sono delle funzioni periodiche della posizione angolare del rotore. Se si sviluppano in serie di Fourier2, tali funzioni sono caratterizzate, in una macchina reale, da una fondamentale e da armoniche. Con un’adeguata disposizione degli avvolgimenti di statore tali armoniche sono trascurabili (ipotesi di macchina sinusoidale). L’autoinduttanza di una fase statorica è massima quando l’asse diretto coincide con l’asse di quella fase. L’induttanza mutua fra due fasi statoriche è negativa (essendo l’angolo fra essi compreso maggiore di 90°) ed è massima in modulo quando l’asse diretto coincide con la bisettrice dell’angolo formato dagli assi dei due avvolgimenti (uno considerato con verso opposto). Le induttanze mutue fra un avvolgimento rotorico e uno statorico sono nulle quando gli assi sono perpendicolari e massime quando sono coassiali. Le induttanze della matrice Lrr non dipendono da θ a causa dell’isotropia della macchina vista dal rotore (trascurando gli effetti delle cave). Sotto l’ipotesi di macchina sinusoidale, le matrici delle induttanze sono:        Ls + L1 cos 2 − Lm − L1 cos 2   +  − Lm − L1 cos 2   −    6  6       2     Lss ( ) =  − Lm − L1 cos 2   +  Ls + L1 cos 2   −  − Lm − L1 cos 2   +   (5)   6  3   2        2    − Lm − L1 cos 2   −  − Lm − L1 cos 2   +  Ls + L1 cos 2   +    6  2  3   1 L’apice T indica la trasposizione. 2 In matematica una serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica mediante una somma di funzioni periodiche della forma x → ejnx dette armoniche. Grazie alla formula di Eulero, la precedente serie può essere espressa mediante funzioni seno e coseno. La serie prende il nome dal matematico e fisico francese Joseph Fourier (1768-1830), professore alla École Normale Supérieure e alla École Polytechnique. 11     Laf cos  Lad1 cos  Laq1 sin  Laq2 sin       2   2   2   2  Lsr ( ) =  Laf cos   −  Lad1 cos   −  Laq1 sin   −  Laq2 sin   −   (6)   3   3   3   3    2   2   2   2   Laf cos   +  Lad1 cos   +  Laq1 sin   +  Laq2 sin   +    3   3   3   3    L ff L fd1 0 0  L Ld1d1 0 0  Lrr =  1 fd (7)  0 0 Lq1q1 Lq1q2     0 0 Lq1q2 Lq2 q2  In queste espressioni i coefficienti L sono tutti positivi. Una spiegazione dettagliata dei componenti delle matrici è la seguente. La matrice Lss è la matrice della auto e mutue induttanze di statore. Per ognuna di queste induttanze, pensiamo di iniettare 1 A di corrente in solo uno degli avvolgimenti di statore (tutti gli altri avvolgimenti di statore e di rotore hanno corrente 0) e di valutare il flusso concatenato in ciascun avvolgimento di statore. Nelle macchine a poli lisci il circuito magnetico è lo stesso per ogni posizione del rotore visto che lo spessore del traferro è costante. Quindi gli elementi di Lss non dipendono da  ossia L1 è nullo. Gli elementi sulla diagonale LS sono le autoinduttanze: sono positive (visto che valutiamo il flusso concatenato nello stesso avvolgimento che lo produce) e sono uguali per le tre fasi dato che gli avvolgimenti di statore sono uguali fra loro per dimensioni e numero di spire. Le mutue induttanze sono negative dato che gli avvolgimenti sono posti a 120° uno dall’altro e quindi ad un angolo maggiore di 90° (il coseno di un angolo maggiore di 90° è negativo). Per mettere in evidenza questo, le mutue induttanze sono indicate con -Lm, dove Lm è un numero positivo. Nelle macchine a poli salienti gli elementi della matrice Lss hanno anche una componente di seconda armonica con ampiezza L1, che è un valore piccolo rispetto al modulo di Ls e di Lm. Questa variazione sinusoidale è dovuta al fatto che il traferro non è costante ma è più piccolo in corrispondenza dei poli e più largo fra due poli consecutivi (zona polare e zona interpolare, rispettivamente). Il flusso concatenato è maggiore o minore a seconda che il traferro sia piccolo o grande, rispettivamente. Dato che  è definito per una macchina con due poli (uno nord