Capítulo 1 Los Números Reales PDF

Capı́tulo 1 Los Números Reales 1.1. Introducción. En este primer capı́tulo del libro introducimos el sistema de los Números Reales, que es la base sobre la cual se desarrolla el Análisis Matemático. Los matemáticos griegos, cuyo interés fundamental fue la Geometrı́a, sabı́an que los...

Capı́tulo 1 Los Números Reales 1.1. Introducción. En este primer capı́tulo del libro introducimos el sistema de los Números Reales, que es la base sobre la cual se desarrolla el Análisis Matemático. Los matemáticos griegos, cuyo interés fundamental fue la Geometrı́a, sabı́an que los números racionales, es decir, cocientes de enteros, no bastan para asignar una longitud numérica a cada segmento de recta. En efecto, un triángulo rectángulo de catetos de longitud 1 debe tener, por el Teorema de Pitágoras, una hipotenusa de longitud d con d2 = 2, y es fácil ver que ningún número racional tiene esta propiedad: supongamos d = a/b donde a y b son enteros y no son ambos pares. Si d2 = 2, tenemos 2b2 = a2 y por lo tanto a es par, digamos a = 2c, pero entonces b2 = 2c2 y b también es par, lo cual es una contradicción. Al número que corresponde a la longitud de la hipotenusa de este triángulo √ (que no es un número racional) lo llamamos raı́z de dos y lo denotamos 2. Para poder incluir estos números es necesario extender el conjunto de los números racionales. Comenzamos este capı́tulo postulando la existencia de un conjunto R, cuyos elementos llamaremos números reales, junto con las operaciones de suma y mul- tiplicación y una relación de orden, que tomados en conjunto satisfacen trece axiomas. Estos axiomas definen lo que conocemos como un Cuerpo Ordenado Completo, y constituyen la respuesta a la pregunta ¿Qué son los números reales? La prueba de que esta estructura de Cuerpo Ordenado Completo existe (y es única) depende de las hipótesis iniciales. En nuestro caso simplemente listare- mos los axiomas que definen a un Cuerpo Ordenado Completo y supondremos la existencia de este objeto. Es posible seguir un camino constructivo para responder la pregunta del parráfo anterior, es decir, es posible, partiendo de los Números Racionales o incluso de estructuras más elementales como los Números Naturales o axiomas básicos de la Teorı́a de Conjuntos, construir un conjunto con operaciones de 2 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES suma y multiplicación y una relación de orden, que satisfacen los axiomas que vamos a listar en este capı́tulo y que constituyen lo que conocemos como los Números Reales. Hay varias maneras de hacer esta construcción. En los ejercicios complementarios al final del capı́tulo presentamos, como problema a resolver, una sucesión de ejercicios que lleva a esta construcción a través del método de Dedekind. 1.2. Axiomas para los Números Reales. Suponemos la existencia de una cuádrupla (R, +, ·, a. La relación ≤ se define por a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b. Los axiomas (x) y (xii) dicen que < es un orden lineal y (xi) relaciona el orden < con las funciones + y ·. Definición 1.1 Para cualquier a ∈ R, el módulo o valor absoluto |a| se define como sigue: ( x, si x ≥ 0, |x| = −x, si no. Ejercicios 1.3 1. Usando los axiomas (i)-(xii) demuestre lo siguiente: a) Para cualesquiera a, b, c en R, a < b y b < c implican a < c; a ≤ b y b ≤ c implican a ≤ c; es decir, las relaciones < y ≤ son transitivas. La relación ≤ es reflexiva (a ≤ a) mientras que < no lo es. b) Si a y b están en R, a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. c) Si a, b y c están en R y a > b, entonces a + c > b + c; si c > 0 entonces ac > bc; si c < 0 entonces ac < bc. d) Si a ∈ R y a 6= 0 entonces a · a > 0. En consecuencia 1 > 0. e) Para cualquier a en R, a > 0 si y sólo si −a < 0. f) Si a ∈ R y a > 0 entonces a−1 > 0; si a < 0, entonces a−1 < 0. g) Para cualesquiera a, b, c en R, a − b < a − c si y sólo si b > c. 1.3. LOS NÚMEROS NATURALES 5 h) Si a y b están en R, a > b > 0 implica 0 < a−1 < b−1 , mientras que a < b < 0 implica b−1 < a−1 < 0. i) Para cualesquiera a y b en R, con a > 0 y b > 0, a > b ⇔ a · a > b · b. j) Si a ∈ R, entonces | − a| = |a|. Además, |a| = 0 si y sólo si a = 0. k) Para cualesquiera a y b en R, |ab| = |a||b|, |a + b| ≤ |a| + |b| y |a − b| ≥ ||a| − |b||. l) Si a y b están en R y b > 0, entonces |a| < b si y sólo si −b < a < b. 2. Demuestre que para el sistema definido en el ejercicio 1.2.2 no es posible definir una relación de orden que satisfaga los axiomas (x) - (xii). 