Movimiento Periódico - Física Universitaria Sears-Zemansky, 13a Edición, Volumen 1 PDF

MOVIMIENTO PERIÓDICO 14 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: Cómo describir las oscilaciones en términos de amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular. Cómo efectuar cálculos de movimiento armónico simple, un tipo de oscilación importante. ? Los perros caminan mucho más rápido que los humanos. ¿Esto se debe principalmente a que las patas de los perros son más cortas que las piernas de Cómo utilizar los conceptos de energía para analizar el movimiento los humanos, menos masivas que las piernas de los humanos, o es resultado armónico simple. de ambas cosas? Cómo aplicar los conceptos relacionados con el movimiento M uchos tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibración de un cris- armónico simple en diferentes tal de cuarzo en un reloj de pulso, el péndulo oscilante de un reloj con pe- situaciones físicas. destal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete o un tubo de Cómo analizar los movimientos órgano y el movimiento periódico de los pistones de un motor de combustión. A esta de un péndulo simple. clase de movimiento le llamamos movimiento periódico u oscilación, y será el tema del presente capítulo. Su comprensión será indispensable para nuestro estudio pos- Qué es un péndulo físico y terior de las ondas, el sonido, la corriente alterna y la luz. cómo calcular las propiedades Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de de su movimiento. equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en acción una Qué determina la duración de fuerza o torca para hacerlo regresar al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, una oscilación. ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición de Cómo una fuerza aplicada a un equilibrio. Imagine una pelota que rueda de un lado a otro dentro de un tazón redon- oscilador en la frecuencia adecuada do, o un péndulo que oscila pasando por su posición vertical. puede causar una respuesta En este capítulo, nos concentraremos en dos ejemplos sencillos de sistemas con mo- o resonancia muy grande. vimiento periódico: los sistemas resorte-masa y los péndulos. También veremos por qué algunas oscilaciones tienden a detenerse con el tiempo, y otras tienen desplaza- mientos cada vez mayores con respecto al equilibrio cuando actúan fuerzas periódi- camente variables. 14.1 Descripción de la oscilación 14.1 Sistema que puede tener movimiento Uno de los sistemas más sencillos que puede tener movimiento periódico se muestra en periódico. la ﬁgura 14.1. Un cuerpo con masa m se mantiene sobre una guía horizontal sin fric- ción, como una pista o un riel de aire, de modo que solo puede desplazarse a lo largo y Posición de equilibrio del eje x. El cuerpo está conectado a un resorte de masa despreciable que puede es- (resorte relajado) Resorte tirarse o comprimirse. El extremo izquierdo del resorte está ﬁjo, y el derecho está unido O x al cuerpo. La fuerza del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo; las fuerzas normal y gravitacional verticales en este caso suman cero. m 437 438 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.2 Modelo de movimiento periódico. Lo más sencillo es deﬁnir nuestro sistema de coordenadas con el origen O en la Cuando el cuerpo está desplazado con posición de equilibrio, donde el resorte no está estirado ni comprimido. Así, x es respecto a la posición de equilibrio en x = 0, la componente x del desplazamiento del cuerpo con respecto al equilibrio y también el resorte ejerce una fuerza de restitución dirigida hacia la posición de equilibrio. es el cambio de longitud del resorte. La componente x de la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es Fx y la componente x de la aceleración, ax, está dada por a) ax = Fx兾m. x. 0: el deslizador Fx , 0, así que ax , 0: La ﬁgura 14.2 muestra el cuerpo para tres desplazamientos diferentes del resorte. se desplaza a la dere- el resorte estirado tira Siempre que el cuerpo se desplaza con respecto a su posición de equilibrio, la fuerza cha desde la posición del deslizador hacia la del resorte tiende a regresarlo a dicha posición. Llamamos a una fuerza con esa carac- de equilibrio. posición de equilibrio. terística fuerza de restitución. Solo puede haber oscilación si hay una fuerza de y y ax restitución que tiende a regresar el sistema a la posición de equilibrio. n Analicemos cómo se da la oscilación en este sistema. Si desplazamos el cuerpo a Fx x Fx la derecha hasta x = A y lo soltamos, la fuerza total y la aceleración son hacia la iz- x x mg quierda (ﬁgura 14.2a). La rapidez aumenta conforme el cuerpo se aproxima a la posi- ción de equilibrio O. Cuando el cuerpo está en O, la fuerza neta que actúa sobre él es cero (ﬁgura 14.2b), pero, a causa de su movimiento, rebasa la posición de equilibrio. b) En el otro lado de esa posición, el cuerpo se sigue moviendo a la izquierda, pero la x 5 0: el resorte relajado no ejerce ninguna fuerza sobre el deslizador, de manera que este fuerza total y la aceleración son a la derecha (ﬁgura 14.2c); por lo tanto, la rapidez tiene aceleración cero. disminuye hasta que el cuerpo se detiene. Después demostraremos que, con un y y resorte ideal, el punto en el que se detiene es x = -A. Ahora el cuerpo acelera hacia la derecha, rebasa otra vez el equilibrio, y se detiene en el punto inicial x = A, listo n para repetir todo el proceso. ¡El cuerpo está oscilando! Si no hay fricción u otra O x x fuerza que elimine energía mecánica del sistema, el movimiento se repetirá eterna- mg mente; la fuerza de restitución tirará perpetuamente del cuerpo hacia la posición de equilibrio, por la cual el cuerpo pasará una y otra vez. c) En situaciones diferentes, la fuerza puede depender de diversas maneras del desplazamiento x con respecto al equilibrio, pero siempre habrá oscilación si la fuerza x , 0: el deslizador Fx. 0, así que ax. 0: es de restitución y tiende a regresar al sistema al punto de equilibrio. se desplaza a la iz- el resorte comprimido quierda desde la empuja el deslizador posición de hacia la posición de Amplitud, periodo, frecuencia y frecuencia angular equilibrio. y equilibrio. a y Veamos algunos términos que usaremos