Cours et exercices corrigés d’Analyse 1 PDF

‫الجمهوريــــــــــــــــــــــة الجزائريـــــــــــة الديمقراطيـــــــــة الشعبيـــــــة‬ ‫وزارة التعليـــــــــــم العـــــــــــالي و البحـــــــــث العلـــــــمي‬ ‫جامعة وهران للعلوم والتكنولوجيا محمد بوضياف‬ ‫كلية ال...

‫الجمهوريــــــــــــــــــــــة الجزائريـــــــــــة الديمقراطيـــــــــة الشعبيـــــــة‬ ‫وزارة التعليـــــــــــم العـــــــــــالي و البحـــــــــث العلـــــــمي‬ ‫جامعة وهران للعلوم والتكنولوجيا محمد بوضياف‬ ‫كلية الرياضيات و االعالم االلي‬ République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed BOUDIAF Faculté des Mathématiques et Informatique Département de Mathématiques Cours et exercices corrigés d’Analyse 1 Première année Licence MI Mathématiques et Informatique Par : Dr BOUHARIS Epouse OUDJDI DAMERDJI Amel U.S.T.O – M.B Année universitaire 2020-2021 Table des matières 1 Le corps des nombres réels 6 1.1 Définition axiomatique.......................... 6 1.2 La valeur absolue............................. 6 1.3 Intervalles de R.............................. 7 1.4 Minorants, majorants, borne inférieure, borne supérieure, maximum et minimum................................. 8 1.5 La partie entière............................. 10 1.6 Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure.... 11 1.7 Principe d’Archimède........................... 13 1.8 La densité de Q dans R.......................... 14 1.9 La droite réelle achevée.......................... 14 1.10 Enoncés des exercices........................... 16 1.11 Corrigés.................................. 18 2 Le corps des nombres complexes 26 2.1 Représentation algébrique........................ 26 2.2 Représentation graphique........................ 26 2.2.1 Définitions et notations...................... 26 2.3 Représentation trigonométrique..................... 28 2.4 Forme exponentielle............................ 29 2.5 Opérations sur les nombres complexes.................. 30 2.5.1 L’addition............................. 30 2.5.2 Le produit............................. 30 2.5.3 Division.............................. 30 2.5.4 Formule de Moivre........................ 31 2.6 Racines n − ième d’un nombre complexe................ 32 2.6.1 Racines n − ième d’un nombre complexe............ 32 2.6.2 Racine carrée d’un nombre complexe.............. 32 2.7 Résolution des équations du second degré dans C........... 33 2.8 Applications à la géométrie....................... 34 2.8.1 Transformations géométriques.................. 34 2.9 Enoncés des exercices........................... 36 2.10 Corrigé des exercices........................... 39 2 §0.0] Table des matières 3 3 Suites de nombres réels 44 3.1 Définitions................................. 44 3.2 Monotonie d’une suite réelle....................... 44 3.3 Suites réelles et relation d’ordre..................... 45 3.4 Sous-suites................................. 45 3.5 Convergence d’une suite......................... 46 3.6 Suites divergentes............................. 47 3.7 Opérations sur les suites convergentes.................. 48 3.8 Suites adjacentes............................. 52 3.9 Suites de Cauchy............................. 52 3.10 Suites récurrentes............................. 54 3.11 Enoncés des exercices........................... 54 3.12 Corrigés.................................. 58 4 Fonctions réelles d’une variable réelle 68 4.1 Définitions................................. 68 4.1.1 Fonctions monotones....................... 69 4.1.2 Fonctions bornées......................... 69 4.2 Limite d’une fonction........................... 69 4.2.1 Autres limites........................... 70 4.2.2 Relation entre limite de fonctions et limite de suites...... 71 4.2.3 Opérations sur les limites de fonctions............. 73 4.3 Notations de Landau o et O........................ 73 4.4 Fonctions équivalentes.......................... 75 4.5 Fonctions continues............................ 76 4.5.1 Continuité uniforme....................... 77 4.5.2 Prolongement par continuité................... 79 4.5.3 Théorèmes sur les fonctions continues.............. 80 4.6 Fonctions trigonométriques inverses................... 85 4.6.1 Fonction arcsin.......................... 85 4.6.2 Fonction arccos.......................... 86 4.6.3 Fonction arctan.......................... 86 4.6.4 Fonction arccot.......................... 87 4.7 Fonctions élémentaires.......................... 89 4.7.1 Fonction exponentielle...................... 