3. Considere el conjunto descrito en el ejercicio 1.2.3. ¿Satisface este conjunto los axiomas para la relación de orden? En lenguaje algebraico los axiomas anteriores expresan el hecho de que (R, +, ·, p entonces q − p ∈ N. (5) Si x ∈ R y p < x < p + 1 entonces x 6∈ N Demostración. 1.3. LOS NÚMEROS NATURALES 7 (1) Supongamos que p ∈ N y sea A = {n : n ∈ N y p + n ∈ N}. Evidentemente basta ver que A = N y para esto mostraremos que A es inductivo. Como p ∈ N y N es inductivo, p + 1 ∈ N de modo que 1 ∈ A. Si n ∈ A entonces p + n ∈ N de modo que p + (n + 1) = (p + n) + 1 ∈ N, y por lo tanto n + 1 ∈ A. Las pruebas de las proposiciones (2), (3) y (4) son similares y quedan como ejercicio. En cada caso hay que mostrar que el conjunto A es inductivo donde A = {n : n ∈ N, np ∈ N} en el caso (2), A = {n : n ∈ N, n ≥ 1} en el caso (3), A = {n : n ∈ N, y si m ∈ N, m > n, entonces m − n ∈ N} en el caso (4). (5) Si x ∈ N, p < x < p + 1 y x ∈ N entonces por (4) x − p ∈ N y por (3) tenemos x − p ≥ 1, es decir, x ≥ p + 1 lo que contradice la hipótesis x < p + 1. Por lo tanto, la hipótesis x ∈ N es falsa. ¥ Definición 1.3 Si A ⊂ R y b ∈ R es tal que a ≤ b para todo a ∈ A, decimos que b es una cota superior para A. Si A ⊂ R tiene una cota superior decimos que A está acotado superiormente. Si A ⊂ R y c ∈ R es tal que c ≤ a para todo a ∈ A, decimos que c es una cota inferior para A. Si A ⊂ R tiene una cota inferior decimos que A está acotado inferiormente. Si A ⊂ R está acotado superior e inferiormente, decimos que A está acotado. Si A ⊂ R, un número real b es un supremo o una cota superior mı́nima para A si: 1. b es una cota superior para A. 2. No hay cota superior para A que sea menor que b. Si b es un supremo para A, escribimos b = sup A. Si A ⊂ R, un número real c es un ı́nfimo o una cota inferior máxima para A si: 1. c es una cota inferior para A. 2. No hay cota inferior para A que sea mayor que c. Si c es un ı́nfimo para A escribimos c = ı́nf A. Teorema 1.4 (Principio del Buen Orden) Si A es un subconjunto no vacı́o de N entonces A tiene un ı́nfimo, es decir, hay un elemento a ∈ A tal que p ≥ a para todo p ∈ A. 8 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES Demostración. Supongamos que existe un subconjunto no vacı́o A de N que carece de ı́nfimo. Definimos S = {n ∈ N : n < a para todo a ∈ A}. Sabemos que 1 ∈ S porque en caso contrario el Teorema 1.3 (3) muestra que 1 es el ı́nfimo de A. Supongamos que n ∈ S y que n + 1 ∈ / S, entonces existe a ∈ A tal que a ≤ n + 1. Como no existe ningún número natural entre n y n + 1 vemos que a = n + 1 y a es el menor elemento de A; por lo tanto es el ı́nfimo de A. Esta contradicción muestra el resultado. ¥ Ejercicios 1.4 1. Demuestre por inducción que 1 + 2 + · · · + n = 12 n(n + 1) para todo n ∈ N. 2. Demuestre por inducción que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 para todo n ∈ N. 1 1 1 1 3. Demuestre por inducción que 1 + 2 + 4 + ··· + 2n =2− 2n para todo n ∈ N. 4. Demuestre por inducción la desigualdad de Bernoulli: Si x ≥ −1 y k ∈ N en- tonces (1 + x)k ≥ 1 + kx. Hay igualdad sólo si k = 1 ó x = 0. ¡ ¢ 5. Sea nk el coeficiente binomial definido por à ! n n! = k k!