Étude d'un Pendule Simple PDF

# ÉTUDE D'UN PENDULE SIMPLE ## I - But On se propose de déterminer la valeur de l'intensité de la pesanteur dans le cas des oscillations à faibles amplitudes et de confronter ce résultat à celui obtenu lorsque les oscillations se font à grandes amplitudes. ## II - Partie théorique ### 1 - Défin...

# ÉTUDE D'UN PENDULE SIMPLE ## I - But On se propose de déterminer la valeur de l'intensité de la pesanteur dans le cas des oscillations à faibles amplitudes et de confronter ce résultat à celui obtenu lorsque les oscillations se font à grandes amplitudes. ## II - Partie théorique ### 1 - Définition Un pendule simple est constitué par une masse *m*, supposée ponctuelle, fixée à l'extrémité d'un fil, inextensible, de masse négligeable. L'autre extrémité du fil est fixe. L'ensemble se trouve dans un champ de pesanteur uniforme. ### 2 - Période des oscillations La Figure 1 représente le schéma du pendule dans différentes positions, *l* étant la longueur du fil, c'est à dire la distance entre le point d'attache *O* et le centre de gravité *G* de la masse *m*.  Dans le champ de pesanteur, la position d'équilibre est la verticale *OA*. Écarté de sa position d'équilibre d'un angle *θo* et lâché, à l'instant *t = 0*, sans vitesse initiale, le pendule se met à osciller. Son mouvement est sinusoidal de période *T* et d'amplitude *θo* (les frottements sont négligés). Si l'on néglige les frottements, on a conservation de l'énergie mécanique. Cela veut dire que l'énergie mécanique du pendule simple au point *G* est égale à son énergie mécanique au point *M*. $0 + mgh_{0} = \frac{1}{2}mv^{2} + mgh$ En exprimant $h$ et $h_{0}$ en fonction de *θ* et *θo* ($h = l(1 - cos θ)$ et $h_{o} = l(1 - cos θ_{0})$), l'équation (1) devient : $\frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}mgl^{2}(\frac{dθ}{dt})^{2} + mgl(cos θ - cos θ_{0}) = 0$ En dérivant l'équation (2) par rapport au temps on a : $\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}sin θ = 0$ ### a - Oscillations à faibles amplitudes Dans le cas où l'angle *θo* est petit (*θo* ≈ 10°) et vue que $(0 ≤ θ ≤ θ_{0})$, alors *sin θo* ≈ *θo* (θo est exprimé en radians). La relation (3) devient alors : $\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}θ = 0$ C'est l'équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique de période : $T_{0} = 2π(\frac{l}{g})^{1/2}$ ### b - Oscillations à grandes amplitudes De l'équation (2), on détermine la variation de temps *dt* lorsque le pendule se déplace d'un angle *dθ* soit : $dt = (\frac{l}{2g})^{1/2}\frac{dθ}{(cosθ_{0} - cos θ)^{½}}$ En intégrant sur T/4 (*θ* varie de 0 à *θo*), on obtient : $T/4 = (\frac{l}{2g})^{1/2}\int_{0}^{θ_{0}}\frac{dθ}{(cosθ_{0} - cos θ)^{½}}$ Moyennant un changement de variable et un développement limité du 2ième terme de (7), on obtient : $T = T_{0}(1 + \frac{1}{16}sin^{2}(\frac{θ_{0}}{2}) + ...)$ On constate que la période *T* est fonction de l'amplitude de *θo*. Par ailleurs on se retrouve dans le cas où *θo* est faible l'expression (5). ## III - Manipulation ### 1 - Oscillations à faibles amplitudes Fixer la longueur du fil à la valeur *l* = 30 cm. Écarter le pendule d'un angle *θo* = 10° par rapport à sa position d'équilibre et le lâcher sans vitesse initiale. 1) Chronométrer trois fois la durée de 10 périodes et reporter les résultats des mesures dans le tableau ci-dessous : | $θ_{0}$ | $t_{1}$ = 10T(s) | $t_{2}$ = 10T(s) | $t_{3}$ = 10T(s) | $t_{moy}$(s) | $T_{moy}$(s) | $\Delta T_{stut}$(s) | $sin^{2}(\frac{θ_{0}}{2})$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 10° | | | | | | | | 2) Représenter graphiquement, sur un papier millimétré, *Tmoy* en fonction de *sin²(θo/2)*. On négligera l'incertitude absolue sur cette dernière variable. 3) Représenter sur le graphe les segments d'incertitudes ainsi que la pente maximale *Pmax* et la pente minimale *Pmin*. 4) Calculer les valeurs de *T* et *T* à partir de l'ordonnée à l'origine. 5) En déduire la valeur de *g* ainsi que la valeur de l'incertitude absolue *Δg*. 6) Conclure. **Rappel:** $\Delta T_{stut} = sup(\mid T_{moy} - T_{1}| ; \mid T_{moy} - T_{2}|\mid T_{moy} - T_{3}\mid ) $ **Exemples:** Déplacement d'un mobile avec une vitesse *v* uniforme. Dans un tel cas l'équation horaire s'écrit : *x(t) = vt*. En choisissant à l'origine du temps (à *t = 0*) une abscisse *x = 0*, l'équation horaire du mobile devient : *x(t) = vt*. Variation du carré de la période *T* d'un pendule simple en fonction de la longueur du fil : $T=2π\sqrt{\frac{l}{g}} ⇒ T^{2} = 4π^{2}\frac{l}{g}$ On notera que la mesure de la période pour une longueur nulle est inaccessible expérimentalement. Dans ce cas le point (0,0) est représenté sans rectangle d'incertitudes et toutes les droites passant par les rectangles d'incertitudes des autres points doivent passer par ce point. Cela correspond alors à des droites ($P_{min}$) et ($P_{max}$) passant par l'origine (0,0) (Figure 5). ## 2 - Oscillations à grandes amplitudes Fixer la longueur du pendule à la valeur *l* = 50cm puis chronométrer trois fois la durée de 10 périodes pour chacune des trois valeurs de *θo* suivantes : *θo*= 20°, *θo*= 30° et *θo*= 40°. 1) Reporter les résultats dans le tableau ci-dessous : | *θo* (°)| $t_{1}$ = 10T(s) | $t_{2}$ = 10T(s) | $t_{3}$ = 10T(s) | $t_{moy}$(s) | $T_{moy}$(s) | $\Delta T_{stut}$(s) | $sin^{2}(\frac{θ_{0}}{2})$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 20° | | | | | | | | | 30° | | | | | | | | | 40° | | | | | | | | 2) Représenter graphiquement, sur un papier millimétré, *Tmoy* en fonction de *sin²(θo/2)*. On négligera l'incertitude absolue sur cette dernière variable. 3) Représenter sur le graphe les segments d'incertitudes ainsi que la pente maximale *Pmax* et la pente minimale *Pmin*. 4) Calculer les valeurs de *T* et *T* à partir de l'ordonnée à l'origine. 5) En déduire la valeur de *g* ainsi que la valeur de l'incertitude absolue *Δg*. 6) Conclure.