89 4.7.2 Fonction logarithme népérien.................. 89 4.7.3 Fonction logarithme de base quelconque............ 90 4.7.4 Fonction puissance........................ 91 4.8 Fonctions hyperboliques et leurs inverses................ 91 4.8.1 Fonction cosinus hyperbolique.................. 91 4.8.2 Fonction sinus hyperbolique................... 92 4.8.3 Fonction tangente hyperbolique................. 92 4.8.4 Fonction cotangente hyperbolique................ 93 4.9 Enoncés des exercices........................... 96 4.10 Corrigés.................................. 98 Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 4 Table des matières [Ch.0 5 Fonctions dérivables 106 5.1 Fonctions dérivables........................... 106 5.1.1 Interprétation géométrique.................... 107 5.1.2 Dérivée d’une fonction réciproque................ 110 5.2 Dérivée n-ième d’une fonction...................... 113 5.2.1 Dérivée n-ième d’une fonction.................. 113 5.2.2 Dérivée n-ième d’un produit de fonctions (Formule de Leibnitz).114 5.3 Théorèmes sur les fonctions dérivables................. 114 5.3.1 Théorème de Fermat....................... 114 5.3.2 Théorème de Rolle........................ 115 5.3.3 Théorème des accroissements finis................ 116 5.3.4 Variations d’une fonction..................... 118 5.3.5 Formule de Cauchy- Accroissements finis généralisés...... 118 5.4 Formule de Taylor............................. 119 5.4.1 Formule de Taylor avec reste de Lagrange........... 120 5.4.2 Formule de Taylor avec reste de Young............. 122 5.4.3 Formule de Taylor-Mac laurin-Young.............. 122 5.5 Fonctions convexes............................ 122 5.5.1 Paramétrage d’un segment.................... 123 5.5.2 Point d’inflexion......................... 124 5.6 Etude des branches infinies........................ 125 5.7 Enoncés des exercices........................... 128 5.8 Corrigés.................................. 132 Damerdji Bouharis A. USTO MB  Avant propos Ce polycopié est un support pédagogique ; destiné aux étudiants inscrits à l’uni- versité en première année Licence LMD, domaine : Mathématiques et Informatique MI. C’est un cours illustrant les notions de base en Analyse mathématique afin d’acquérir et comprendre les fondements du raisonnement mathématique indispen- sable à la compréhension de la suite des enseignements en Mathématiques ou en Informatique. Dans ce cours on présente les définitions des outils mathématiques et leurs pro- priétés, tout en donnant les remarques importantes, qui aident à assimiler ces no- tions, ainsi que les théorèmes et propositions de base en illustrant le tout par des exemples détaillés. A la fin de chaque chapitre on présente des exercices de degré de difficulté variable, avec des corrigés détaillés. Ce polycopié décrit le programme de la matière Analyse1, enseignée au premier semestre ; aux étudiants de la première année MI ; il est composé de quatre cha- pitres, dans le premier on introduit le corps des nombres réels ensuite on passe au chapitre sur le corps des nombres complexes, puis le troisième chapitre concernant les suites réelles, ainsi que leurs propriétés, pour passer enfin aux deux derniers chapitres portant sur les fonctions réelles à une variable réelle, notamment les no- tions de continuité, de dérivabilité ainsi que leurs développement en série de Taylor, tout en introduisant l’étude des fonctions trigonométriques inverses et les fonctions hyperboliques ainsi que leurs fonctions inverses. Chapitre 1 Le corps des nombres réels 1.1 Définition axiomatique L’ensemble des nombres réels est l’ensemble noté par R; sur lequel sont définies deux lois de composition internes : l’addition ”+”:R×R → R (x, y) 7→ x + y et la multiplication ”·”:R×R → R (x, y) 7→ x · y tel que (R, +, ·) est un corps commutatif archimédien. La relation ” ≤ ”est une relation d’ordre total sur R : ∀ (x, y) ∈ R2 : (x ≤ y) ∨ (y ≤ x). Les deux lois de composition internes ; définies sur R sont compatibles avec la relation d’ordre total ” ≤ ”. Toute partie non vide et majorée de R; possède une borne supérieure dans R. 1.2 La valeur absolue Définition 1.2.1 La valeur absolue est une application de R dans l’ensemble des nombres réels positifs R+ , notée par |.| et définie par : + |.| : R →  R x si x ≥ 0 x → 7 |x| = −x si x < 0 Propriétés 1 1. |x| ≥ 0, ∀x ∈ R. 2. |x| = 0 ⇔ x = 0. 