(n − k)! donde n, k son enteros positivos (≥ 0), 0 ≤ k ≤ n, y definimos 0! = 1. Demuestre las siguientes afirmaciones. à ! à ! à ! à ! à ! n n n n n+1 (a) = (b) + = para k > 0. k n−k k−1 k k 1.4. Los Números Enteros. Definición 1.4 Un número real x es un entero si x = 0, x ∈ N ó −x ∈ N. El conjunto de los enteros lo denotamos Z. Teorema 1.5 Si m, n ∈ Z entonces −n ∈ Z, m + n ∈ Z y mn ∈ Z. Demostración Ejercicio. Definición 1.5 Sea x ∈ R, definimos x0 = 1, x1 = x y xn+1 = xn x para n ∈ N. Si x 6= 0 y n ∈ N definimos x−n = 1/xn. Teorema 1.6 (Leyes de los Exponentes) Sean x, y ∈ R \ {0} y m, n ∈ Z. (1) xm xn = xm+n. (2) xn y n = (xy)n. (3) (xm )n = xmn. 1.5. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. 9 (4) Si n > 0, x > 0, y > 0 entonces x < y ⇔ xn < y n. Demostración. Todas las proposiciones pueden demostrarse fijando x, y y m y haciendo inducción en n, considerando los casos n ≥ 0 y n < 0 por separado. Los detalles quedan como ejercicio. ¥ 1.5. Números Racionales e Irracionales. Definición 1.6 Un número racional es un número real x que puede expresarse en la forma x = m/n, donde m y n son enteros y n 6= 0. El conjunto de los racionales se denota por Q. Los números en R\Q se llaman números irracionales. El siguiente teorema puede deducirse fácilmente de las propiedades de los en- teros. Teorema 1.7 Si x, y ∈ Q, entonces −x, x + y, xy y x−1 (para x 6= 0) también son racionales. Por lo tanto, Q también es un cuerpo. Más aún, en Q también hay una relación de orden que satisface los axiomas (x), (xi) y (xii), de modo que (Q, +, ·, 2 entonces siempre existe w0 ∈ Q con 2 < w0 < w, es decir, siempre existe 10 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES otro racional menor que w que √ también es cota superior de A. Por otro lado, cualquier racional menor que 2 no es cota superior, como hemos √ visto. Si hubiera un supremo de A en Q, tendrı́a que coincidir con 2, pero ya hemos visto que este no es un número racional. √ Por lo tanto, en Q este conjunto no tiene un supremo. En cambio, en R sı́: 2. Esta es la diferencia fundamental entre Q y R, que se expresa en el último axioma para los números reales. xiii) Axioma de Completitud Si A ⊂ R no es vacı́o y está acotado superiormente entonces A tiene un supremo. Podemos ahora dar una definición de los números reales: Son un conjunto de números R con dos operaciones + y · y una relación de orden α entonces x ∈ B y si x < α se tiene que x ∈ A. Demostración. El conjunto A no es vacı́o y por hipótesis todo elemento de b es cota superior de A. Como B 6= ∅ sabemos que A está acotado superiormente. Por el Axioma de Completitud, A tiene un supremo. Sea α = sup A, entonces como α es cota superior para A, a ≤ α para todo a ∈ A y como todo elemento de B es una cota superior de A, α ≤ b para todo b ∈ B. Si x > α entonces x ∈ B ya que en caso contrario x ∈ A y tendrı́a que ser cierto que x ≤ α. De manera similar, si x < α, x ∈ A y la prueba termina. ¥ 1.6. EL AXIOMA DE COMPLETITUD. 11 Retomando el ejemplo√ sobre el conjunto de números racionales con el que iniciamos esta sección, 2 corresponde al α del teorema, que está en R pero no en Q. Veamos ahora que, recı́procamente, el Teorema de Dedekind implica el Axio- ma de Completitud. Supongamos cierto el Teorema 1.9 y sea A0 ⊂ R un conjunto acotado superiormente. Queremos ver que A0 tiene un supremo. Si A0 tiene una cota superior b que pertenece a A0 entonces b = sup A0 y no hay nada que probar. Supongamos entonces que ninguna cota superior de A0 está en A0 y definamos B = {b ∈ R : b es cota superior de A0 }. Como A0 está acotado superiormente por hipótesis, B 6= ∅ y si definimos A = R \ B entonces A0 ⊂ A y A 6= ∅. Además si a ∈ A y b ∈ B entonces a 6= b de modo que a < b ó a > b. Pero b es una cota superior de A0 y si a > b tendrı́amos que a también es cota superior de A0 y a ∈ B, lo cual es imposible. Por lo tanto si a ∈ A y b ∈ B, a < b. Por el Teorema 1.9 concluimos que existe un α ∈ R tal que x > α =⇒ x ∈ B y x < α =⇒ x ∈ A. Si x ∈ A0 entonces x ∈ A y x ≤ α (en caso contrario x > α y x ∈ B) de modo que α es una cota superior para A0. Si b es una cota superior para A0 , b ∈ B y b ≥ α (en caso contrario b < α y b ∈ A) de modo que α es un supremo para A y el Axioma de Completitud es cierto. ¥ El