al analizar movimientos periódicos de todo x tipo: x Fx n Fx La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud máxima del despla- x x zamiento con respecto al equilibrio, es decir, el valor máximo de 兩x兩 y siempre es po- mg sitiva. Si el resorte de la ﬁgura 14.2 es ideal, el rango global del movimiento es 2A. La unidad de A en el SI es el metro. Una vibración completa, o ciclo, es un viaje redondo (de ida y vuelta), digamos de A a -A y de regreso a A, o bien, de O a A, regresando por O hasta -A y volviendo a O. Observe que el movimiento de un lado al otro (diga- mos, de -A a A) es medio ciclo, no un ciclo completo. El periodo, T, es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo. La unidad del Aplicación Frecuencias de las alas periodo en el SI es el segundo, aunque a veces se expresa como “segundos por ciclo”. El colibrí garganta rubí (Archilochus colubris) La frecuencia, f, es el número de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es posi- normalmente bate sus alas en aproximada- mente 50 Hz, produciendo su sonido carac- tiva. La unidad de la frecuencia en el SI es el hertz: terístico. Los insectos pueden batir sus alas a un ritmo aún más rápido, desde 330 Hz 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo兾s = 1 s-1 para una mosca doméstica y 600 Hz para Esta unidad se llama así en honor del físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894), un un mosquito, hasta una cifra increíble de 1040 Hz para el diminuto jején pionero en la investigación de las ondas electromagnéticas. (Ceratopogonidae). La frecuencia angular, v, es 2p veces la frecuencia: v = 2pf Pronto veremos para qué sirve v; representa la rapidez de cambio de una cantidad an- gular (no necesariamente relacionada con un movimiento de rotación) que siempre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad兾s. Puesto que f está en ciclos兾s, podemos considerar que el número 2p tiene unidades de rad兾ciclo. Por las deﬁniciones de periodo T y frecuencia f, es evidente que uno es el recíproco del otro: 1 1 f = T = (relaciones entre frecuencia y periodo) (14.1) T ƒ 14.2 Movimiento armónico simple 439 También, por la deﬁnición de v, 2p v = 2pƒ = (frecuencia angular) (14.2) T Ejemplo 14.1 Periodo, frecuencia y frecuencia angular Un transductor ultrasónico empleado para el diagnóstico médico oscila EJECUTAR: De las ecuaciones (14.1) y (14.2), con una frecuencia de 6.7 MHz = 6.7 * 106 Hz. ¿Cuánto tarda cada 1 1 oscilación, y qué frecuencia angular tiene? T = = = 1.5 * 10 -7 s = 0.15 ms ƒ 6.7 * 10 6 Hz SOLUCIÓN v = 2pf = 2p 16.7 * 10 6 Hz2 = 12p rad>ciclo216.7 * 10 6 ciclo>s2 IDENTIFICAR y PLANTEAR: Nuestras incógnitas son el periodo T y la frecuencia angular v. Podemos obtener esas variables empleando la fre- = 4.2 * 10 7 rad>s cuencia f en las ecuaciones (14.1) y (14.2), respectivamente. EVALUAR: Esta es una vibración muy rápida, con f y v grandes y T pequeño. Una vibración lenta tiene f y v pequeñas, y T grande. Evalúe su comprensión de la sección 14.1 Un cuerpo como el de la ﬁgura 14.2 oscila de un lado a otro. Para cada uno de los siguientes valores de la velocidad vx y la aceleración ax del cuerpo, indique si el desplazamiento x es positivo, negativo o cero. a) vx 7 0 y ax 7 0; b) vx 7 0 y ax 6 0; c) vx 6 0 y ax 7 0; d) vx 6 0 y ax 6 0; e) vx = 0 y ax 6 0; f) vx 7 0 y ax = 0. 14.2 Movimiento armónico simple El tipo de oscilación más sencillo sucede cuando la fuerza de restitución Fx es direc- tamente proporcional al desplazamiento x con respecto al equilibrio. Esto ocurre si el resorte de las ﬁguras 14.1 y 14.2 es ideal y obedece la ley de Hooke. La constante de proporcionalidad entre Fx y x es la constante de fuerza k. (De ser necesario, repase la ley de Hooke y la deﬁnición de la constante de fuerza en la sección 6.3). En ambos la- dos de la posición de equilibrio, Fx y x siempre tienen signos opuestos. En la sección 6.3, representamos la fuerza que actúa sobre un resorte ideal estirado como Fx = kx. La componente x de la fuerza que el resorte ejerce sobre el cuerpo es el negativo de esta, así que la componente x de la fuerza Fx sobre el cuerpo es Fx = -kx (fuerza de restitución ejercida por un resorte ideal) (14.3) 14.3 Un resorte ideal ejerce una fuerza de restitución que obedece la ley de Hooke, Esta ecuación da la magnitud y el signo correctos de la fuerza, ya sea x positivo, nega- Fx = -kx. La oscilación con esta fuerza de tivo o cero (ﬁgura 14.3). La constante de fuerza k siempre es positiva y tiene unidades restitución se denomina movimiento de N兾m (también resultan útiles las unidades de kg兾s2). Estamos suponiendo que no armónico simple. hay fricción, así que la ecuación (14.3) da la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Fuerza de restitución Fx Cuando la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, como en la ecuación (14.3), la oscilación se denomina movimien- x,0 Fx. 0 to armónico simple, que se abrevia como MAS. La aceleración ax = d2x兾dt2 = Fx兾m de un cuerpo en MAS está dada por Desplazamiento x 2 O dx k ax = = - x (movimiento armónico simple) (14.4) x.0 dt2 m Fx , 0 El signo menos indica que la aceleración y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos. Esta aceleración no es constante, así que olvídese de usar las ecuaciones para La fuerza de restitución ejercida por un resorte aceleración constante del capítulo 2. Más adelante veremos cómo resolver esta ecua- ideal es directamente proporcional al ción para obtener el desplazamiento x en función del tiempo. Un cuerpo que está en desplazamiento (ley de Hooke, Fx 5 2kx): movimiento armónico simple se denomina oscilador armónico. la gráfica de Fx contra x es una recta. 