3. − |x| ≤ x ≤ |x| ; ∀x ∈ R. 6 §1.3] Intervalles de R 7 4. ∀a ≥ 0; |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a. 5. |x.y| = |x|. |y| , ∀x, y ∈ R. |x| 6. x y = |y| , ∀ (x, y) ∈ R × R∗. 7. |x + y| ≤ |x| + |y| , ∀x, y ∈ R, ( L’inégalité triangulaire). 8. ||x| − |y|| ≤ |x − y| , ∀x, y ∈ R, ( La seconde inégalité triangulaire). Preuve : 7. On a ∀x, y ∈ R  − |x| ≤ x ≤ |x| − |y| ≤ y ≤ |y| d’où en faisant la somme − (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| ⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|. 8. On a ∀x, y ∈ R |x| = |x − y + y| ⇒ |x| ≤ |x − y| + |y| ⇔ |x| − |y| ≤ |x − y| et |y| = |y − x + x| ⇒ |y| ≤ |y − x| + |x| ⇔ − |x − y| ≤ |x| − |y| donc − |x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y| ⇔ ||x| − |y|| ≤ |x − y|. 2 1.3 Intervalles de R Définition 1.3.1 Une partie I de R est un intervalle de R si dès qu’elle contient deux réels a et b alors elle contient tous les réels compris entre eux. ∀a, b ∈ I, ∀x ∈ R; a ≤ x ≤ b ⇒ x ∈ I. Exemples 1.3.2 1. R et l’ensemble vide ∅ sont des intervalles. + 2. R est un intervalle. 3. R∗ et N ne sont pas des intervalles. Remarques : 1. Pour les notations, soient a, b ∈ R, on a les intervalles de R : bornés : ouverts ]a, b[, fermés [a, b] ou semi-ouverts [a, b[ , ]a, b]. non bornés : ouverts ]−∞, b[ , ]a, +∞[ ou fermés [a, +∞[ , ]−∞, b]. Si a = b alors [a, a] = {a} , ]a, b[ = [a, b[ = ]a, b] = ∅. 2. Le complémentaire d’un intervalle ouvert est fermé. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 8 Le corps des nombres réels [Ch.1 Remarque : R et l’ensemble vide ∅ sont les seules parties ouvertes et fermées de R. En effet, R = ]−∞, +∞[ est un intervalle ouvert donc son complémentaire, l’ensemble vide ∅ est fermé, or l’ensemble vide ∅ peut s’écrire comme un intervalle ouvert ]α, α[ , α ∈ R, donc son complémentaire R est fermé. Remarques : 1. L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle. 2. La réunion de deux intervalles ayant une intersection non vide est un intervalle. Définition 1.3.3 Soient a, b ∈ R, on appelle segment l’ensemble noté [a, b] défini par [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}. Si a > b alors [a, b] = ∅. Définition 1.3.4 Soit V une partie de R et x0 ∈ R, On dit que V est un voisinage de x0 s’il existe un intervalle ouvert ]a, b[ de R contenant x0 et inclu dans V, on note Vx0 ou V (x0 ). Exemples 1.3.5 1. Pour tout ε > 0 ; l’intervalleV = ]x0 − ε, x0 + ε[ est un voi- sinange de x0 ; car il existe un intervalle ouvert x0 − 2ε , x0 + 2ε de R contenant x0 et inclu dans V. 2. L’intervalle ]a, b[ est voisinage de tous les points x ∈ ]a, b[. 3. Les ensembles N, Z et Q ne sont des voisinages d’aucun de leurs points. 1.4 Minorants, majorants, borne inférieure, borne supérieure, maximum et minimum. Définition 1.4.1 Etant donné un ensemble E ⊂ R totalement ordonné par la rela- tion d’ordre notée ” ≤ ”et soit A ⊂ E une partie non vide de E. - On dit que M ∈ E est un majorant de A si : ∀x ∈ A; x ≤ M. - On dit que m ∈ E est un minorant de A si : ∀x ∈ A; m ≤ x. - A est dite majorée (resp. minorée) si elle possède au moins un majorant (resp. un minorant). Remarque : Si A possède un majorant (resp. minorant), alors il n’est pas unique. Définition 1.4.2 - Etant donnée une partie A de E non vide et majorée, et soit M aj (A) ⊂ E l’ensemble des majorants de A, on dit que M ∈ E est la borne supérieure de A si M est le plus petit des majorants de A, on le note sup A. - Etant donnée une partie A de E non vide et minorée, et soit M in (A) ⊂ E l’ensemble des minorants de A, on dit que m ∈ E est la borne inférieure de A si m est le plus grand des minorants de A, on le note inf A. Théorème 1.4.3 Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R, possède une borne supérieure (resp. inférieure). Remarques : Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.5] Minorants, majorants, borne inférieure, borne supérieure,... 9 1. Quand la borne supérieure (resp. la borne inférieure) existe alors elle est unique. 2. La borne supérieure sup A (resp. la borne inférieure inf A) n’appartient pas nécessairement à l’ensemble A. Définition 1.4.4 - On dit que M est le plus grand élément de A ou maximum de A si M est un majorant de A qui appartient à A, on le note par max A. - On dit que m est le plus petit élément de A ou minimum de A si m est un minorant de A qui appartient à A, on le note par min A. Remarques : 1. Si le maximum max A (resp. le minimum min A) existe alors sup A = max A (resp. inf A = min A). 