siguiente teorema nos da una consecuencia importante del Axioma de Completitud. Teorema 1.10 (Propiedad Arquimediana) Si x > 0, para cualquier y ∈ R existe n ∈ N tal que nx > y. Demostración. Sea x > 0, y ∈ R y supongamos que no existe n ∈ N tal que nx > y. Entonces nx ≤ y para todo n ∈ N, de modo que el conjunto A = {nx : n ∈ N} no es vacı́o y está acotado superiormente. En consecuencia A tiene un supremo. Sea a = sup A entonces si n ∈ N, nx = (n + 1)x − x ≤ a − x de modo que a − x < a es una cota superior para A. Esta contradicción muestra que la hipótesis nx ≤ y para todo n ∈ N es falsa. ¥ Cualquier cuerpo ordenado que posea la propiedad enunciada en el teore- ma anterior es un Cuerpo Arquimediano. Hay cuerpos ordenados que no son Arquimedianos y hay cuerpos Arquimedianos que no son completos. Podemos obtener las siguientes conclusiones del Teorema 1.10. Tomando x = 1, si y ∈ R hay un n ∈ N tal que n > y, es decir, hay enteros positivos arbitrariamente grandes. Por otro lado tomando y = 1, si x ∈ R, x > 0 hay un n ∈ N tal que 1/n < x. (Esto quiere decir que la sucesión {1/n} toma valores arbitrariamente pequeños). 12 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES Teorema 1.11 (Densidad de los Racionales) Si a y b son números reales con a < b entonces hay un racional r tal que a < r < b. Demostración. Supongamos primero que a > 0. Por el Teorema 1.10. hay un entero positivo n tal que n(b − a) > 1, es decir, nb > na + 1. De nuevo por el Teorema 1.10 el conjunto {m : m ∈ N, m > na} no es vacı́o y por el buen ordenamiento de los naturales tiene un mı́nimo elemento p, es decir, hay un entero positivo p tal que p > na ≥ p − 1. Por lo tanto nb > na + 1 ≥ p > na y si ponemos r = pn−1 tenemos a < r < b. Si a = 0 entonces 0 < b/2 < b y por lo que acabamos de ver hay un racional r tal que 0 = a < b/2 < r < b. Si a < 0 entonces a < 0 < b, y en este caso el Racional 0 satisface la proposición, ó 0 ≤ |b| < |a| y en este caso hay un racional r entre |b| y |a| y a < −r < b. ¥ Ejercicios 1.5 1. Si b y c son supremos del conjunto A, entonces b = c. Mostrar lo mismo para ı́nfimos. 2. Si A ⊂ R, b = sup A si y sólo si b es cota superior para A y dado ε > 0 existe a ∈ A tal que b − e < a ≤ b. 3. Si b es cota superior para el conjunto A y b ∈ A, entonces b = sup A. 4. Hallar, si existen, el supremo e ı́nfimo de cada uno de los siguientes subconjuntos de R: (a) {x : 0 ≤ x < 1}, (b) {x : 0 < x ≤ 1}, (c) {x : 0 < x < 1}, 2 (d) {x : 0 ≤ x ≤ 1} (e) {x : x − 4 > 0}, (f ) {x : x2 − 4 < 0}, (g) {x : x < 2}, (h) {x : x ≤ 2}, (i) {x : x2 = 4}. Este ejercicio muestra que el supremo y el ı́nfimo de un conjunto pueden o no pertenecer a él. 5. Para cada uno de los siguientes conjuntos liste tres cotas superiores, tres co- tas inferiores, el supremo y el ı́nfimo (si existen) y determine si estos últimos pertenecen al conjunto. (a) {π, e}, (b) {25}, (c) {1/n : n ∈ N}, (d) [−2, −1] ∪ [1, 2], (e) {r ∈ Q : r < 3}, (f ) {r ∈ Q : r2 < 9}, ∞ \ (g) {n ∈ N : n2 < 9}, (h) {n ∈ Z : n2 < 9}, (i) (−1/n, 1 + 1/n), i=1 ∞ [ (−1)n (j) (−1 + 1/n, 1 − 1/n], (k) {e + : n ∈ N}, (l) {x2 : n ∈ R}. i=1 n 6. Si x ∈ R y |x| ≤ n − 1 para todo n ∈ N entonces x = 0. Si x ∈ R y para todo ε > 0, |x| < ε entonces x = 0. 1.7. NÚMEROS COMPLEJOS. 13 7. Si x ∈ R hay un único entero n tal que n ≤ x < n + 1. (El entero n se denota usualmente [x] y se llama la parte entera de x). 8. Si r 6= 0 es racional y x es irracional, entonces x + r y xr son irracionales. 9. Si r y s son racionales con r < s, entonces hay un irracional x tal que r < x < s. 10. Sean A y B subconjuntos no vacı́os de R acotados superiormente. Mostrar que A ∪ B y {a + b : a ∈ A, b ∈ B} están acotados superiormente y determine sus supremos en términos de sup A y sup B. 11. Sean A y B conjuntos acotados y no vacı́os de números reales positivos. Deter- mine sup{ab : a ∈ A, b ∈ B}. 