e l’altro sud), ci sono due angoli che hanno lo stesso spessore di traferro per ogni giro del rotore e questo giustifica la frequenza doppia di questa componente sinusoidale. Gli argomenti delle componenti sinusoidali si determinano in questo modo: - negli elementi della diagonale, l’argomento è la differenza di θ e dell’angolo fra l’asse magnetico dell’avvolgimento a e l’asse magnetico che dell’avvolgimento che si sta considerando (questo perché  è misurato fra l’asse d e l’asse magnetico dell’avvolgimento a); - negli elementi fuori della diagonale si guardano i due assi magnetici degli avvolgimenti che si stanno considerando, si inverte il verso di uno dei due (perché l’angolo fra essi compreso è maggiore di 90°), si divide l’angolo a metà (la massima induzione si ha quando l’asse polare è a metà fra i due assi). 12 La matrice Lsr è la matrice della auto e mutue induttanze fra gli avvolgimenti di statore e di rotore. Ogni elemento è una funzione sinusoidale di  che tiene conto del diverso accoppiamento degli avvolgimenti al variare dell’angolo fra i rispettivi assi magnetici. La matrice Lrr è la matrice della auto e mutue induttanze degli avvolgimenti di rotore. Sono tutti valori positivi non dipendenti da  per gli avvolgimenti il medesimo asse magnetico o 0 per gli avvolgimenti con asse magnetico in quadratura. t  L’utilizzo di queste matrici è difficoltoso, a causa della dipendenza da  =  dt +  0 , e quindi dal 0 tempo. Ciò giustifica l’applicazione di una trasformazione delle variabili di fase che prende il nome di trasformazione di Park 3. 2.2. Trasformazione di Park Per ogni grandezza (tensione, corrente e flusso concatenato) riguardante gli avvolgimenti di statore, la trasformazione sostituisce le tre variabili di fase (a, b, c) con tre nuove variabili, dette componente omopolare (pedice 0), componente d’asse diretto (indicato con pedice d), componente d’asse in quadratura (pedice q). In formule, vP = P vs iP = P is (8) λP = P λ s dove la matrice di trasformazione P è  1 1  1    2 2  2 2  2   2   P= cos  cos   −  cos   +  (9) 3  3   3    2   2    sin  sin   −  sin   +    3   3   e le componenti di Park sono T T T v P = v0 vd vq  i = i id iq  λ =  d q  , P 0 e P  0. Una regola mnemonica per la trasformazione di Park è fornita considerando vettori unitari diretti secondo la direzione degli assi magnetici di ogni avvolgimento di statore e scomponendoli secondo le 3 Robert H. Park (1902-1994), inventore e ingegnere americano, nato in Germania e figlio del sociologo Robert Ezra Park. Il suo articolo normalmente citato sull’argomento, scritto quando lavorava per la General Electric Company, è “Two-Reaction Theory of Synchronous Machines Generalized Method of Analysis. Part I”, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 48, no. 3, pp. 716 – 727, 1929. 13 direzioni degli assi d e q, per un generico valore di θ. Questo richiama anche una semplice interpretazione della trasformazione di Park. Essa consiste nel sostituire i tre avvolgimenti di statore con due avvolgimenti (d e q) rotanti solidali al rotore e un avvolgimento indipendente (0), come rappresentato nella Fig. 6. L’asse dell’avvolgimento d è l’asse diretto, e l’asse dell’avvolgimento q è l’asse in quadratura. Il campo magnetico prodotto dall’avvolgimento a è diretto secondo il suo asse e la sua ampiezza è pari a kia. Lo stesso si può affermare per i campi prodotti dalle altre due correnti di fase, ib e ic. Il campo prodotto dalle tre correnti secondo l’asse d risulta:   2   4   3 k  ia cos  + ib cos   −  + ic cos   −   = k id (10)   3   3  2 e, secondo l’asse q:   2   4   3 k  ia sin  + ib sin   −  + ic sin   −   = k iq (11)   3   3  2 Quindi si ha che il campo prodotto dagli avvolgimenti di statore (a,b,c) è pari, a meno di una costante moltiplicativa, a quello prodotto dagli avvolgimenti di Park (d,q). L’avvolgimento omopolare (0) è percorso da corrente solo in regime non equilibrato. Fig. 6 Circuiti dell’alternatore con l’applicazione della trasformazione di Park. 2 1 I valori e nella P la rendono una matrice ortogonale, ossia P P T = I o P −1 = P T. Questo è 3 2 importante per l’espressione della potenza uscente dallo statore: ps = va ia + vbib + vcic = vTs i s = = ( P −1 v P ) P −1 i P = vTP PP −1 i P = T (12) = vTP i P = v0i0 + vd id + vq iq 14 La trasformazione di Park definita dalla (9) conserva quindi l’espressione della potenza 4. 