2. Si la borne supérieure sup A (resp. la borne inférieure inf A ) appartient à A alors max A = sup A (resp. min A = inf A ). 3. Si la borne supérieure sup A (resp. la borne inférieure inf A ) n’appartient pas à A alors le maximum max A (resp. le minimum min A) n’existe pas. Remarque : La borne supérieure d’un ensemble majoré A (resp. la borne inférieure d’un ensemble minoré A ) existe toujours mais peut ne pas appartenir à A, par contre le maximum d’un ensemble majoré (resp. le minimum d’un ensemble minoré) peut ne pas exister. Exemple 1.4.5 Soit A = ]−5, 1] ; A est une partie bornée de R. L’ensemble des majorants de A est M aj (A) = [1, +∞[ , sup A = max A = 1. L’ensemble des minorants de A est M in (A) = ]−∞, −5] , inf A = −5, min A n’existe pas car −5 ∈ / A. Proposition 1.4.6 Soit A une partie non vide de R, les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) ∃α > 0, ∀x ∈ A : |x| ≤ α (ii) ∃m, M ∈ R, ∀x ∈ A : m ≤ x ≤ M. Preuve : (i) ⇒ (ii) Il suffit de prendre m = −α et M = α. (ii) ⇒ (i) Il suffit de prendre α = max (M, −m) , en effet, −α ≤ m ≤ x ≤ M ≤ α ⇒ −α ≤ x ≤ α ⇔ |x| ≤ α. 2 Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 10 Le corps des nombres réels [Ch.1 1.5 La partie entière Définition 1.5.1 La partie entière d’un nombre réel x ; est le plus grand entier n inférieur ou égal à x. En d’autres termes, la partie entière de x est le seul entier n ∈ Z tel que n ≤ x < n + 1. Elle est notée par [x] ou E (x). Ainsi tout nombre réel x s’écrit de façon unique sous la forme x = [x] + α; où α ∈ [0, 1[. Exemple 1.5.2 [5, 70911] = 5 , [−5, 70911] = −6. Propriétés 2 1. [x] ∈ Z, ∀x ∈ R. 2. [x] ≤ x ≤ [x] + 1, ∀x ∈ R. 3. [x + m] = [x] + m, ∀x ∈ R, ∀m ∈ Z. 4. [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1, ∀x, y ∈ R. 5. x ≤ y ⇒ [x] ≤ [y] , ∀x, y ∈ R. Preuve : 3. On a ∀x ∈ R [x] ≤ x ≤ [x] + 1, d’où (1) (2) [x] + m ≤ x + m ≤ [x] + m + 1, ∀m ∈ Z. D’une autre part, on a (3) (4) [x + m] ≤ x + m ≤ [x + m] + 1, or [x + m] est le plus grand entier inférieur à x + m alors de (1) et (3) on a [x] + m ≤ [x + m] , (1.1) et [x + m] + 1 est le plus petit entier supérieur à x + m alors de (2) et (4) on a [x + m] + 1 ≤ [x] + m + 1, d’où [x + m] ≤ [x] + m. (1.2) De (1.1) et (1.2) on obtient l’égalité [x + m] = [x] + m. 2 Remarque : La partie entière est une fonction croissante mais pas strictement croissante. Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.6] Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure 11 1.6 Caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure Etant donnée une partie A non vide et bornée de R, soient m, M ∈ R, on a les caractérisations suivantes  1/ ∀x ∈ A; x ≤ M 1. M = sup A ⇔ 2/ ∀ε > 0; ∃x ∈ A, M − ε < x  1/ ∀x ∈ A; m ≤ x 2. m = inf A ⇔ 2/ ∀ε > 0; ∃x ∈ A, x < m + ε Preuve : 1. Montrons tout d’abord que si M = sup A, alors pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que M − ε < x. On supposera par l’absurde que ∃ε > 0, ∀x ∈ A; x ≤ M − ε, par conséquent M − ε devient un majorant de A, or M étant la borne supérieure de A ; c’est le plus petit des majorants de A donc : M ≤ M − ε ⇔ ε ≤ 0, qui est une contradiction. A présent montrons que si M est un majorant de A qui vérifie ∀ε > 0; ∃x0 ∈ A, M − ε < x0 alors M est le plus petit des majorants de A. Soit M 0 un autre majorant de A, d’où x0 ≤ M 0 , par conséquent ; ∀ε > 0; M − ε < x0 ≤ M 0 ⇒ ∀ε > 0; M − M 0 < ε d’où M − M 0 ≤ 0 ⇔ M ≤ M 0. 2. On peut montrer la caractérisation de la borne inférieure de la même façon, (à faire en exercice). 2  n+2 Exercice 1.6.1 Etant donné l’ensemble A = n−2 / n ∈ N, n ≥ 3. 1. Montrer que A est borné. 2. Montrer que sup A = 5, inf A = 1. 3. Déterminer max A et min A s’ils existent. Solution. 1. On a : ∀n ≥ 3 : n+2 1≤n−2≤n+2⇒1≤ , n−2 d’où la partie A est minorée par 1. D’une autre part on a ∀n ≥ 3 : 4n ≥ 12 ⇔ 5n − 10 ≥ n + 2 ⇔ 5 (n − 2) ≥ n + 2 ⇔ n+2 n−2 ≤5 Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 12 Le corps des nombres réels [Ch.1 d’où la partie A est majorée par 5, donc A est bornée. 2. Montrons que sup A = 5 5 est un majorant de A et 5 ∈ A, pour n = 3 donc max A = 5 = sup A. 3. Montrons que inf A = 1 Soit ε > 0; cherchons x ∈ A, tel que x < 1 + ε, ceci revient à chercher n ∈ N, n ≥ 3 tel que n+2 4 < 1 + ε ⇔ + 2 < n, n−2 ε alors il suffit de prendre n = 4ε + 2 + 1.   