440 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.4 En casi todas las oscilaciones reales, ¿Por qué es importante el movimiento armónico simple? Tenga presente que no se aplica la ley de Hooke siempre que el todos los movimientos periódicos son armónicos simples; en el movimiento periódico cuerpo no se aleje tanto del equilibrio. en general, la relación entre la fuerza de restitución y el desplazamiento es más com- En tal caso, las oscilaciones tienen amplitud pequeña y son casi armónicas simples. plicada que la ecuación (14.3). No obstante, en muchos sistemas, la fuerza de restitu- ción es aproximadamente proporcional al desplazamiento si este es lo suﬁcientemente Caso ideal: la fuerza de restitución obedece la pequeño (ﬁgura 14.4). Es decir, si la amplitud es pequeña, las oscilaciones de tales sis- ley de Hooke (Fx 5 2kx), así que la gráfica de Fx contra x es una línea recta. temas son más o menos armónicas simples y, por lo tanto, la ecuación (14.4) las des- cribe en forma aproximada. Así, podemos usar el MAS como modelo aproximado de Fuerza de restitución Fx muchos movimientos periódicos distintos, como la vibración del cristal de cuarzo Caso típico real: de un reloj de pulso, el movimiento de un diapasón, la corriente eléctrica en un circui- la fuerza de restitución to de corriente alterna y las vibraciones de los átomos en moléculas y sólidos. se desvía de la ley de Hooke... O Desplazamiento x Movimiento circular y ecuaciones del MAS Para explorar las propiedades del movimiento armónico simple, debemos expresar... pero Fx 5 2kx el desplazamiento x del cuerpo oscilante en función del tiempo, x(t). La segunda puede ser una buena derivada de esta función, d 2x兾dt2, debe ser igual a (-k兾m) multiplicado por la función aproximación a la fuerza si el misma, como lo pide la ecuación (14.4). Ya hemos mencionado que las fórmulas para desplazamiento x es suficientemente pequeño. aceleración constante de la sección 2.4 no son útiles aquí, porque la aceleración cam- bia constantemente al cambiar el desplazamiento x. En cambio, obtendremos x(t) aprovechando la notable similitud entre el MAS y otra forma de movimiento que ya estudiamos. La ﬁgura 14.5a muestra la vista superior de un disco horizontal de radio A con una esfera pegada a su borde en el punto Q. El disco gira con rapidez angular constante v (que se mide en rad兾s), así que la esfera tiene movimiento circular uniforme. Un haz de luz horizontal incide en el disco y proyecta la sombra de la esfera en una pantalla. La sombra en el punto P oscila conforme la esfera se mueve en un círculo. Luego instalamos un cuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinación de las ﬁguras 14.1 y 14.2, de modo que el cuerpo oscile paralelo a la sombra. Demostraremos que el movimiento del cuerpo y el movimiento de la sombra de la esfera son idénticos, cuando la amplitud de la oscilación del cuerpo es igual al radio del disco A, y si la frecuencia angular 2pf del cuerpo oscilante es igual a la rapidez angular v del disco. Esto es, el movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uni- forme sobre un diámetro. Podemos comprobar esta notable aﬁrmación calculando la aceleración de la som- bra en P y comparándola con la aceleración de un cuerpo en MAS, dada por la ecuación (14.4). El círculo en el que la esfera se mueve, de modo que su proyección coincide con el movimiento del cuerpo oscilante, se denomina círculo de referencia; llamaremos a Q el punto de referencia. Tomamos el círculo de referencia en el plano 14.5 a) Relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple. b) La sombra de la esfera se mueve exactamente como un cuerpo que oscila unido a un resorte ideal. a) Aparato para crear el círculo de referencia b) Representación abstracta del movimiento en a) Sombra de la Pantalla esfera en 2A P A la pantalla La bola se mueve con vertical O movimiento circular uniforme. iluminada y Sombra de la esfera La sombra oscila Mientras en la Esfera en la Q en MAS sobre tornamesa la esfera Q tornamesa el eje x. A Q se mueve con giratoria movimiento circular A u P uniforme, su sombra x O P se mueve de un lado a otro en movi- v x ⫽A cos u miento armónico Iluminación simple en la pantalla. Mesa Haz de luz 14.2 Movimiento armónico simple 441 xy, con el origen O en el centro del círculo (ﬁgura 14.5b). En el instante t, el vector OQ del origen al punto de referencia Q forma un ángulo u con el eje +x. Al girar Q en el círculo de referencia con rapidez angular constante v, el vector OQ gira con la misma rapidez angular. Un vector giratorio así se denomina fasor. (Este término estaba en uso mucho antes de inventarse el arma del mismo nombre del programa de TV “Viaje a las estrellas”. El método de fasores para analizar oscilaciones es útil en muchas áreas de la física. Usaremos los fasores cuando estudiemos los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31, volumen 2, y la interferencia de la luz en los capí- tulos 35 y 36, volumen 2). La componente x del fasor en el instante t es la coordenada x del punto Q: x = A cos u (14.5) Esta es también la coordenada x de la sombra P, que es la proyección de Q sobre el 14.6 a) La velocidad x y b) la aceleración eje x. Por lo tanto, la velocidad x de la sombra P en el eje x es igual a la componente x de x de la sombra de la esfera representada del vector velocidad del punto de referencia Q (ﬁgura 14.6a) y la aceleración x de P es por el punto P (véase la ﬁgura 14.5) son las componentes x de los vectores velocidad y igual a la componente x del vector aceleración de Q (ﬁgura 14.6b). Puesto que Q está aceleración, respectivamente, de la esfera Q. S en movimiento circular uniforme, su vector aceleración a Q siempre apunta hacia O. S a) Uso del círculo de referencia para Además, la magnitud de a Q es constante y es igual a la velocidad angular al cuadrado determinar la velocidad x del punto P multiplicada por el radio del círculo (véase la sección 9.3): y aQ = v2A (14.6) vQ u S La ﬁgura 14.6b muestra que la componente x de a Q es ax = -aQ cos u. Combinando Q esto con las ecuaciones (14.5) y (14.6), vemos que la aceleración del punto P es u P ax = - aQ cos u = - v2A cos u o (14.7) O x vx 5 2vQ sen u ax = - v2x (14.8) La aceleración del punto P es directamente proporcional al desplazamiento x y siem- pre tiene el signo opuesto. Estas son precisamente las características distintivas del movimiento armónico simple. b) Uso del círculo de referencia para La ecuación (14.8) es exactamente igual a la ecuación (14.4) para la aceleración de determinar la aceleración x del punto P un oscilador armónico, siempre que la rapidez angular v del punto de referencia Q y esté relacionada con la constante de fuerza k y la masa m del cuerpo oscilante por Q k k v = 2 o v = (14.9) u m Am aQ u P x Hemos estado usando el mismo símbolo