2.2.1. Trasformazione di Park di terne simmetriche di variabili sinusoidali Le trasformate di Park si possono applicare a qualsiasi andamento delle grandezze di fase. È però interessante scrivere le trasformate di Park delle terne di sequenza diretta, inversa ed omopolare di grandezze sinusoidali con pulsazione ω0 e con  = 0t +  0. Infatti qualsiasi terna di grandezze sinusoidali con uguale pulsazione può essere vista come la somma di una terna simmetrica di sequenza diretta (ossia tre grandezze sinusoidali di uguale frequenza e uguale ampiezza, sfasate ciascuna rispetto alla precedente di 2 / 3 e con sequenza a, b, c), di una terna simmetrica di sequenza inversa (ossia tre grandezze sinusoidali di uguale frequenza e uguale ampiezza, sfasate ciascuna rispetto alla precedente di 2 / 3 e con sequenza a, c, b) e di una terna simmetrica di sequenza omopolare (ossia tre grandezze sinusoidali di uguale frequenza, di uguale ampiezza e in fase fra loro). La scomposizione di 3 fasori non bilanciati nelle tre componenti simmetriche è anche denominata scomposizione di Fortescue 5. Nel seguito faremo riferimento a terne simmetriche di correnti sinusoidali, analoghi risultati valgono per le terne delle tensioni e dei flussi concatenati con gli avvolgimenti di statore. Trasformazione di terna di correnti sinusoidali di sequenza diretta Data la terna di sequenza diretta (o positiva) di correnti sinusoidali    cos(0t + I )     2  I abc = 2 I cos(0t + I − ) (13)  3   2   cos(0t + I + )   3  dove I è il valore efficace della corrente e I è la fase iniziale, le componenti ottenute dalla trasformazione di Park sono 6  0  I 0 dq  = 3I cos( 0 − I )  (14)  sin( 0 − I )  Quindi, le componenti id e iq sono correnti continue e la componente i0 è nulla. Trasformazione di terna di correnti sinusoidali di sequenza inversa 4 In letteratura sono anche utilizzate forme di trasformazione di Park che differiscono rispetto a quella qui descritta per il verso dell’asse q e per una diversa costante che moltiplica la matrice di trasformazione nella (9). 5 Charles LeGeyt Fortescue (1876–1936), fu ingegnere americano che nacque e studiò in Canada e che lavorò per la Westinghouse Corporation. Il suo articolo sull’argomento è "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks", Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 37, part II, pp. 1027-1140, 1918. cos( +  ) + cos( −  ) sin( +  ) + sin( −  ) 6 Tenendo conto che cos  cos  = e sin  cos  = , essendo α e 2 2 β angoli generici. 15 Data la terna di sequenza inversa (o negativa) delle correnti sinusoidali    cos(0t + I )     2  I abc = 2 I cos(0t + I + ) (15)  3   2   cos(0t + I − )  3  le componenti ottenute dalla trasformazione di Park sono  0  I 0 dq = 3I cos(20t +  0 + I )   (16)  sin(20t +  0 + I )  Quindi, le componenti d e q sono correnti alternate a frequenza doppia rispetto alle correnti di fase e la componente 0 è nulla. Trasformazione di terna di correnti sinusoidali di sequenza omopolare Data la terna di sequenza omopolare delle correnti sinusoidali cos(0t + I )  I abc = 2 I cos(0t + I )  (17) cos(0t + I )  le componenti ottenute dalla trasformazione di Park sono  2 cos(0t + I )    I 0 dq = 3I  0  (18)  0    Quindi, le componenti d e q sono nulle e la componente 0 è pari alla corrente omopolare della trasformazione alle sequenze a meno di una costante ( 3 ). 