On remarque que 1 ∈ / A ; sinon n+2 ∃n ∈ N, n ≥ 3 tel que = 1 ⇔ 2 = −2 ; absurde. n−2 d’où min A n’existe pas. 4 Propriétés 3 1. Etant donnés A et B deux ensembles non vides, bornés de R, tels que A ⊂ B, alors : inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B En effet ; on a inf A ≤ x ≤ sup A; ∀x ∈ A ⇒ inf A ≤ sup A, ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ inf B ≤ x; ∀x ∈ A d’où inf B est un minorant de A, or inf A est le plus grand des minorants de A, donc inf B ≤ inf A et on a ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ≤ sup B; ∀x ∈ A d’où sup B est un majorant de A, or sup A est le plus petit des majorants de A, donc sup A ≤ sup B. 2. Etant donnés C et D deux ensembles non vides, bornés de R, alors : (a) sup (C ∪ D) = max (sup C, sup D) inf (C ∪ D) = min (inf C, inf D) (b) sup (C ∩ D) ≤ min (sup C, sup D) inf (C ∩ D) ≥ max (inf C, inf D) (c) sup (C + D) = sup C + sup D inf (C + D) = inf C + inf D où C + D = {x + y / x ∈ C, y ∈ D} Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.7] Principe d’Archimède 13 (d) sup (−C) = − inf C inf (−C) = − sup C où −C = {−x / x ∈ C} , (−1)n , n ∈ N ,  n Exemple 1.6.2 Soit A = n+1 Montrer que sup A = 1 et inf A = −1. On remarque que A = C ∪ D, où   n C= , n ∈ N et D = {(−1)n , n ∈ N} = {−1, 1} n+1 On a ∀n ∈ N : n n≤n+1⇔ ≤ 1, n+1 d’où 1 est un majorant de C. Soit ε > 0; cherchons x ∈ C, tel que 1 − ε < x, ceci revient à chercher n ∈ N, tel que n 1 1−ε< ⇔ − 1 < n, n+1 ε alors il suffit de prendre n = ε − 1 +1. ou max 0, 1ε − 1 + 1 donc sup C = 1.  1   
On a ∀n ∈ N : n 0≤ , n+1 d’où 0 est un minorant de C, or 0 ∈ C, pour n = 0 donc min C = 0 = inf C. Pour l’ensemble D, on a sup D = 1, inf D = −1. Par conséquent on a : sup A = max {1, 1} = 1 et inf A = min {−1, 0} = −1. 1.7 Principe d’Archimède Le corps des réels R vérifie le principe d’Archimède ; qui s’énonce comme suit ∀x ∈ R+ , ∃n ∈ N : x < n. c’est à dire que N n’est pas majoré. Preuve : Supposons par l’absurde que N est majoré dans R, alors il existe S ∈ R; tel que S = sup N, d’où n ≤ S, ∀n ∈ N. On pose aussi n0 = [S] + 1, où [S] désigne la partie entière de S, or S < [S] + 1, donc ∃n0 ∈ N, S < n0 ; contradiction. 2 Remarque : Il existe une autre version du principe d’Archimède. ∀x, y ∈ R, x > 0, y ≥ 0; ∃n ∈ N∗ : nx > y. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 14 Le corps des nombres réels [Ch.1 Preuve : on va supposer par l’absurde que : ∃x ∈ R∗+ , y ∈ R+ , ∀n ∈ N∗ : nx ≤ y, alors l’ensemble A = {nx / n ∈ N∗ } est une partie non vide, majorée par y dans R donc sup A = M existe, d’où nx ≤ M ; ∀n ∈ N∗ ⇒ (n + 1) x ≤ M ; ∀n ∈ N∗ ⇔ nx ≤ M − x; ∀n ∈ N∗ , donc M − x est un majorant de A et M − x < M, car x > 0, ce qui est absurde car M est le plus petit des majorants de A. 2 1.8 La densité de Q dans R Théorème 1.8.1 Etant donnés deux nombres réels a et b distincts tels que a < b, alors l’intervalle ]a, b[ contient au moins un nombre rationnel q ∈ Q. On dit que Q est dense dans R et on note Q = R. Preuve : a < b ⇔ b − a > 0, alors d’après le principe d’Archimède, il existe n ∈ N, tel que 1 < n, b−a 1 d’où n < b − a, posons p = [an] , alors p ≤ an < p + 1 ⇔ np ≤ a < np + 1 n < a + (b − a) ⇒ a < p+1 n < b, et p+1 n ∈ Q, donc p+1 n ∈ ]a, b[ ∩ Q. 2 1.9 La droite réelle achevée Définition 1.9.1 On appelle droite réelle achevée qu’on note par R, l’ensemble R ∪ {−∞, +∞}. Propriétés 4 1. ∀x ∈ R; −∞ ≤ x ≤ +∞. 2. ∀x ∈ R; x + (+∞) = (+∞) + x = +∞ ; x + (−∞) = (−∞) + x = −∞ (+∞) + (+∞) = (+∞) , (−∞) + (−∞) = (−∞) 3. ∀x > 0; x. (+∞) = (+∞) ; x. (−∞) = (−∞) 4. ∀x < 0; x. (+∞) = (−∞) ; x. (−∞) = (+∞) 5. (+∞). (+∞) = (+∞) , (−∞). (−∞) = (+∞) (+∞). (−∞) = (−∞). (+∞) = (−∞) Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.9] La droite réelle achevée 15 x x 6. ∀x ∈ R; +∞ = −∞ = 0. Corollaire 1.9.2 Toute partie non vide de R, admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R. Exemple 1.9.3 Etant données A et B deux parties de R, telles que A = [5, +∞] et B = [−∞, −1] , alors sup A = +∞, inf B = −∞. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 16 Le corps des nombres réels [Ch.1 1.10 Enoncés des exercices Exercice 1 : 1. Montrer les inégalités suivantes : (a) |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y| , ∀x, y ∈ R. √ √ √ (b) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ R+. √ √ p (c) x − y ≤ |x − y| ; ∀x, y ∈ R+. 2. Soit [x] la partie entière de x ; montrer que ∀x, y ∈ R : (a) x ≤ y ⇒ [x] ≤ [y] , (b) [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1. Exercice 2 : 1. Montrer que : (a) la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. √ (b) 2 ∈ /Q (c) 0, 336433643364... ∈ Q p √ p √ 2. Soit a ∈ [1, +∞[, simplifier x = a+2 a−1+ a−2 a−1 3. Calculer : n Cnk P (a) A = k=0 Yn 1 tel que n ∈ N∗.