12. Usando los resultados del ejercicio 1.4.4 demuestre por inducción P el Teorema Bi- ¡n¢ k n−k nomial: Si a, b son números reales y n ∈ N, entonces (a+b)n = n k=0 k a b. 1.7. Números Complejos. En esta sección introducimos las operaciones de adición y multiplicación en el plano R × R de modo de obtener un cuerpo, el cual llamaremos el Cuerpo de los Números Complejos. Definición 1.7 Un número complejo es un par ordenado (a, b) donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos se denota por C. Si z = (a, b) y w = (c, d) en C, decimos que z = w si y sólo si a = c y b = d. Definimos además 0 = (0, 0) 1 = (1, 0) z + w = (a + c, b + d) zw = (ac − bd, ad + bc) −z = (−a, −b) y si z 6= 0 z −1 = (a/(a2 + b2 ), −b/(a2 + b2 )) Teorema 1.12 C es un cuerpo. Demostración. La verificación de los axiomas (i)-(ix) es rutinaria y queda como ejercicio. ¥ En consecuencia, las propiedades de los cuerpos que establecimos anterior- mente valen para C. En particular, las leyes de cancelación y las conclusiones de los Ejercicios 1.1, 1.2 y 1.3 son válidas para los números complejos. Convenciones: Observemos que si a, b ∈ R entonces (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0), −(a, 0) = (−a, 0) y si a 6= 0, (a, 0)−1 = (a−1 , 0). Por lo tanto los números complejos de la forma (a, 0) tienen las mismas propiedades aritméticas que los números reales. Es costumbre llamar reales a estos números 14 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES complejos y escribir (a, 0) = a, cuando a ∈ R. Definimos ahora i como el número complejo (0, 1). Entonces, para b ∈ R tenemos bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b). Los números complejos de esta forma se llaman imaginarios. Si a, b ∈ R tenemos a + bi = (a, 0) + (0, b) = (a, b). Por lo tanto, el número complejo (a, b) se puede escribir en la forma a+bi donde a, b ∈ R. Observamos además que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Definición 1.8 Si z = a + bi, a, b ∈ R, es un número complejo definimos la parte real de z, Re(z) y la parte imaginaria de z Im(z) como los números reales Re(z) = a, Im(z) = b, respectivamente. Definimos el conjugado complejo de z como z = a − bi y el valor absoluto o módulo de z, como el número real p |z| = a2 + b2. Teorema 1.13 Para z, w ∈ C tenemos (1) Re(z) = (z + z)/2. (2) Im(z) = (z − z)/2i. (3) z + w = z + w. (4) zw = z w (5) (1/z) = 1/z si z 6= 0. (6) zz = |z|2 (7) z = z si y sólo si z ∈ R (8) |zw| = |z||w|. (9) | Re(z)| ≤ |z|, (10) | Im(z)| ≤ |z|. Demostración. Ejercicio. Ejercicios 1.6 1. Demostrar el Teorema 1.13 2. Sea z = (a, b) y pongamos z −1 = (x, y). Escriba las ecuaciones que x e y deben satisfacer para que z · z −1 = (1, 0). Resolviendo estas ecuaciones muestre que la definición que dimos de z −1 es adecuada. 3. Demuestre que la relación z −1 = 1 z = z̄ z z̄ es equivalente a la definición de z −1. 4. Muestre que |z̄| = |z| y |z −1 | = |z|−1. 1.8. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 15 1.8. Conjuntos Finitos e Infinitos Definición 1.9 Dos conjuntos A y B son equipotentes o similares, y escribimos A ∼ B, si existe alguna función biyectiva de A en B. Teorema 1.14 Para cualesquiera conjuntos A, B y C se tiene i) A ∼ A. ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A. iii) A ∼ B y B ∼ C ⇒ A ∼ C. Por lo tanto ∼ es una relación de equivalencia. Demostración i) Definimos f (x) = x para todo x ∈ A. ii) Si A ∼ B existe una función biyectiva f : A → B. Entonces f −1 : B → A también es biyectiva y B ∼ A. iii) Supongamos A ∼ B y B ∼ C. Entonces existen funciones biyectivas f : A → B y g : B → C. La función compuesta g ◦ f es biyectiva de A en C y A ∼ C. ¥ Definición 1.10 Un conjunto A es finito si A = ∅ o si existe n ∈ N tal que A ∼ {k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n}. En este último caso, si f : {1, 2,... , n} → A es biyectiva y si f (k) = xk , escribimos A = {xk : 1 ≤ k ≤ n} = {x1 ,... , xn } = {xj }nj=1. Todos los conjuntos que no son finitos, son infinitos. Un conjunto es nume- rablemente (o contablemente) infinito si es similar a N. En este caso, si f : N → A es biyectiva y f (n) = xn escribimos A = {xn , n ∈ N} = {x1 , x2 , x3 ,...