2.3. Matrici delle induttanze di Park Applicando la trasformazione di Park alla  λ s   Lss ( ) Lsr ( )  is   λ  = LT   i  , (19)  r   sr ( ) Lrr   r si ha:  λ P   PLss P −1 PLsr  i P   λ  =  T −1  i  (20)  r   Lsr P Lrr   r Si definisce matrice delle induttanze di Park la matrice: 16  L PP L Pr   PLss P −1 PLsr   LT =  (21)  Pr Lrr   LTsr P −1 Lrr  Effettuando i necessari passaggi algebrici si ottiene:  L00 0 0    L PP =  0 Ldd 0  (22) 0 0 Lqq   0 0 0 0    L Pr =  Ldf Ldd1 0 0  (23) 0 0 Lqq1 Lqq2   dove 3 3 L00 = Ls − 2 Lm , Ldd = Ls + Lm + L1 , Lqq = Ls + Lm − L1 (24) 2 2 3 3 3 3 Ldf = Laf , Ldd1 = Lad1 , Lqq1 = Laq1 , Lqq2 = Laq (25) 2 2 2 2 2 Complessivamente, tenendo conto della  L ff L fd1 0 0  L Ld1d1 0 0  Lrr =  1 fd , (26)  0 0 Lq1q1 Lq1q2     0 0 Lq1q2 Lq2 q2  si ha  L00 0 0 0 0 0 0   0 Ldd 0 Ldf Ldd1 0 0     0 0 Lqq 0 0 Lqq1 Lqq2  L PP L Pr     LT = 0 Ldf 0 L ff L fd1 0 0  (27)  Pr Lrr   0 Ldd1 0 L fd1 Ld1d1 0 0    0 0 Lqq1 0 0 Lq1q1 Lq1q2  0 0 Lqq2 0 0 Lq1q2 Lq2 q2   La matrice delle induttanze di Park è costante: dato che gli avvolgimenti d e q sono fissi rispetto al rotore, scompare la dipendenza da . Gli avvolgimenti si ripartiscono in due gruppi e le induttanze mutue fra i due gruppi sono nulle: d, f, d1 da una parte e q, q1 e q2 dall’altra. L’assenza di accoppiamento magnetico fra i due gruppi si giustifica dalla posizione perpendicolare degli assi d e q e dall’ipotesi di macchina sinusoidale. 2.4. Equazioni di Park di un alternatore Applicando la trasformazione di Park, le equazioni di statore diventano: 17  d −1 v P = −R s  i P − P dt ( P λ P) = (28)  d  dλ −R s  i P − P  P −1  λ P − P  dt  dt ossia d dλ v P = −R s  i P − Tλ P − P (29) dt dt 0 0 0 con T =  0 0 1  (operatore di rotazione di 90° nel piano dq) 7.    0 −1 0  In forma estesa: d 0 v0 = − Ra  i0 − dt d d vd = − Ra  id − q − d (30) dt dt d d vq = − Ra  iq + d − q dt dt A queste equazioni occorre aggiungere quelle di rotore: df v f (t ) = R f  i f (t ) + dt d d1 0 = Rd 1  id1 ( t ) + dt (31) d q1 0 = Rq1  iq1 ( t ) + dt d q2 0 = Rq 2  iq2 ( t ) + dt d d In queste equazioni i termini  sono detti forze elettromotrici mozionali e quelli sono detti dt dt forze elettromotrici trasformatoriche. Possiamo riscrivere le equazioni di Park, trascurando il circuito omopolare, nella forma:   0 − sin  cos     d −1   2   2  ( P ) =  0 − sin   −   cos   −    dt   3   3    2   2  0 − sin   +   cos   +    7   3   3   18   vd   Ra 0 0   id  q   d   −v  = −  0     d    f  Rf 0  i f  −  0  −  f  (32) dt  0  0  0 Rd1  id1   0  d   1 vq   Ra 0 0   iq  d   q   0  = − 0     d      Rq1 0   iq1  +  0  −  q1  (33) dt  0  0  0 Rq2  iq2   0   q   2 con  d   Ldd Ldf Ldd1   id         f  =  Ldf L ff L fd1   i f  (34) d   Ldd L fd1 Ld1d1  id1   1  1  q   Lqq Lqq1 Lqq2   iq        q1  =  Lqq1 Lq1q1 Lq1q2   iq1  (35) q   Lqq Lq1q2 Lq2q2  iq2   2  2 Le precedenti equazioni possono essere visualizzate nei seguenti circuiti equivalenti secondo l’asse d e l’asse q. 2.5. Circuiti equivalenti La Fig. 7 mostra i circuiti equivalenti che rappresentano i circuiti secondo l’asse diretto, in quadratura e omopolare. Rf if id Ra q df vf dt vd d d Rd1 − dt d d 1 id1 dt a) Rq1 iq Ra d d q1 iq1 dt vq d q Rq 2 − dt d q 2 iq 2 dt b) 19  i0 Ra v0 d 0 − dt 3 Zn 3vn c) Fig. 7 Circuiti equivalenti di Park: a) asse diretto, b) asse in quadratura e c) circuito equivalente zero. I punti indicano che, con le convenzioni assunte, i versi positivi delle correnti degli avvolgimenti sono entranti nei terminali associati ai punti e, quindi, i flussi mutui si sommano. Il circuito omopolare merita un approfondimento. Supponiamo che il punto di neutro sia connesso a terra tramite una impedenza Zn. I valori trasformati secondo Park di una terna di tensioni uguali e pari a vn sono v0 = 3vn e vd=vq=0. Dato che la corrente che circola nel neutro è pari alla somma delle tre 1 i correnti di fase, allora i0 = ( ia + ib + ic ) = n e quindi l’impedenza da inserire nel