v para la rapidez angular del punto de refe- O rencia Q y la frecuencia angular del punto oscilante P. La razón es que ¡estas canti- ax 5 2aQ cos u dades son iguales! Si Q completa una revolución en un tiempo T, P completa un ciclo de oscilación en el mismo tiempo; por lo tanto, T es el periodo de la oscilación. Durante el tiempo T, el punto Q gira 2p radianes, así que su rapidez angular es v = 2p兾T. Esta es la ecuación (14.2) para la frecuencia angular de P, lo cual veriﬁca nuestra aﬁrmación acerca de las dos interpretaciones de v. Por ello, introdujimos la frecuencia angular en la sección 14.1; es la cantidad que vincula la oscilación y el movimiento circular. Así, reinterpretamos la ecuación (14.9) como una expresión de la frecuencia angular del movimiento armónico simple para un cuerpo de masa m, sobre el que actúa una fuerza de restitución con constante de fuerza k: k v = (movimiento armónico simple) (14.10) Am Cuando un cuerpo comienza a oscilar en un MAS, no podemos elegir el valor de v, pues está predeterminado por los valores de k y m. Las unidades de k son N兾m, o bien, kg兾s2, así que k兾m está en (kg兾s2)兾kg = s-2. Cuando obtenemos la raíz cuadrada en la ecuación (14.10), obtenemos s-1 o, mejor dicho, rad兾s, porque se trata de una fre- cuencia angular (recuerde que el radián no es una unidad verdadera). 442 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico De acuerdo con las ecuaciones (14.1) y (14.2), la frecuencia f y el periodo T son v 1 k ƒ = = (movimiento armónico simple) (14.11) 2p 2p A m 1 2p m T = = = 2p (movimiento armónico simple) (14.12) ƒ v Ak 14.7 Cuanto mayor sea la masa m de A partir de la ecuación (14.12), vemos que una masa mayor m, con su mayor inercia, los brazos de un diapasón, más baja será la tiene menos aceleración, se mueve más lentamente y tarda más en completar un ciclo frecuencia de oscilación ƒ = 11>2p2 2k>m (ﬁgura 14.7). En cambio, un resorte más rígido (con mayor constante de fuerza k) y más bajo será el tono del sonido producido por el diapasón. ejerce una mayor fuerza para una deformación x dada, causando una mayor acele- ración, rapideces más altas y ciclos más cortos. Brazos con masa m grande: frecuencia baja f 5 128 Hz CUIDADO No confunda frecuencia con frecuencia angular Podemos meternos en problemas, si no distinguimos entre frecuencia f y frecuencia angular v = 2pf. La frecuencia nos indica cuántos ciclos de oscilación ocurren por segundo; mientras que la frecuencia angular nos dice a cuántos radianes por segundo corresponde esto en el círculo de referencia. Al resolver pro- blemas, fíjese bien si el objetivo es obtener f o v. Periodo y amplitud en el MAS Las ecuaciones (14.11) y (14.12) indican que el periodo y la frecuencia del movi- miento armónico simple están determinados solamente por la masa m y la constante de fuerza k. En el movimiento armónico simple, el periodo y la frecuencia no depen- den de la amplitud A. Para valores dados de m y k, el tiempo de una oscilación com- pleta es el mismo, sea la amplitud grande o pequeña. La ecuación (14.3) muestra por qué esto es lógico. Una mayor A implica que la masa alcanza valores mayores de 兩x兩 y está sujeta a fuerzas de restitución mayores. Esto aumenta la rapidez media del cuer- Brazos con masa m pequeña: po durante un ciclo completo, lo cual compensa exactamente la necesidad de recorrer frecuencia alta f 5 4096 Hz una mayor distancia, de modo que el tiempo total es el mismo. En esencia, las oscilaciones de un diapasón son movimiento armónico simple, lo que signiﬁca que tal instrumento siempre vibra con la misma frecuencia, sea cual fuere la amplitud. Esto permite usar el diapasón como estándar para el tono musical. Si no fuera por esta característica del movimiento armónico simple, sería imposible hacer que los relojes mecánicos y electrónicos que conocemos fueran exactos, y tam- poco podríamos tocar aﬁnadamente la mayoría de los instrumentos musicales. Si en- contramos un cuerpo oscilante cuyo periodo sí depende de la amplitud, su movimiento no es armónico simple. Ejemplo 14.2 Frecuencia angular, frecuencia y periodo del MAS Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo ﬁjo. Se 14.8 a) La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vector F) conecta una balanza de resorte al extremo libre y se da un tirón hacia tiene componente x: Fx = +6.0 N. La fuerza ejercida por el resorte tie- la derecha (ﬁgura 14.8a), indicando que la fuerza de estiramiento es ne componente x: Fx = -6.0 N. b) Un deslizador está unido al mismo proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un resorte y se le permite oscilar. desplazamiento de 0.030 m. Quitamos la balanza de resorte y conec- a) F 5 6.0 N tamos un deslizador de 0.50 kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo x 0.020 m a la derecha por una pista de aire sin fricción, y lo soltamos a partir del reposo (ﬁgura 14.8b). a) Determine la constante de fuerza del m resorte. b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia f y el periodo T de la oscilación resultante. x50 x 5 0.030 m b) m 5 0.50 kg SOLUCIÓN x IDENTIFICAR y PLANTEAR: Puesto que la fuerza del resorte (con mag- nitud igual a la fuerza de estiramiento) es proporcional al desplaza- miento, el movimiento es armónico simple. Encontramos la constante x 5 0 x 5 0.020 m de la fuerza k usando la ley de Hooke, ecuación (14.3), y v, f y T, usando las ecuaciones (14.10), (14.11) y (14.12), respectivamente. 