} = {xj }j≥1. Un conjunto es numerable si es finito o numerablemente infinito. Un conjunto que no es numerable es no numerable. Ejemplos 1.2 1. El conjunto D de los números racionales en (0, 1) es numerable. 16 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES La idea de esta demostración se debe a G. Cantor. Para demostrar la numerabilidad de D escribamos sus elementos como sigue: 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 ··· 2 2 2 2 2 3 5 7 9 11 ··· 3 3 3 3 3 4 5 7 8 10 ···............... ··· Los numeradores en las filas sucesivas del arreglo son los números natu- rales 1, 2, 3, · · ·. En cada fila, los denominadores van aumentando, pero de manera que cada fracción sea propia y se encuentre en su menor ex- presión, es decir, que numerador y denominador sean primos relativos. Es fácil ver que cada elemento de D aparece una vez en este arreglo y que, recı́procamente, cada término del arreglo es un elemento de D. Podemos ahora enumerar el arreglo en la dirección que se muestra en la figura, lo cual prueba que este conjunto es numerable. 1 → 2 6 → 7 15 · · ·. %. % 3 5 8 14 17 · · · ↓ %. %. 4 9 13 18 26 · · ·. %. % 10 12 19 25 32 · · ·............... 2. El intervalo (0, 1) no es numerable. Sea E el conjunto de los números que se pueden escribir como desarrollos decimales infinitos de la forma 0, x1 x2 x3... , donde x1 , x2 ,... representan los dı́gitos del 0 al 9. Excluimos del conjunto los casos en los cuales todos los dı́gitos xi a partir de cierto ı́ndice valen 0. Estos números tienen un desarrollo alternativo en el cual, a partir de cierto ı́ndice, todos los dı́gitos son 9, y usamos siempre este desarrollo. Veamos que este conjunto es numerable. El argumento de esta demostración se conoce como el argumento diagonal de Cantor. Supongamos que E es numerable, entonces podemos escribir una lista que contiene todos los números del conjunto de la siguiente ma- nera: 1er. elemento 0, x11 x21 x31 · · · 2do. elemento 0, x12 x22 x32 · · · 3er. elemento 0, x13 x23 x33 · · ·...... 1.8. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 17 Consideremos ahora el número decimal 0, c1 c2 c3 · · · donde los dı́gitos ci están escogidos entre 0 y 9 de manera que c1 6= x11 , c2 6= x22 , c3 6= x33 , · · · , y todos los ci distintos de 0. Este número pertenece a E pero es distinto a todos los números incluidos en la lista: no es igual al primer elemento porque c1 6= x11 , no es igual al segundo elemento porque c2 6= x22 , y ası́ sucesivamente. Esta contradicción proviene de suponer que E es numerable. Definición 1.11 Si a < b son dos números reales, definimos el intervalo cerrado de extremos a y b por [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. El intervalo abierto de extremos a y b es (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Definimos también [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. Teorema 1.15 (Principio de los Intervalos Encajados) Sea {In , n ∈ N} una familia de intervalos cerrados en R tal que i) In+1 ⊂ In. ii) Dado ε > 0, ε ∈ R existe n tal que la longitud de In es menor que ε. T∞ Entonces n=1 In = {z} para algún z ∈ R. Demostración. Sea In = [an , bn ]. Por (i) tenemos an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn , para todo n ∈ N. Por lo tanto, cada elemento de A = {an , n ∈ N} es menor o igual que cualquier elemento de B = {bn , n ∈ N}. En particular a = sup A ≤ bn y b = ı́nf B ≥ an T∞ para cada n ∈ N. Ası́ a ≤ b y {a, b} ⊂ In para todo n. Por lo tanto n=1 In 6= ∅. Si esta intersección contiene dos puntos distintos z < w tomamos T ε = w−z en (ii) y obtenemos una contradicción. Por lo tanto a y b coinciden y In = {a} = {b}. ¥ Ejemplo 1.3 Si a < b en R, entonces [a, b] no es numerable. Una manera sencilla de demostrar este resultado es establecer una biyección entre [0, 1] y [a, b], puesto que ya vimos que [0, 1] no es numerable. Optaremos por un camino más largo que generaliza a cualquier intervalo el argumento diagonal que usamos para (0, 1). 