circuito 3 3 3 omopolare è pari a 3vn = 3Z n. in 2.6. Circuiti equivalenti in p.u. Siano VB e IB la tensione di base e la corrente di base per le tensioni e le correnti di fase di statore. I valori di base per le corrispondenti grandezze trasformate secondo Park sono 3VB e 3I B. In questo modo si ha che fra le variabili in p.u. sussistono le stesse relazioni viste in precedenza, in particolare si ha: ps voio + vd id + vq iq ps , pu = = = vo , pu io , pu + vd , pu id , pu + vq , pu iq , pu (36) SB 3VB 3I B Per gli avvolgimenti rotorici abbiamo un grado di libertà, occorre fissare un valore di base per il circuito d’eccitazione. Si sceglie tale valore in modo tale che il circuito equivalente non contenga i trasformatori ideali. Facendo riferimento a un trasformatore con due avvolgimenti, l’avvolgimento 1 e l’avvolgimento 2, ciò si ottiene o scegliendo i valori di base delle correnti in modo tale che I B 2 / I B1 = N1 / N 2 8 oppure in modo da ottenere flussi concatenati mutui uguali in p.u. per valori delle correnti i1 e i2 uguali in p.u. (sistema reciproco). VB 2 N 2 8 E di conseguenza i valori di base delle tensioni in modo tale che = , essendo uguale la potenza dei due VB1 N1 avvolgimenti. 20 Scegliendo questa seconda possibilità, si ha che la condizione di flussi mutui uguali corrisponde a L11 − L 1 Lm1, pu = L12, pu , dove Lm1, pu = è il valore in p.u. della induttanza di magnetizzazione LB1 L I dell’avvolgimento 1 e L12, pu = 12 B 2 9 è il valore in p.u. della induttanza mutua fra gli avvolgimenti 1 LB1 I B1 L11 − L 1 e 2. Di conseguenza la condizione da rispettare fra i valori di base delle correnti è I B 2 = I B1. L12 Da quanto detto sopra, scegliendo un sistema di valori di base reciproco, i valori delle induttanze di magnetizzazione e delle induttanze mutue sono uguali in p.u.. Designando con M il valore comune delle induttanze mutue e magnetizzanti in p.u., la matrice delle induttanze in p.u. dei due avvolgimenti assume la forma semplificata: L L12   L 1 + M M  L =  11 = L22   M  (37)  L12 L 2 +M Scelto pari a 3I B il valore di base della corrente nel circuito d, la corrente di base del circuito f è dunque pari a Ldd − L I Bf = 3I B (38) Ldf dove L è l’induttanza di dispersione del circuito d. Si assume che l’induttanza di dispersione dei circuiti d e q siano uguali. Espressioni simili si hanno per gli altri circuiti rotorici. Ldd − L I Bd1 = 3I B (39) Ldd1 Lqq − L I Bq1 = 3I B (40) Lqq1 Lqq − L I Bq2 = 3I B (41) Lqq2 Però, per tali circuiti, le induttanze mutue che compaiono al denominatore non sono note e quindi, calcolati i valori in p.u. delle correnti e delle tensioni in tali circuiti, non si possono ottenere i corrispondenti valori in V ed A. Le induttanze di Park in p.u. diventano quindi (omettendo l’indicazione p.u.): 9 A giustificazione della formula utilizzata per L12,pu, si noti che il flusso concatenato con l’avvolgimento 1 è: L i L i L I 1,pu = 11 1 + 12 2 = L11,pu i1,pu + 12 B2 i2,pu. LB1 I B1 LB1 I B1 LB1 I B1 21   L + Ldf Ldf Ldf    Ld =  Ldf L f + Ldf Ldf  (42)  Ldf Ldf L d1 + Ldf    L + Lqq1 Lqq1 Lqq1    Lq =  Lqq1 L q1 + Lqq1 Lqq1  (43)  Lqq Lqq1 L q2 + Lqq1   1 Ldf e Lqq1 sono influenzate dalla saturazione del materiale magnetico, a differenza di quelle di dispersione. Si ottengono quindi i circuiti equivalenti secondo l’asse diretto e in quadratura, mostrati in Fig. 8. id Ra q L D Lf L d1 if vd d d Ldf − id1 dt Rf Rd1 vf a) N iq Ra d L Q L q1 L q2 vq d q Lqq1 − iq1 iq2 dt Rq1 Rq2 b) N Fig. 8 Circuiti equivalenti in p.u. di un alternatore: a) circuito equivalente secondo l’asse diretto, b) circuito equivalente secondo l’asse in quadratura. 