(b) B = 1+ k k=1 Exercice 3 : On considère A une partie de R muni de l’ordre usuel, déterminer pour chacun des ensembles suivants : l’ensemble des majorants M aj(A), l’ensemble des minorants M in(A), la borne supérieure sup(A), la borne inférieure inf(A), le plus petit élément min(A) et le plus grand élément max(A). 1. A = [−α, α], [−α, α[, ] − α, α], ] − α, α[.(telque α > 0), E = R. 2. A = {x ∈ R / x2 < 2 }, E = R. 3. A = {1 − 1 n / n ∈ N∗ }, E = R. Exercice 4 : Soit A une partie non vide et bornée de R. On note B = {|x − y|; (x, y) ∈ A2 } 1. Justifier que B est majorée. 2. On note sup B la borne supérieure de l’ensemble B, montrer que sup B = sup(A) − inf(A). Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.10] Enoncés des exercices 17 Exercice 5 : On note par PB (R) l’ensemble des parties bornées de R, montrer que ∀A, B ∈ PB (R) : 1. (a) sup (A ∪ B) = max(sup A, sup B), (b) inf (A ∪ B) = min(inf A, inf B), 2. Si A ∩ B 6= ∅ alors : (a) sup (A ∩ B) ≤ min(sup A, sup B), (b) inf (A ∩ B) ≥ max(inf A, inf B), 3. sup (A + B) = sup A + sup B ; 4. inf (A + B) = inf A + inf B où A + B = {x + y / x ∈ A et y ∈ B} (a) sup(−A) = − inf(A); (b) inf(−A) = − sup A tel que −A = {−x / x ∈ A}. Exercice 6 : En utilisant la caractérisation de la borne supérieure et la borne inférieure mon- trer que : 1. sup A = 23 , inf A = 1 pour A = 2n+1  3n+1 , n∈N 2. sup B = 2, inf B = 0 pour B = n + n12 , n ∈ N∗ 1 3. sup C = 1, inf C = 0 pour C = {e−n , n ∈ N} 4. sup D = −1, inf D = −2 pour D = n12 − 2 , n ∈ N∗  Calculer max A, min A, max B, min B, max C, min C et max D, min D s’ils existent. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 18 Le corps des nombres réels [Ch.1 1.11 Corrigés Exercice 1 : 1. ∀x, y ∈ R, on a (a) 2 |x| = |(x + y) + (x − y)| ⇒ 2 |x| ≤ |x + y| + |x − y| 2 |y| = |(x + y) + (y − x)| ⇒ 2 |y| ≤ |x + y| + |x − y| d’où |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y|, ∀x, y ∈ R. (b) ∀x, y ≥ 0, on a √ x + y ≤ x + 2 xy + y, √ car 2 xy ≥ 0, ce qui est équivalent à √ √
2 √ √ √ x+y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x + y. (c) ∀x, y ≥ 0 on a x = (x − y) + y et (x − y) + y ≤ |x − y| + y √ p d’où x ≤ |x − y| + y, donc en utilisant (b), on a √ p √ √ √ p x ≤ |x − y| + y ⇔ x − y ≤ |x − y| (1.3) √ p de la même façon, on a y ≤ |y − x| + x et en utilisant (b), on a √ p √ √ √ p y ≤ |x − y| + x ⇔ x − y ≥ − |x − y| (1.4) de (1.3) et (1.4) on a donc p √ √ p √ √ p − |x − y| ≤ x − y ≤ |x − y| ⇔ x − y ≤ |x − y|. 2. Pour tout x et y dans R, on a (a) x ≤ y ⇒ [x] ≤ x ≤ y < [y] + 1 ⇒ [x] ≤ y < [y] + 1 or [y] est le plus grand entier inférieur à y, et comme [x] est un entier alors [x] ≤ [y]. (b)  [x] ≤ x < [x] + 1 ⇒ [x] + [y] ≤ x + y < [x] + [y] + 2 [y] ≤ y < [y] + 1 or [x + y] est le plus grand entier inférieur à x + y, alors [x] + [y] ≤ [x + y]. (1.5) D’une autre part, on a [x + y] + 1 est le plus petit entier supérieur à x + y, donc [x + y] + 1 ≤ [x] + [y] + 2 ⇔ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1 (1.6) de (1.5) et (1.6) on a [x] + [y] ≤ [x + y] ≤ [x] + [y] + 1. Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.11] Corrigés 19 Exercice 2 : 1. (a) Soient x ∈ Q, y ∈ / Q, on suppose par l’absurde que z = x + y ∈ Q, d’où y = z − x ∈ Q, contradiction. √ (b) On suppose par l’absurde que 2 ∈ Q, alors : ∃p, q ∈ Z, P GCD(p, q) = 1 tels que √ p 2= ⇔ p2 = 2q 2 ⇒ 2 divise p2 ⇒ 2 divise p q car 2 est premier d’où p = 2k, k ∈ Z donc 4k 2 = 2q 2 ⇔ 2k 2 = q 2 ⇒ 2 divise q 2 ⇒ 2 divise q; qui est une contradiction car p et q sont premiers entre eux. (c) Soit x = 0, 336433643364... On a 104 x = 3364, 336433643364... 