Capítulo 1: Los Números Reales

Un conjunto A llamado Inductivo satisface dos propiedades: (1) 1 ∈ A; y (2) si n ∈ A, entonces n + 1 ∈ A.

El conjunto de los números naturales (N) es inductivo.

Si A es un conjunto de números reales (R) y b es un número real tal que a ≤ b para todo a ∈ A, entonces b es una cota superior de A.

Si A es un conjunto de números reales (R) y c es un número real tal que c ≤ a para todo a ∈ A, entonces c es una cota inferior de A.

Un conjunto A de números reales (R) está acotado superiormente si tiene una cota superior.

Un conjunto A de números reales (R) está acotado inferiormente si tiene una cota inferior.

Un conjunto A de números reales (R) está acotado si tiene una cota superior y una cota inferior.

El supremo de un conjunto A de números reales es la menor cota superior de A. Se denota como sup A.

Los números racionales, como los enteros y las fracciones, no son suficientes para representar todas las longitudes geométricas. Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado con lados de longitud 1 tiene una longitud irracional que no puede expresarse como un cociente de enteros.

Un conjunto que incluye todos los números racionales e irracionales. Se representa como R.

Un número que puede ser expresado como una fracción, donde el numerador y el denominador son enteros, y el denominador no es cero. Los números enteros, como -2, 0, 3, también se consideran racionales.

La propiedad que nos dice que un número real siempre tiene un opuesto, es decir, un número que al sumarlo al original da como resultado cero. Ejemplo: el opuesto de 5 es -5, porque 5 + (-5) = 0

La propiedad que establece que existe un solo elemento neutro en la multiplicación, que al multiplicar cualquier número real por él mismo, el resultado es el mismo número. Dicho elemento neutro es el número 1.

Esta propiedad nos dice que cualquier número real tiene un recíproco, es decir, un número que al multiplicarlo por el original, el resultado es 1. Ejemplo: el recíproco de 4 es 1/4 (ya que 4 * 1/4 = 1)

Un cuerpo donde además de las propiedades de un cuerpo, se define una relación de orden (>, <) que cumple ciertos axiomas.

Un cuerpo ordenado que satisface el axioma de completitud. Este axioma esencialmente garantiza que no hay 'huecos' en el conjunto de números reales.

El conjunto de números racionales (Q) es un cuerpo porque cumple con las propiedades algebraicas de suma, resta, multiplicación, división (excepto por 0) y una relación de orden de acuerdo con los axiomas (x), (xi) y (xii).

El conjunto de números racionales (Q) no cumple con el axioma de completitud, es decir, existen conjuntos acotados superiormente en Q que no tienen un supremo dentro de Q.

El axioma de completitud para los números reales (R) establece que cualquier conjunto no vacío en R que esté acotado superiormente tiene un supremo en R.

El teorema de Dedekind establece que existe una correspondencia biunívoca entre los cortes de Dedekind en R y los números reales.

Un corte de Dedekind es una partición del conjunto de números racionales en dos subconjuntos no vacíos A y B, de tal manera que todo elemento de A es menor que cualquier elemento de B.

El Teorema de Dedekind implica el Axioma de Completitud: si se asume que el Teorema de Dedekind es cierto, se puede demostrar que cualquier conjunto no vacío y acotado superiormente en R tiene un supremo.

R es un conjunto de números con dos operaciones (suma y multiplicación), una relación de orden y cumple con el Axioma de Completitud.

Un número complejo es un par ordenado (a, b) donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos se denota por C. Si z = (a, b) y w = (c, d) en C, decimos que z = w si y solo si a = c y b = d.

Dados dos números complejos z = (a, b) y w = (c, d), la suma se define como z + w = (a + c, b + d).

Dados dos números complejos z = (a, b) y w = (c, d), la multiplicación se define como zw = (ac - bd, ad + bc).

El número complejo (0, 0) se considera el elemento neutro de la suma.

El número complejo (1, 0) se considera el elemento neutro de la multiplicación.

El inverso aditivo de un número complejo z = (a, b) se define como -z = (-a, -b).

El inverso multiplicativo de un número complejo z = (a, b) se define como z⁻¹ = (a / (a² + b²), -b / (a² + b²)) siempre que z ≠ (0, 0).

Los números complejos de la forma (a, 0) se comportan como los números reales, y se escriben simplemente como a. Se llaman números reales.

Un conjunto es numerable si se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales. En otras palabras, podemos enumerar todos los elementos del conjunto.

Un conjunto es numerablemente infinito si es numerable y tiene infinitos elementos.

Un conjunto es finito si tiene un número limitado de elementos.

Un conjunto es infinito si tiene una cantidad ilimitada de elementos.

Una función f : B → A es sobreyectiva si para cada a ∈ A existe un b ∈ B tal que f(b) = a. En otras palabras, todos los elementos de A tienen una imagen en B.

Si A es numerable y existe una función sobreyectiva de un conjunto numerablemente infinito B en A, entonces A es numerable, y viceversa.

La unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables es también un conjunto numerable. En otras palabras, si cada conjunto en una colección de conjuntos numerables es numerable, entonces la unión de todos esos conjuntos también es numerable.

El conjunto de los números racionales (Q) es numerable. En otras palabras, se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los números racionales y los números naturales.

Para dos números reales a y b donde a ≤ b, definimos el intervalo abierto (a, b) como el conjunto de todos los números reales x que son mayores que a y menores que b. Esto significa que el intervalo incluye todos los números entre a y b, sin incluir a ni b.

Para dos números reales a y b donde a ≤ b, definimos el intervalo semiabierto [a, b) como el conjunto de todos los números reales x que son mayores o iguales que a y menores que b. Esto significa que el intervalo incluye el extremo izquierdo a, pero no el extremo derecho b.

Para dos números reales a y b donde a ≤ b, definimos el intervalo semiabierto (a, b] como el conjunto de todos los números reales x que son mayores que a y menores o iguales que b. Esto significa que el intervalo incluye el extremo derecho b, pero no el extremo izquierdo a.

Para dos números reales a y b donde a ≤ b, definimos el intervalo cerrado [a, b] como el conjunto de todos los números reales x que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Esto significa que el intervalo incluye ambos extremos, a y b.

Si un conjunto E de números reales no está acotado superiormente, decimos que infinito (∞) es el supremo de E. Esto significa que no existe un número real que sea mayor o igual que todos los elementos de E.

Si un conjunto E de números reales no está acotado inferiormente, decimos que negativo infinito (-∞) es el ínfimo de E. Esto significa que no existe un número real que sea menor o igual que todos los elementos de E.

El conjunto vacío (∅) está acotado tanto superiormente como inferiormente por cualquier número real. Se define el supremo de ∅ como -∞ y el ínfimo de ∅ como ∞.

La distancia entre dos números reales a y b se define como el valor absoluto de su diferencia: d(a, b) = |a - b|.