2.7. Reattanza satura e non satura e rapporto di cortocircuito Per tenere in conto della saturazione del circuito nei circuiti di Fig. 8 si modifica opportunamente il ramo contenete le induttanze mutue (Ldf e Lqq1). Effetti di saturazione si possono osservare (soprattutto secondo l’asse diretto) in condizioni di macchina a vuoto o poco carica, con elevati valori di eccitazione. Questo paragrafo mostra la differenza fra reattanza satura e non satura e il significato di rapporto di cortocircuito. Supponiamo di essere nelle condizioni di funzionamento a regime con i tre terminali dell’alternatore chiusi in cortocircuito. Le tensioni di fase sono nulle e quindi sono nulli vd, vq e io. In condizioni di corto 22 circuito (SC – short circuit), esaminando il circuito equivalente secondo l’asse in quadratura, assumendo Ra trascurabile, si ha Raiq≈0 e quindi che λd≈0: Ldd id SC + Ldf i f SC = 0 (44) e quindi Ldd i f SC = − id SC (45) Ldf A vuoto (OC – open circuit) si ha invece: 1 i f OC = vq OC (46) 0 Ldf Dalla (45) e dalla (46) si ottiene: i f OC 1 vq OC =− (47) i f SC 0 Ldd id SC Si definisce rapporto di cortocircuito (SCR – short circuit ratio) di un alternatore il rapporto fra la corrente di eccitazione che a vuoto che produce la tensione nominale ai morsetti dell’alternatore e la corrente di eccitazione necessaria per avere in cortocircuito la corrente statorica nominale. Se la tensione ai terminali dell’alternatore Vt nella prova a vuoto e la corrente di fase I nella prova in cortocircuito sono pari ai valori nominali, allora nella (47) vq OC = 1 p.u. e id SC = -1 p.u. e quindi 1 SCR = (in p.u.) (48) Xd SCR coincide quindi con l’inverso di Xd. Un basso valore di SCR caratterizza una macchina dal basso costo (alti valori dei flussi dispersi) ma con la necessità di un potente sistema di eccitazione. Con riferimento alla Fig. 9 il valore della tensione a vuoto nominale è considerata nella curva della tensione a vuoto ai morsetti la (48) fornisce il valore della Xdd satura, mentre se il valore della tensione è considerata nelle caratteristica lineare, cosiddetta al traferro, la (48) fornisce il valore della Xdd non- satura. 23  NL OC(a.g.) (ag) Vt I OC NL 1 p.u. SC 1 p.u. ifNL(ag) ifOC ifNL ifSC Fig. 9 Caratteristica della tensione ai terminali a vuoto (OC – open circuit), caratteristica della tensione al traferro (ag – air gap), e caratteristica della corrente ai terminali in cortocircuito (SC – short circuit). 2.8. Coppia elettromagnetica Il bilancio di potenza allo statore è dWms pr →s = ps + pJs + (49) dt dove pr → s è la potenza trasferita dal rotore allo statore, p s è la potenza uscente dallo statore, pJs indica le perdite Joule nello statore e Wms è l’energia magnetica immagazzinata negli avvolgimenti statorici. La potenza uscente dallo statore è ps = va ia + vbib + vcic = voio + vd id + vq iq (50) Introducendo le equazioni di Park, tale potenza può essere anche scritta come:  d d d q  ps = − ( Ra io2 + Ra id2 + Raiq2 ) −  io o + id d + iq  +  ( d iq − qid ) (51)  dt dt dt  Dal confronto fra le formule (49) e (51) si ha: pr → s =  ( d iq − q id ) (52) Il bilancio delle potenze al rotore è: dWmr dWc pm + pr = pJr + + pr →s + (53) dt dt dove pm è la potenza meccanica fornita dalla turbina, pr è la potenza fornita agli avvolgimenti di rotore dall’esterno, pJr sono le perdite nel rotore, Wmr è l’energia magnetica immagazzinata nei circuiti rotorici e Wc è l’energia cinetica del rotore. 24 Introducendo le equazioni di rotore, la potenza pr vale: pr = v f i f + vd1 id1 + vq1 iq1 + vq2 iq2 =  df d d1 d q1 d q2  = ( R f i 2f + Rd1 id21 + Rq1 iq21 + Rq2 iq22 ) +  i f + id1 + iq1 + iq2 = (54)  dt dt dt dt  dWmr = pJr + dt La potenza trasmessa allo statore sotto forma di coppia elettromagnetica Ce vale: dWc  pr →s = pm − = mCe = Ce (55) dt p e quindi, dalla (52), Ce = p ( d iq − q id ) (56) Esprimendo i flussi in funzione delle correnti, la coppia Ce, può essere vista come la somma di tre coppie: 1) una coppia che esiste solo se Ldd e Lqq sono diverse, detta coppia di riluttanza, Ce = p ( Ldd − Lqq ) iq id (57) 2) una coppia dovuta alla corrente di eccitazione if, detta coppia sincrona, Ce = pLdf i f iq (58) 3) ed una coppia dovuta alle correnti negli avvolgimenti smorzatori, detta coppia asincrona Ce = p ( Ldd1 id1 iq − Lqq1 iq1 id − Lqq1 iq2 id ) (59) 2.9. Equazione del moto del rotore Dall’equazione della dinamica applicata al rotore, si ha d 2 m I 2 = Cm − Ce (60) dt dove ⎯ θm è l’angolo meccanico che definisce la posizione del rotore, la sua derivata è la velocità meccanica ωm. L’angolo elettrico θ è pari a pθm, dove p è il numero di coppie di poli, e la sua derivata è ω. ⎯ I è il momento d’inerzia di tutte le masse rotanti connesse al rotore (in kg m2) 10 10 I r 2dm , dove r è la distanza perpendicolare all’asse di rotazione e dm la massa elementare. Per un 1 rotore cilindrico di massa M e raggio R che ruota rispetto al suo asse longitudinale si ha I MR2. 2 25  ⎯ Cm è la coppia meccanica fornita dal motore primo (in N m) al netto delle perdite meccaniche (attrito, ventilazione, ecc.) ⎯ Ce è la coppia elettromagnetica dell’alternatore (in N m). t  Si definisce un angolo δ pari alla differenza fra l’angolo elettrico  =  dt +  0 , la cui derivata è la 0 velocità angolare elettrica ω, e la posizione di un riferimento che ruota costantemente alla velocità angolare di sincronismo ω0:  =  (t ) − 0t (61) Si ha, quindi, tenendo conto che  (t ) = p  m (dove p è il numero di coppie polari) I d 2 = Cm − Ce (62) p dt 2 che, divisa per il valore di base delle coppie (Snom /ω0m, dove Snom è potenza nominale dell’alternatore e ω0m è la velocità nominale meccanica), diventa I 0 m d 2 = cm − ce (63) p Snom dt 2 dove cm e ce sono i valori in p.u. S’introduce nella equazione H che è la cosiddetta costante di inerzia definita come il rapporto fra l’energia cinetica alla velocità nominale e la potenza nominale dell’alternatore Snom: I 0m 12 H= 2 (64) Snom Si ottiene quindi 2 H d 2 = cm − ce (65)11 0 dt 2 Tipici valori di H sono riportati in Tab. I. Tab. I Valori tipici di H gruppo termico gruppo idraulico p=1 H=2,5 – 6 s 2–4s p=2 H= 4 – 10 s 2 H d 2 11 Se ωm ≈ ω0m, la (65) può essere scritta come = pm − pe. 0 dt 2 26 La (65) si può scrivere anche introducendo il tempo di avviamento del rotore, Tavv=2H, ossia il tempo necessario affinché il rotore inizialmente fermo acceleri fino alla velocità nominale se sottoposto alla coppia nominale.12  − 0 La Fig. 10 mostra lo schema a blocchi che rappresenta la dinamica di rotore, dove pu = es 0 la variabile di Laplace. cm + 1 pu 0  − ++ 2H s s ce Fig. 10 Schema a blocchi della dinamica meccanica del rotore. È spesso desiderabile tenere in conto di coppie di smorzamento (non già tenute in conto nel calcolo di Ce). La (65) diventa 2 H d 2 = cm − ce − K D pu (66)13 0 dt 2 dove KD è detto coefficiente (o fattore) di smorzamento (coppia in p.u. / variazione di velocità in p.u.). m 1 Tavv m 12 Infatti, dalla (65), = 0 m 2 H  0 c dt con 0 m = 1 e c =1. 2 H d 2 K d 13 O, analogamente, = cm − ce − D. 0 dt 2 0 dt 27 3. CIRCUITI ELETTRICI DELLE CENTRALI E PROTEZIONI I circuiti elettrici delle centrali comprendono il macchinario elettrico, gli apparecchi elettrici (di manovra, di misura, di regolazione e di protezione), i dispositivi di segnalazione e comando, e i relativi collegamenti. Possono essere suddivisi in circuiti elettrici principali e secondari. I circuiti elettrici principali sono costituiti dall'insieme del macchinario e apparecchi elettrici attraversati dal flusso principale di energia. I circuiti elettrici secondari sono quelli non interessati dal flusso principale di energia, e cioè i circuiti ausiliari (nonché i circuiti di regolazione, i circuiti di misura, i circuiti di protezione, i circuiti di comando e segnalazione). 3.1. I circuiti elettrici principali Gli alternatori alimentano le reti di AT tramite trasformatori elevatori aventi collegamento triangolo-stella con neutro a terra, come indicato nella Fig. 11. 