14.2 Movimiento armónico simple 443 EJECUTAR: a) Cuando x = 0.030 m, la fuerza que el resorte ejerce EVALUAR: La amplitud de la oscilación es de 0.020 m, la distancia que sobre la balanza de resorte es Fx = -6.0 N. De acuerdo con la ecuación movimos el deslizador conectado al resorte antes de soltarlo. No nece- (14.3), sitamos esta información para calcular la frecuencia angular, la fre- cuencia ni el periodo porque, en el MAS, ninguna de esas cantidades Fx - 6.0 N k = - = - = 200 N>m = 200 kg>s2 depende de la amplitud. El periodo por lo regular se da en “segundos”, x 0.030 m y no en “segundos por ciclo”. b) Usando m = 0.50 kg en la ecuación (14.10), vemos que k 200 kg>s 2 v = = = 20 rad>s Am B 0.50 kg v 20 rad>s ƒ = = = 3.2 ciclos>s = 3.2 Hz 2p 2p rad>ciclo 1 1 T = = = 0.31 s ƒ 3.2 ciclos>s Desplazamiento, velocidad y aceleración en el MAS Aún necesitamos obtener el desplazamiento x en función del tiempo para un oscilador armónico. La ecuación (14.4) para un cuerpo en movimiento armónico simple en el eje x es idéntica a la ecuación (14.8), para la coordenada x del punto de referencia en PhET: Motion in 2D movimiento circular uniforme con rapidez angular constante v = 2k>m. Por lo ActivPhysics 9.1: Position Graphs and tanto, la ecuación (14.5), x = A cos u, describe la coordenada x para ambas situa- Equations ActivPhysics 9.2: Describing Vibrational ciones. Si en t = 0, el fasor OQ forma un ángulo f (letra griega phi) con el eje +x, Motion entonces en cualquier instante posterior t, este ángulo será u = vt + f. Sustituimos ActivPhysics 9.5: Age Drops Tarzan esto en la ecuación (14.5) para obtener x = A cos 1vt + f2 (desplazamiento del MAS) (14.13) donde v = 2k>m. La ﬁgura 14.9 muestra una gráﬁca de la ecuación (14.13) para el 14.9 Gráﬁca de x contra t [véase la ecua- caso especíﬁco en que f = 0. El desplazamiento x es una función periódica del tiempo, ción (14.13)] para el movimiento armónico como se espera en el MAS. También podríamos haber escrito la ecuación (14.13) en simple. El caso mostrado tiene f = 0. términos de la función seno en vez de coseno, usando la identidad cos a = sen(a + x 1 T 1 T 2 2 p兾2). En el movimiento armónico simple, la posición es una función periódica sinu- xmáx 5 A soidal del tiempo. Hay muchas otras funciones periódicas, pero ninguna tan sencilla O t como una función seno o coseno. T 2T El valor del coseno siempre está entre -1 y 1, por lo que en la ecuación (14.13) x 2xmáx 5 2A siempre está entre -A y A. Esto conﬁrma que A es la amplitud del movimiento. El periodo T es lo que tarda un ciclo de oscilación, como se muestra en la ﬁgura 14.9. La función coseno se repite cada vez que la cantidad entre paréntesis de la ecuación (14.13) aumenta en 2p radianes. Si comenzamos en t = 0, el tiempo T para completar un ciclo está dado por k m vT = T = 2p o T = 2p Am Ak que es exactamente la ecuación (14.12). Un cambio de m o de k modiﬁca el periodo de oscilación, como se muestra en las ﬁguras 14.10a y 14.10b. El periodo no depende de la amplitud A (ﬁgura 14.10c). 14.10 Variaciones del movimiento armónico simple. En todos los casos, f = 0 [véase la ecuación (14.13)]. a) m aumenta; A y k son iguales b) k aumenta; A y m son iguales c) A aumenta; k y m son iguales La masa m aumenta de la curva La constante de fuerza k aumenta de la La amplitud A aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3; incrementar curva 1 a la 2 a la 3; incrementar 1 a la 2 a la 3. El cambio de A no x solamente m aumenta el periodo. x solamente k reduce el periodo. x afecta el periodo. 1 2 3 3 2 1 O t O t O t 1 2 3 444 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.11 Variaciones del MAS: La constante f de la ecuación (14.13) es el ángulo de fase, que nos indica en qué desplazamiento contra tiempo para el punto del ciclo se encontraba el movimiento cuando t = 0 (o en qué parte del círculo mismo oscilador armónico, pero ángulos de fase f distintos. estaba el punto Q en t = 0). Denotamos la posición en t = 0 con x0. Sustituyendo t = 0 y x = x0 en la ecuación (14.13) obtenemos Estas tres curvas muestran el MAS con periodo T y amplitud A iguales, pero ángulos de fase f distintos. x 0 = A cos f (14.14) x f50 f5 p 4 Si f = 0, entonces x0 = A cos 0 = A; por lo tanto, el cuerpo parte del desplazamiento p A f5 positivo máximo. Si f = p, entonces x0 = A cos p = -A; por lo tanto, la partícula par- 2 O t te del desplazamiento negativo máximo. Si f = p兾2, entonces x0 = A cos(p兾2) = 0; 2A por lo tanto, la partícula parte del origen. La ﬁgura 14.11 muestra el desplazamiento x T contra el tiempo para tres diferentes ángulos de fase. T T 3T 4 2 4 Encontramos la velocidad vx y la aceleración ax en función del tiempo para un oscilador armónico derivando la ecuación (14.13) con respecto al tiempo: dx vx = = - vA sen1vt + f2 (velocidad en el MAS) (14.15) dt dvx d2x ax = = 2 = - v2A cos1vt + f2 (aceleración en el MAS) (14.16) dt dt 14.12 Gráﬁcas de: a) x contra t, La velocidad vx oscila entre vmáx = +vA y -vmáx = -vA, y la aceleración ax oscila b) vx contra t y c) ax contra t para un entre amáx = +v2A y -amáx = -v2A (ﬁgura 14.12). Si comparamos la ecuación (14.16) cuerpo en MAS. Para el movimiento con la (14.13) y recordamos que v2 = k兾m [ecuación (14.9)], vemos que representado en estas gráﬁcas, f = p兾3. a) Desplazamiento x en función del tiempo t k ax = - v2x = - x x x 5 A cos (vt 1 f) m xmáx 5 A O t que es justamente la ecuación (14.4) para el movimiento armónico simple. Esto con- xmáx 5 2A T 2T ﬁrma que es correcta la ecuación (14.13) para x en función del tiempo. T Ya antes dedujimos geométricamente la ecuación (14.16), tomando la componente x del vector aceleración del punto de referencia Q. Esto se hizo en la ﬁgura 14.6b y la b) Velocidad vx en función del tiempo t ecuación (14.7) (recuerde que u = vt + f). Del mismo modo, podríamos haber deri- vado la ecuación (14.15) tomando la componente x del vector velocidad de Q (ﬁgura vx vx 5 2vA sen (vt 1 f) 14.6b). Dejamos los detalles al lector. vmáx 5 vA Observe que la gráﬁca sinusoidal de desplazamiento contra tiempo (ﬁgura 14.12a) O t está desplazada un cuarto de periodo con respecto a la de velocidad contra tiempo 2vmáx 5 2vA T 2T (ﬁgura 14.12b), y medio periodo con respecto a la de aceleración contra tiempo (ﬁ- La gráfica vx2t se desplaza por gura 14.12c). La ﬁgura 14.13 muestra por qué ocurre así. Cuando el cuerpo pasa por 1 4 de ciclo con respecto a la la posición de equilibrio y el desplazamiento es cero, la velocidad es vmáx, o bien, gráfica x2t. -vmáx (dependiendo de la dirección de movimiento) y la aceleración es cero. Cuando c) Aceleración a x en función del tiempo t el cuerpo está en su desplazamiento máximo positivo (x = +A) o negativo (x = -A), la velocidad es cero y el cuerpo se encuentra momentáneamente en reposo. En estos ax a 5 2v2A cos (vt 1 f) x puntos, la fuerza de restitución Fx = -kx y la aceleración del cuerpo tienen su magni- amáx 5 v2A tud máxima. En x = +A la aceleración es negativa e igual a -amáx. En x = -A, la ace- O t leración es positiva: ax = +amáx. 2amáx 5 