3364 d’où 104 x − x = 9999x = 3364 alors x = 9999 ∈ Q.  4a − 4, si a ≥ 2 2. On a x2 = 2a + 2 |a − 2| = 4 , si 1 ≤ a ≤ 2 3. (a) On a le binôme de Newton : n (a + b)n = Cnk.ak.bn−k ; ∀a, b ∈ R, d’où P k=0 n Cnk = (1 + 1)n = 2n. P A= k=0 Yn n Y 1 k+1 = 2. 32. 43. 54... n+1

(b) B = 1+ k = k n = n + 1. k=1 k=1 Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 20 Le corps des nombres réels [Ch.1 Exercice 3 : 1. A Maj(A) Min(A) sup A inf A max A min A [−α, α] [α, +∞[ ] − ∞, −α] α −α α −α [−α, α[ [α, +∞[ ] − ∞, −α] α −α @ −α ] − α, α] [α, +∞[ ] − ∞, −α] α −α α @ ] − α, α[ [α, +∞[ ] − ∞, −α] α −α @ @ √ √ 2. A =] − 2, 2[, (4ème cas du tableau ci-dessus). 3. A = n−1 / n ∈ N∗  n On a ∀n ∈ N∗ : n−1 n≥1⇔n−1≥0⇒ ≥0 n et 0 ∈ A, d’où min A = inf A = 0. 1)∀n ∈ N∗ , n−1  n ≤1 sup A = 1 ⇔ nε −1 2)∀ε > 0, ∃nε ∈ N∗ ; 1 − ε < nε 1)∀n ∈ N∗ , n−1 n−1≤n⇔ ≤ 1. n 2) Soit ε > 0, n−1 1 1 1 1−ε< ⇔1−ε ⇔n>. n n n ε alors il suffit de prendre nε = 1ε + 1.   Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.11] Corrigés 21 Exercice 4 : B = {|x − y| ; (x, y) ∈ A2 }. 1. A est une partie bornée, alors sup A et inf A existent. On note sup A = M et inf A = m. On a ∀ (x, y) ∈ A2 :   m≤x≤M m≤x≤M ⇒ m≤y≤M −M ≤ −y ≤ −m ⇒ −(M − m) ≤ x − y ≤ M − m ⇔ |x − y| ≤ M − m. donc M − m est un majorant de B. 2. On a ε sup A = M ⇒ ∀ε > 0, ∃x ∈ A, M − < x (1.7) 2 et ε ε inf A = m ⇒ ∀ε > 0, ∃y ∈ A, y < m + ⇔ −m − < −y (1.8) 2 2 de (1.7) et (1.8) on obtient ∀ε > 0, ∃ (x, y) ∈ A2 , (M − m) − ε < x − y, or x − y ≤ |x − y| alors ∀ε > 0, ∃ (x, y) ∈ A2 , (M − m) − ε < |x − y|. par conséquent, sup B = M − m = sup A − inf A. Exercice 5 : ? 1. (a) sup (A ∪ B) = max (sup A, sup B) On a    A ⊂ (A ∪ B)  sup A ≤ sup (A ∪ B) et ⇒ et B ⊂ (A ∪ B) sup B ≤ sup (A ∪ B)   d’où max (sup A, sup B) ≤ sup (A ∪ B) (1.9) D’une autre part, on a    x∈A  x ≤ sup A x∈A∪B ⇔ ou ⇒ ou ⇒ x ≤ max(sup A, sup B) x∈B x ≤ sup B   d’où max(sup A, sup B) est un majorant de A ∪ B, or sup (A ∪ B) est le plus petit des majorants de (A ∪ B) , donc sup (A ∪ B) ≤ max (sup A, sup B) (1.10) de (1.9) et (1.10) on a l’égalité. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 22 Le corps des nombres réels [Ch.1 ? (b) inf (A ∪ B) = min (inf A, inf B) On a    A ⊂ (A ∪ B)  inf A ≥ inf (A ∪ B) et ⇒ et B ⊂ (A ∪ B) inf B ≥ inf (A ∪ B)   d’où min (inf A, inf B) ≥ inf (A ∪ B). (1.11) D’une autre part, on a    x∈A  x ≥ inf A x∈A∪B ⇔ ou ⇒ ou ⇒ x ≥ min(inf A, inf B) x∈B x ≥ inf B   d’où min(inf A, inf B) est un minorant de (A ∪ B) , or inf (A ∪ B) est le plus grand des minorants de (A ∪ B) , donc inf (A ∪ B) ≥ min (inf A, inf B) (1.12) de (1.11) et (1.12) on a l’égalité. 2. Si A ∩ B 6= ∅, alors ? (a) sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B) On a    (A ∩ B) ⊂ A  sup (A ∩ B) ≤ sup A et ⇒ et (A ∩ B) ⊂ B sup (A ∩ B) ≤ sup B   d’où sup (A ∩ B) ≤ min (sup A, sup B). ? (b) inf (A ∩ B) ≥ max (inf A, inf B) On a    (A ∩ B) ⊂ A  inf (A ∩ B) ≥ inf A et et (A ∩ B) ⊂ B inf (A ∩ B) ≥ inf B   d’où inf (A ∩ B) ≥ max (inf A, inf B). ? (c) sup (A + B) = sup A + sup B  1)∀x ∈ A : x ≤ MA (1) sup A = MA ⇔ 2)∀ε > 0, ∃x ∈ A : MA − 2ε < x (2)  1)∀y ∈ B : y ≤ MB (3) sup B = MB ⇔ 2)∀ε > 0, ∃y ∈ B : MB − 2ε < y (4) alors on a : (1) + (3) ⇒ ∀z ∈ A + B : z ≤ MA + MB (2) + (4) ⇒ ∀ε > 0, ∃z ∈ A + B : (MA + MB ) − ε < z donc sup (A + B) = sup A + sup B. Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.11] Corrigés 23 ? (d) inf (A + B) = inf A + inf B  1)∀x ∈ A : mA ≤ x (1) inf A = mA ⇔ 2)∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < mA + 2ε (2)  1)∀y ∈ B : mB ≤ y (3) inf B = mB ⇔ 2)∀ε > 0, ∃y ∈ B : y < mB + 2ε (4) alors on a : (1) + (3) ⇒ ∀z ∈ A + B : mA + mB ≤ z (2) + (4) ⇒ ∀ε > 0, ∃z ∈ A + B : z < (mA + mB ) + ε donc inf (A + B) = inf A + inf B. ? (e) sup (−A) = − inf A ∀x ∈ A : x ≥ inf A ⇔ −x ≤ − inf A d’où − inf A est un majorant de −A, or sup (−A) est le plus petit des majorants de −A, alors sup (−A) ≤ − inf A (1.13) ∀ (−x) ∈ (−A) : −x ≤ sup (−A) ⇔ x ≥ − sup (−A) d’où − sup (−A) est un minorant de A, or inf A est le plus grand des minorants de A, alors inf A ≥ − sup (−A) donc − inf A ≤ sup (−A) (1.14) de (1.13) et (1.14) on a l’égalité. ? (f) inf (−A) = − sup A ∀x ∈ A : x ≤ sup (A) ⇔ −x ≥ − sup (A) d’où − sup (A) est un minorant de −A, or inf (−A) est le plus grand des minorants de −A, alors inf (−A) ≥ − sup (A) (1.15) ∀ (−x) ∈ (−A) : −x ≥ inf (−A) ⇔ x ≤ − inf (−A) d’où − inf A est un majorant de A, or sup (A) est le plus petit des majorants de A, alors sup (A) ≤ − inf (−A) ⇔ − sup (A) ≥ inf (−A) (1.16) de (1.15) et (1.16) on a l’égalité. Analyse 1 Damerdji Bouharis A. 24 Le corps des nombres réels [Ch.1 Exercice 6 : 1. A = 3n+1  2n+1 , n∈N ? inf A = 1 On a ∀n ∈ N : 3n + 1 3n + 1 ≥ 2n + 1 ⇔ ≥ 1, 2n + 1 alors 1 est un minorant de A. On remarque que 1 ∈ A, pour n = 0. alors min A = 1 = inf A. ? sup A = 23 On a ∀n ∈ N : 3n + 1 3 6n + 2 ≤ 6n + 3 ⇔ ≤ , 2n + 1 2 alors 32 est un majorant de A. ∀ε > 0, ∃?nε ∈ N : 23 − ε < 3nε +1 2nε +1 Soit ε > 0, 3 3n + 1 1 − 2ε −ε< ⇔ < n, 2 2n + 1 4ε alors il suffit de prendre nε = 1−2ε   4ε + 1. Donc sup A = 32 , mais 3 2 ∈ / A alors max A n’existe pas. 2. B = n1 + n12 , n ∈ N∗  ? sup B = 2 On a 1 ≥ n1   ∗ n≥1 1 1 ∀n ∈ N : ⇒ 1 ⇒ 2 ≥ + 2, n2 ≥ 1 1 ≥ n2 n n alors 2 est un majorant de B. On remarque que 2 ∈ B, pour n = 1. alors max B = 2 = sup B. ? inf B = 0 On a ∀n ∈ N∗ : n1 + n12 > 0, alors 0 est un minorant de B. ∀ε > 0, ∃?nε ∈ N∗ : n1ε + n12 < ε ε Soit ε > 0, on a ∀n ∈ N∗ : n + 1 ≤ 2n ⇔ n+1 n2 ≤ 2n n2 1 1 2 ⇔ n + n2 ≤ n alors pour que n1 +n12 < ε; il suffit que : n2 < ε ⇔ 2ε < n et donc il suffit de prendre nε = 2ε + 1. Donc inf B = 0, mais 0 ∈ / B alors min B n’existe pas. 3. C = {e−n , n ∈ N} Damerdji Bouharis A. USTO MB §1.11] Corrigés 25 sup C = 1 On a ∀n ∈ N : 0 ≤ n ⇔ −n ≤ 0 ⇔ e−n ≤ 1 alors 1 est un majorant de C. On remarque que 1 ∈ C, pour n = 0. alors max C = 1 = sup C. inf C = 0 On a ∀n ∈ N : e−n > 0, alors 0 est un minorant de C. ∀ε > 0, ∃?nε ∈ N : e−nε < ε. Soit ε > 0, on a e−n < ε ⇔ −n < ln ε ⇔ − ln ε < n alors il suffit de prendre nε = [|ln ε|] + 1. Donc inf C = 0 , mais 0 ∈ / C alors min C n’existe pas. 4. D = n2 − 2 , n ∈ N∗ 1 sup D = −1, On a ∀n ∈ N∗ : 1 ≤ n ⇔ 1 ≤ n2 ⇔ n12 ≤ 1 ⇔ n12 − 2 ≤ −1 alors −1 est un majorant de D. On remarque que −1 ∈ D, pour n = 1. alors max D = −1 = sup D. inf D = −2 On a ∀n ∈ N∗ : 0 < n12 ⇔ −2 < n12 − 2, alors −2 est un minorant de D. ∀ε > 0, ∃?nε ∈ N∗ : n12 − 2 < ε − 2 Soit ε > 0, on a 1 1 n2 −2