18 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES Supongamos que [a, b] es numerable. Como la función f definida por f (n) = a+(b−a)/n es inyectiva de N en [a, b] sabemos que [a, b] es infinito. Sea {xn }∞ n=1 una enumeración de [a, b]. Llegaremos a una contradicción construyendo un número z ∈ [a, b] que no está en esta lista, es decir, z 6= xn para todo n. Dividimos [a, b] en tres intervalos cerrados de igual longitud: · ¸ · ¸ · ¸ b−a b−a b−a b−a a, a + , a+ ,b − , b− ,b 3 3 3 3 y escogemos uno de ellos, que llamaremos I1 , tal que x1 ∈ / I1. Una vez escogido In lo dividimos en tres intervalos cerrados de igual longitud y escogemos uno de ellos, que llamaremos In+1 tal que xn+1 ∈ / In+1. Por inducción hemos definido {In , n ∈ N}. Esta familia satisface las hipótesis n del T∞ teorema anterior ya que la longitud de In es (b − a)/3. Por lo tanto n=1 In = {z}. Sabemos que z 6= xn ya que z ∈ In y xn ∈ / In y esto es cierto para todo n ∈ N. Pero z ∈ [a, b] = {x1 , x2 ,... , xn ,... }, una contradicción. Teorema 1.16 Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable. Demostración. Sea E un conjunto numerable y A ⊂ E. Si E es finito, también lo es A. Supongamos que E es infinito, E = {xn }∞ n=1 y A ⊂ E infinito. Sea n1 el menor entero tal que xn1 ∈ A. Si ya hemos escogido n1 , n2 ,... , nk escogemos nk+1 como el menor entero tal que xnk+1 ∈ A \ {xn1 ,... , xnk }. Esto define n1 < n2 < n3 < · · · y nos da una enumeración de A = {xnk }∞ k=1. ¥ Teorema 1.17 El conjunto N × N es numerable. Demostración. Podemos usar la misma idea de Cantor para la demostración de que los racionales en (0, 1) son numerables. Escribimos los pares ordenados (m, n) en un arreglo rectangular infinito de modo que el primer elemento del par indique la fila y el segundo la columna. Ahora podemos contar los pares usando el método de Cantor. ¥ Teorema 1.18 Sean A y B conjuntos no vacı́os, B numerablemente infinito. A es numerable si y sólo si existe una función f : B → A sobreyectiva. Demostración. Supongamos que A es numerable y sea {bk }∞ k=1 una enumeración de B. Si A es finito, digamos A = {a1 ,... , ap } definimos f (bk ) = ak para 1 ≤ k ≤ p y f (bk ) = a1 para k ≥ p. Si A es numerablemente infinito tenemos A = {ak }∞k=1 y definimos f (bn ) = an. Sea ahora f : B → A sobreyectiva. Para cada a ∈ A escogemos b ∈ B tal que f (b) = a y definimos g(a) = b, es decir, g(a) ∈ f −1 ({a}) para cada a ∈ A. 1.8. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 19 Entonces g : A → B. Como a1 6= a2 en A implica f −1 ({a1 }) ∩ f −1 ({a2 }) = ∅ vemos que g es inyectiva. Por lo tanto, A ∼ g(A) ⊂ B y por el Teorema 1.16 tenemos que A es numerable. ¥ Teorema 1.19 La unión numerable de conjuntos numerables es un conjunto numerable: si I es un conjunto S numerable y Ai es numerable para cada i ∈ I entonces el conjunto A = i∈I Ai es numerable. Demostración. Podemos suponer que I 6= ∅, Ai 6= ∅ para todo i. De acuerdo al Teorema 1.18 existen funciones sobreyectivas g : N → I, fi : N → Ai para cada i ∈ I. Definimos h sobre N × N por h(m, n) = fg( n) (m). Es fácil verificar que h es sobreyectiva: dado a ∈ A, escogemos i ∈ I de modo que a ∈ Ai y entonces escogemos m y n en N tales que g(n) = i, fi (m) = a. Finalmente aplicamos el Teorema 1.18 para obtener el resultado. ¥ Vimos como ejemplo que el conjunto de los números racionales en (0, 1) es numerable. Usando el teorema que acabamos de demostrar es fácil ver ahora que todo Q es numerable. Corolario 1.1 El conjunto de los racionales Q es numerable. Demostración. Esto es consecuencia del resultado anterior ya que Z es numerable y [ nm o Q= :m∈Z n n∈N ¥ Corolario 1.2 El conjunto I de los números irracionales no es numerable. Ejercicios 1.7 1. Si a y b son reales y a < b, entonces (a, b) ∩ Q es numerablemente infinito y (a, b) ∩ (R − Q) no es numerable. 2. Demuestre el resultado del ejemplo 1.3 estableciendo una biyección entre [0, 1] y [a, b]. 