2v2A Si conocemos la posición y la velocidad iniciales x0 y v0x del cuerpo oscilante, po- T 2T demos determinar la amplitud A y el ángulo de fase f como sigue. v0x es la velocidad 1 La gráfica ax-t se desplaza de ciclo 4 inicial en t = 0; si sustituimos vx = v0x y t = 0 en la ecuación (14.15), vemos que con respecto a la gráfica vx-t y 12 ciclo con respecto a la gráfica x-t. v0x = - vA sen f (14.17) 14.2 Movimiento armónico simple 445 Para calcular f, divida la ecuación (14.17) entre la (14.14). Esto elimina A y produce 14.13 Cómo varían la velocidad vx y la una ecuación de la que podemos despejar f: aceleración ax durante un ciclo en un MAS. x v0x -vA sen f = = - v tan f x0 A cos f x 5 2A x 5 0 x 5A v0x f = arctan a - b (ángulo de fase en el MAS) (14.18) vx0 2A 2A/2 0 A/2 A ax ⫽ 2amáx x También es fácil calcular la amplitud A si conocemos x0 y v0x. Bosquejaremos la vx 5 0 ax deducción y dejaremos los detalles al lector. Eleve al cuadrado la ecuación (14.14); x vx luego divida la ecuación (14.17) entre v, elévela al cuadrado y súmela al cuadrado de ax 5 0 la ecuación (14.14). El miembro derecho será A2(sen2 f + cos2 f), que es igual a A2. vx 5 2vmáx x El resultado ﬁnal es ax vx x ax 5 amáx v0x2 vx 5 0 x A = x02 + (amplitud en el MAS) (14.19) B v 2 ax x vx Observe que si el cuerpo tiene tanto un desplazamiento inicial x0 como una velocidad ax 5 0 vx 5 vmáx x inicial v0x distinta de cero, la amplitud A no es igual al desplazamiento inicial. Eso ax es lógico; si el cuerpo parte de un x0 positivo y se le imparte una velocidad positiva v0x, vx x llegará más lejos que x0 antes de regresar. ax 5 2amáx x vx 5 0 Estrategia para resolver problemas 14.1 Movimiento armónico simple I: descripción del movimiento IDENTIFICAR los conceptos importantes: Un sistema oscilante tiene EJECUTAR la solución como sigue: movimiento armónico simple (MAS) únicamente si la fuerza de restitu- 1. Use las ecuaciones dadas en las secciones 14.1 y 14.2 para obtener ción es directamente proporcional al desplazamiento. las incógnitas. 2. Para encontrar los valores de x, vx y ax en diversos instantes, use las PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos: ecuaciones (14.13), (14.15) y (14.16), respectivamente. Si se dan 1. Identiﬁque las cantidades conocidas y desconocidas, y determine la posición x0 y la velocidad inicial v0x, se puede determinar el án- cuáles son las incógnitas. gulo de fase f y la amplitud A a partir de las ecuaciones (14.18) y 2. Distinga entre dos clases de cantidades. Las propiedades básicas (14.19). Si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial positivo x0 del sistema incluyen la masa m, la constante de fuerza k y las can- pero velocidad inicial cero (v0x = 0), la amplitud es A = x0 y el tidades derivadas de m y k, como el periodo T, la frecuencia f y la ángulo de fase es f = 0. Si el cuerpo tiene velocidad inicial posi- frecuencia angular v. Estas son independientes de las propiedades tiva v0x pero ningún desplazamiento inicial (x0 = 0), la amplitud del movimiento, que describen cómo se comporta el sistema cuando es A = v0x兾v y el ángulo de fase es f = -p兾2. Exprese todos los se pone en movimiento de una forma especíﬁca, e incluyen la am- ángulos de fase en radianes. plitud A, la velocidad máxima vmáx, el ángulo de fase f y los va- lores de x, vx y ax en un instante dado. EVALUAR la respuesta: Compruebe sus resultados para asegurarse de 3. Si es necesario, deﬁna un eje x como en la ﬁgura 14.13, con la po- que sean congruentes. Por ejemplo, suponga que usó x0 y v0x con la sición de equilibrio en x = 0. ﬁnalidad de obtener expresiones generales para x y vx en el instante t. Si sustituye t = 0 en estas expresiones, deberá obtener los valores co- rrectos de x0 y v0x. Ejemplo 14.3 Descripción del MAS Al deslizador del ejemplo 14.2 le impartiremos un desplazamiento ini- SOLUCIÓN cial x0 = +0.015 m y una velocidad inicial v0x = +0.40 m兾s. a) Deter- mine el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. IDENTIFICAR y PLANTEAR: Como en el ejemplo 14.2, las oscilaciones b) Escriba ecuaciones para desplazamiento, velocidad y aceleración en son de un MAS. Usamos las ecuaciones desarrolladas en esta sección y función del tiempo. los valores dados k = 200 N兾m, m = 0.50 kg, x0 y v0x para calcular las incógnitas A y f y las expresiones para x, vx y ax. Continúa 446 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico EJECUTAR: a) En el MAS el periodo y la frecuencia angular son pro- b) El desplazamiento, la velocidad y la aceleración en cualquier ins- piedades del sistema que dependen solo de k y m, no de la amplitud, tante están dados por las ecuaciones (14.13), (14.15) y (14.16), respecti- y por lo tanto son iguales que en el ejemplo 14.2 (T = 0.31 s y v = vamente. Sustituyendo los valores, obtenemos 20 rad兾s). De acuerdo con la ecuación (14.19), la amplitud es x = 10.025 m2 cos 3120 rad>s2t - 0.93 rad4 v0x2 10.40 m>s22 vx = - 10.50 m>s2 sen 3120 rad>s2t - 0.93 rad4 A = x02 + = 10.015 m22 + = 0.025 m B v2 B 120 rad>s22 ax = - 110 m>s22 cos 3120 rad>s2t - 0.93 rad4 Para obtener el ángulo de fase, usamos la ecuación (14.18): EVALUAR: Podrá comprobar los resultados para x y vx sustituyendo v0x t = 0 y evaluando el resultado. Deberá obtener x = x0 = 0.015 m y f = arctan a - b vx 0 vx = v0x = 0.40 m兾s. 0.40 m>s = arctan a - b = - 53° = - 0.93 rad 120 rad>s210.015 m2 Evalúe su comprensión de la sección 14.2 Se une un deslizador a un resorte, como se indica en la ﬁgura 14.13. Si el deslizador se mueve a x = 0.10 m y se suelta del reposo en el tiempo t = 0, oscilará con amplitud A = 0.10 m y ángulo de fase f = 0. a) Suponga ahora que en t = 0 el deslizador está en x = 0.10 m y se mueve a la derecha como se indica en la ﬁgura 14.13. En tal situación, ¿la amplitud es mayor, menor o igual que 0.10 m? ¿El ángulo de fase es mayor, menor o igual que cero? b) Suponga ahora que en t = 0 el deslizador está en x = 0.10 m y se mueve a la izquierda como se muestra en la ﬁgura 14.13. En tal situación, ¿la amplitud es mayor, menor o igual que 0.10 m? ¿El ángulo de fase es mayor, menor o igual que cero? 14.3 Energía en el movimiento armónico simple PhET: Masses & Springs Podemos aprender aún más acerca del movimiento armónico simple usando consi- ActivPhysics 9.3: Vibrational Energy deraciones de energía. Examinemos otra vez el cuerpo que oscila en el extremo de un ActivPhysics 9.4: Two Ways to Weigh Young resorte en las ﬁguras 14.2 y 14.13. Ya señalamos que la fuerza del resorte es la única Tarzan fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo. La fuerza ejercida por un resorte ideal es ActivPhysics 9.6: Releasing a Vibrating Skier I conservativa y las fuerzas verticales no efectúan trabajo, así que se conserva la ActivPhysics 9.7: Releasing a Vibrating energía mecánica total del sistema. También supondremos que la masa del resorte es Skier II despreciable. 