1525 kV AT R r Fig. 11 Montante di macchina L'avvolgimento di AT ha il collegamento a stella. L'avvolgimento di MT, connesso al generatore, è a triangolo per vari motivi tecnici: consente la circolazione delle correnti omopolari e conferisce al trasformatore una bassa impedenza omopolare dal lato AT, pur mantenendo isolato il neutro lato generatore. Si noti che la connessione a triangolo è adatta anche dal punto di vista del dimensionamento, perché gli avvolgimenti sono costruiti per corrente meno intensa. L'avvolgimento statorico del generatore e l'avvolgimento a triangolo del trasformatore elevatore, nell'usuale schema della Fig. 11, costituiscono una sezione d'impianto a MT, che conviene esercire con neutro posto a terra attraverso una resistenza di valore opportuno. Se il neutro del generatore è tenuto isolato da terra, la corrente di guasto monofase a terra per un grande generatore è dell'ordine della decina di A. Conseguentemente, all’occorrenza di un guasto monofase a terra entro una cava statorica, i danni restano limitati facilmente al solo avvolgimento. L'esercizio con neutro completamente isolato comporta, però, elevate sovratensioni a frequenza industriale e transitorie, che conviene limitare, nel caso in esame, perché il costo dell'isolamento è ingente negli alternatori, molto più che negli impianti di distribuzione a media tensione. Ci si rende conto subito che l'esercizio dei generatori con neutro direttamente a terra implicherebbe gravi rischi e non giustificati aggravi economici. Si ricorda in proposito che la reattanza alla sequenza omopolare coincide con la reattanza di dispersione dell’alternatore ed è più piccola di quelle alla sequenza diretta e inversa (in genere, da un quarto alla metà). Perciò la corrente di guasto monofase a terra ai terminali di un generatore con neutro a terra è maggiore di quella di guasto trifase e costringerebbe a conferire agli avvolgimenti statorici una grande tenuta alle sollecitazioni elettrodinamiche. Inoltre, all'occorrenza di un guasto monofase a terra entro una cava statorica, la 28 corrente di guasto - che è di parecchie decine di kA simmetrici nelle grandi macchine - causerebbe danni ingenti con possibilità di estesa bruciatura del pacco lamellare14. La riparazione, allora, sarebbe oltremodo onerosa, dovendosi provvedere allo smontaggio del pacco lamellare statorico. L'importanza di queste considerazioni si valuta quando si tiene conto che i guasti in cava nei generatori, peraltro molto rari, sono in genere monofasi a terra. Nel funzionamento con neutro posto a terra attraverso una impedenza Zn di opportuno valore, la reattanza alla sequenza omopolare Xo è pari a quella dell’alternatore sommata a 3Zn, per cui la corrente di guasto monofase a terra ai terminali di un generatore con neutro a terra tramite reattanza di opportuno valore è minore di quella per guasto trifase. Le stesse considerazioni si possono ripetere per il caso in cui tra centro stella e terra sia interposta una resistenza di valore opportuno anziché una reattanza (si ricorda che è sempre bene evitare, quando è possibile, l’uso di induttanze per evitare inconvenienti legati a possibili interazioni pericolose con le capacità sempre presenti). La resistenza può essere collegata al secondario di un trasformatore monofase il cui primario è collegato tra il centro stella del generatore e terra, come mostra la Fig. 11. Il trasformatore alimenta anche un relè (r) atto a rilevare la presenza di un guasto a terra. Nei circuiti elettrici principali, si adottano, rispettivamente, per i montanti in MT dei conduttori blindati (anche detti blindosbarre), per i montanti in AT dei conduttori flessibili a corda o cavi. Le condutture blindate in MT sono delle sbarre in cui il conduttore di ogni singola fase, ammarrato ad isolatori in porcellana, è contenuto a distanza di isolamento in un involucro metallico, concentrico al conduttore. La sezione del conduttore è costituita da due profil