3. La unión de una familia finita de conjuntos finitos es finita. 4. Si a, b ∈ R y a < b entonces el conjunto (a, b) = {x : x ∈ R, a < x < b} es similar a R. 20 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES 5. El conjunto {2n : n ∈ N} es similar a N. 6. Si A es numerablemente infinito, entonces A es similar a un subconjunto propio de si mismo. 7. Todo conjunto infinito contiene un conjunto infinito numerable. 8. Un conjunto A es infinito si y sólo si es similar a un subconjunto propio de si mismo. 9. Definimos f : N × N → N por f (a, b) = 2a−1 (2b − 1). Demuestre que esta función es una biyección. Esta es otra demostración del teorema 1.17 1.9. La Extensión de los Números Reales Sean ∞ y −∞ dos objetos distintos fijos, que llamaremos respectivamente infinito y menos infinito, ninguno de los cuales es un elemento de R. Sea R∗ = R ∪ {−∞, ∞} al cual llamaremos el sistema de los números reales extendidos. Introducimos un orden en R∗ de la siguiente manera: para x, y ∈ R, x < y tiene el significado usual y −∞ < x < ∞. Los sı́mbolos >, ≤ y ≥ tienen significados obvios. Las operaciones aritméticas: x + y, x − y y x · y tienen el significado usual para x, y ∈ R. Si x ∈ R definimos x + ∞ = ∞ + x = x − (−∞) = ∞ x + (−∞) = −∞ + x = x − ∞ = −∞ Si x > 0, ∞ · x =x · ∞ = ∞ x · (−∞) = (−∞) · x = −∞ Si x < 0, ∞ · x =x · ∞ = −∞ x · (−∞) = (−∞) · x = ∞ ∞ + ∞ = ∞ y (−∞) + (−∞) = −∞ ∞·∞=∞ ∞ · 0 = 0 · ∞ = (−∞) · 0 = 0 · (−∞) = 0. No definimos ∞ + (−∞), −∞ + ∞, ∞ · (−∞), (−∞) · ∞ y (−∞) · (−∞). Tampoco definimos la división por ∞ ó −∞. Definición 1.12 Para a ≤ b en R∗ definimos cuatro intervalos con extremo izquierdo a y extremo derecho b de la siguiente manera (a · b) = ]a · b[ = {x ∈ R∗ : a < x < b} [a · b) = [a · b[ = {x ∈ R∗ : a ≤ x < b} (a · b] = ]a · b] = {x ∈ R∗ : a < x ≤ b} [a · b] = {x ∈ R∗ : a ≤ x ≤ b} 1.9. LA EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 21 Definición 1.13 Sea E ⊂ R∗. Si E no está acotado superiormente por ningún número real decimos que ∞ es el supremo de E y escribimos sup(E) = ∞. Si E no está acotado inferiormente por ningún número real decimos que −∞ es el ı́nfimo de E y escribimos ı́nf(E) = −∞. Observamos que ∅ está acotado tanto por arriba como por abajo por cual- quier número real. Escribimos sup ∅ = −∞ y ı́nf ∅ = ∞. De esta manera todo subconjunto de R∗ tiene supremo e ı́nfimo en R∗. Ejercicios 1.8 (Complementarios) 1. Para cualquier par de números reales a y b definimos la distancia entre ellos como d(a, b) = |a − b|. Demuestre la propiedad triangular: si c es otro número real, d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) 2. ¿Cuáles de los trece axiomas que hemos estudiados fallan para N? ¿Cuáles fallan para Z? 3. Considere un sistema de cinco elementos 0, 1, 2, 3, 4 y las reglas de suma y mul- tiplicación descritas por las siguientes tablas: + 0 1 2 3 4 × 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Muestre que este sistema satisface los axiomas de un cuerpo. ¿Es posible definir una relación de orden que satisfaga los axiomas (x) - (xii)? 4. Un número real es algebraico si satisface una ecuación de la forma an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 para algún n ∈ N, donde los coeficientes ai son enteros. Un número real que no es algebraico es trascendental. Muestre que el conjunto de números algebraicos es numerable mientras que el de los trascendentales no lo es. 5. La Construcción de los Números Reales. Hay un procedimiento estándar, que se debe a Dedekind, para construir el conjunto de los números reales a partir de los números racionales. Suponemos la existencia de un sistema (Q, +, ·, 0, t > 0, s ∈ α, t ∈ β}. Si α ≺ 0∗ ≺ β definimos α ¯ β = ª((ªα) ¯ β), y ası́ sucesivamente. Verifique el resto de los axiomas (i) - (xii). d) Suponga que el conjunto A ⊂ R está acotado superiormente. Sea γ = ∩{α : α ∈ A}. Verifique que γ ∈ R y que γ = sup A. e) Para x ∈ Q definimos f (x) = {t ∈ Q : t < x} Verifique que f es una función biyectiva de Q en R que satisface las condiciones (1.1).