1 ActivPhysics 9.8: One- and Two-Spring La energía cinética del cuerpo es K = 2 mv2 y la energía potencial del resorte es 1 Vibrating Systems U = 2 kx , igual que en la sección 7.2. (Sería útil repasar dicha sección). No hay fuer- 2 ActivPhysics 9.9: Vibro-Ride zas no conservativas que efectúen trabajo, así que se conserva la energía mecánica total E = K + U: E = 12 mvx2 + 12 kx2 = constante (14.20) (Puesto que el movimiento es unidimensional, v2 = vx2). La energía mecánica total E también está relacionada directamente con la amplitud A del movimiento. Cuando el cuerpo llega al punto x = A, su desplazamiento máximo con respecto al equilibrio, se detiene momentáneamente antes de volver hacia la posi- ción de equilibrio. Es decir, cuando x = A (o bien, -A), vx = 0. Aquí, la energía es solo 1 1 potencial, y E = 2 kA2. Puesto que E es constante, esta cantidad es igual a 2 kA2 en cualquier otro punto. Combinando esta expresión con la ecuación (14.20), obtenemos (energía mecánica E = 12 mvx 2 + 12 kx2 = 12 kA2 = constante (14.21) total en un MAS) Podemos veriﬁcar esta ecuación sustituyendo x y vx de las ecuaciones (14.13) y (14.15), y usando v2 = k兾m de la ecuación (14.9): E = 12 mvx 2 + 12 kx2 = 12 m3-vA sen1vt + f242 + 12 k3A cos1vt + f242 = 12 kA2 sen21vt + f2 + 12 kA2 cos21vt + f2 = 12 kA2 14.3 Energía en el movimiento armónico simple 447 14.14 Gráﬁcas de E, K y U contra desplazamiento en un MAS. La velocidad del cuerpo no es constante, de manera que las imágenes del cuerpo en posiciones equidistantes no están igualmente espaciadas en el tiempo. ax 5 amáx ax 5 21 amáx ax 5 0 ax 5 2 12 amáx ax 5 2amáx vx 5 0 v x 5 6 Å 43 vmáx vx 5 6vmáx vx 5 6 Å 43 vmáx vx 5 0 x 1 1 2A cero 22A O 2 A A cero cero E 5 K1 U E 5 K1 U E 5 K1 U E 5 K1 U E 5 K1 U E es solo E es parcialmente E es solo E es parcialmente E es solo energía potencial. tanto energía potencial energía cinética. tanto energía potencial energía potencial. como cinética. como cinética. (Recuerde que sen2a + cos2a = 1). Por lo tanto, nuestras expresiones para el despla- zamiento y la velocidad en un MAS son congruentes con la conservación de la ener- gía, como debe ser. Podemos usar la ecuación (14.21) para calcular la velocidad vx del cuerpo en cierto desplazamiento x: k vx = ⫾ 2A2 - x2 (14.22) Am El signo ; implica que, para un valor de x dado, el cuerpo se puede estar moviendo en cualquiera de las dos direcciones. Por ejemplo, cuando x = ;A兾2, k A 2 3 k vx = ⫾ A2 - a⫾ b = ⫾ A Am B 2 A4 Am La ecuación (14.22) también indica que la rapidez máxima vmáx se da en x = 0. Utili- zando la ecuación (14.10), v = 2k>m , encontramos que k vmáx = A = vA (14.23) A m Esto concuerda con la ecuación (14.15), la cual reveló que vx oscila entre -vA y +vA. Interpretación de E, K y U en el MAS La ﬁgura 14.14 muestra las energías E, K y U en x = 0, x = ;A兾2 y x = ;A. La ﬁgura 14.15 es una representación gráﬁca de la ecuación (14.21); la energía (cinética, poten- cial y total) se graﬁca verticalmente, y la coordenada x, horizontalmente. La curva a) La energía potencial U y la energía mecánica b) La misma gráfica que en a), ahora también 14.15 Energía cinética K, energía total E para un cuerpo en un MAS en función muestra K, la energía cinética potencial U y energía mecánica total E en del desplazamiento x En x 5 6A toda la energía es potencial; función de la posición en un MAS. Para cada la energía cinética es cero. valor de x, la suma de K y U es igual al valor La energía mecánica total E es constante. constante de E. ¿Puede usted demostrar que Energía E En x 5 0 toda la energía es cinética; en x = ⫾ 212 A, la energía es mitad cinética la energía potencial es cero. y mitad potencial? 1 2 U5 2 kx K Energía E5K1U U U K x 2A O x A x 2A O A En estos puntos la energía es mitad cinética y mitad potencial. 448 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 1 parabólica de la ﬁgura 14.15a representa la energía potencial U = 2 kx 2. La línea horizontal representa la energía mecánica total E, que es constante y no varía con x. En cualquier valor de x entre -A y A, la distancia vertical entre el eje x y la parábola es U; como E = K + U, la distancia vertical restante hasta la línea horizontal es K. La ﬁgura 14.15b muestra tanto K como U en función de x. La línea horizontal para E interseca la curva de energía potencial en x = -A y x = A, donde la energía es solo potencial, la energía cinética es cero y el cuerpo está momentáneamente en reposo antes de invertir su dirección. Cuando el cuerpo oscila entre -A y A, la energía se transforma continuamente de potencial a cinética, y viceversa. La ﬁgura 14.15a muestra la relación entre la amplitud A y la energía mecánica 1 total correspondiente, E = 2 kA2. Si tratáramos de hacer que x fuera mayor que A (o menor que -A), U sería mayor que E, y K tendría que ser negativa. Esto es impo- sible, así que x no puede ser mayor que A ni menor que -A. Estrategia para resolver problemas 14.2 Movimiento armónico simple II: energía La ecuación de energía del MAS (ecuación 14.21) es una relación útil esta última intervienen x2 y vx2, debemos inferir los signos de x y de vx entre velocidad, posición y energía mecánica total. Si el problema de la situación. Por ejemplo, si el cuerpo se mueve de la posición de implica una relación entre posición, velocidad y aceleración sin refe- equilibrio hacia al punto de desplazamiento positivo máximo, x y vx rencia al tiempo, considere usar la ecuación (14.4) (de la segunda ley de serán valores positivos. Newton) o la (14.21) (de la conservación de la energía); puesto que en Ejemplo 14.4 Velocidad, aceleración y energía en el MAS a) Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el deslizador b) De acuerdo con la ecuación (14.4), ax = -(k兾m)x. La acelera- del ejemplo 14.2. b) Calcule las aceleraciones máxima y mínima. c) De- ción máxima del deslizador (más positiva) ocurre en el valor más ne- termine la velocidad vx y la aceleración ax cuando el deslizador se ha gativo de x, esto es, x = -A: movido a la mitad del camino desde su posición inicial a la posición k 200 N>m de equilibrio x = 0. d) Determine las energías total, potencial y cinética amáx = - 1- A2 = - 1- 0.020 m2 = 8.0 m>s 2 en esta posición. m 0.50 kg La aceleración mínima (más negativa) es amín = -8.0 m兾s2 y ocurre en SOLUCIÓN x = +A = +0.020 m. c) El punto a la mitad del camino de x = x0 = A a x = 0 es x = A兾2 = IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema se reﬁere a propiedades del 0.010 m. Según la ecuación (14.22), en este punto movimiento en diversas posiciones, no en instantes especíﬁcos. Esto nos sugiere que podemos usar las relaciones de energía que dedujimos 200 N>m en esta sección. La ﬁgura 14.13 muestra que elegimos el eje x. El des- vx = - 210.020 m22 - 10.010 m22 = - 0.35 m>s plazamiento máximo con respecto al equilibrio es A = 0.020 m. Usare- B 0.50 kg mos las ecuaciones (14.22) y (14.4) con la ﬁnalidad de obtener vx y ax Elegimos la raíz cuadrada negativa porque el deslizador se mueve de para una x dada. Entonces usaremos la ecuación (14.21) para x y vx x = A hacia x = 0. A partir de la ecuación (14.4), dadas para obtener las energías total, potencial y cinética E, U y K. 200 N>m EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (14.22), la velocidad vx para ax = - 10.010 m2 = - 4.0 m>s2 cualquier desplazamiento x es 0.50 kg k En la ﬁgura 14.14, se muestran las condiciones en x = 0, ;A兾2 y ;A. vx = ⫾ 2A2 - x2 Am d) Las energías son La rapidez máxima del deslizador ocurre cuando el cuerpo pasa por E = 12 kA2 = 12 1200 N>m210.020 m22 = 0.040 J x = 0: U = 12 kx 2 = 12 1200 N>m210.010 m22 = 0.010 J k 200 N>m vmáx = A = 10.020 m2 = 0.40 m>s K = 12 mvx2 = 12 10.50 kg21 - 0.35 m>s22 = 0.030 J Am B 0.50 kg Sus velocidades máxima y mínima (más negativa) son +0.40 m兾s y EVALUAR: En x = A兾2, la energía es una cuarta parte energía potencial -0.40 m兾s, que ocurren cuando el cuerpo pasa por x = 0 hacia la de- y tres cuartas partes energía cinética. Podrá comprobar este resultado recha y hacia la izquierda, respectivamente. examinando la ﬁgura 14.15b. 14.3 Energía en el movimiento armónico simple 449 Ejemplo 14.5 Energía y momento lineal en el MAS Un bloque con masa M, unido a un resorte horizontal con constante de 14.16 Nuestros diagramas para este problema. fuerza k, se desplaza en movimiento armónico simple con amplitud A1. a) En el instante en que el bloque pasa por su posición de equilibrio, un trozo de masilla con masa m se deja caer verticalmente sobre el bloque Masilla desde una altura moderada y se adhiere a él. a) Calcule la amplitud y el periodo ahora. b) Repita el inciso a) suponiendo que la masilla se deja caer sobre el bloque en un extremo de su trayectoria. SOLUCIÓN Posición de equilibrio IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema implica el movimiento en una posición dada, no un instante dado, así que usaremos métodos de b) energía para resolverlo. La ﬁgura 14.16 muestra nuestros bosquejos. Antes de que la masilla caiga, la energía mecánica del sistema consti- tuido por el bloque y el resorte es constante. En el inciso a) la colisión entre la masilla y el bloque es un choque totalmente inelástico: se con- serva la componente horizontal del momento lineal, pero disminuye la energía cinética, y aumenta la cantidad de masa que está oscilando. Después del choque, la energía mecánica se mantiene constante con un valor diferente. En el inciso b) también aumenta la masa que oscila, Posición de equilibrio pero el bloque no se está moviendo cuando se agrega la masilla; no hay efectivamente una colisión, y no hay pérdida de energía mecánica. Calculamos la amplitud A2 después del choque considerando la ener- 1 gía ﬁnal del sistema usando la ecuación (14.21) y la conservación del Puesto que E 2 ⫽ 2 kA22, donde A2 es la amplitud después del choque, momento lineal. El periodo T2 después del choque es una propiedad tenemos del sistema, por lo que es igual en los incisos a) y b); lo encontramos mediante la ecuación (14.12). 1 M 2 kA2 2 = a b 1 kA 2 M + m 2 1 EJECUTAR: a) Antes del choque, la energía mecánica total del bloque 1 y el resorte es E 1 = 2 kA12. El bloque está en x = 0, por lo que U = 0 y M A2 = A1 la energía es puramente cinética (ﬁgura 14.16a). Si v1 es la rapidez del AM + m 1 1 bloque en este punto, entonces E 1 = 2 kA12 = 2 Mv12 y Usando la ecuación (14.12), el periodo de oscilación después del k choque es v1 = A AM 1 M + m Durante el choque, se conserva la componente x del momento lineal T2 = 2p A k del sistema conformado por el bloque y la masilla. (¿Por qué?). Justo antes del choque, esta componente es la suma de Mv1 (para el bloque) y b) Al caer la masilla sobre el bloque, este se encuentra momen- cero (para la masilla). Justo después del choque, el bloque y la masilla táneamente en reposo (ﬁgura 14.16b); la componente x del momento li- se mueven juntos con rapidez v2, y su componente x del momento lineal neal es cero tanto antes como después del choque. El bloque y la masilla combinada es (M + m)v2. Por la conservación del momento lineal, tienen energía cinética cero justo antes del choque, y también inmedia- tamente después. Toda la energía es energía potencial almacenada en M Mv1 + 0 = 1M + m2v2 así v2 = v el resorte, por lo que la adición de la masa no afecta la energía mecá- M + m 1 1 nica. Es decir, E 2 = E 1 = 2 kA12, y la amplitud después del choque es Suponemos que el choque no dura mucho, así que poco después, el blo- la misma: A2 = A1. El periodo es de nuevo T2 = 2p 21M + m2>k. que y la masilla aún están en la posición de equilibrio. La energía sigue siendo exclusivamente cinética, pero menor que antes del choque: EVALUAR: La energía se pierde en el inciso a) porque la masilla se 2 desliza contra el bloque en movimiento durante el choque, y la energía M se disipa por fricción cinética. No se pierde energía en el inciso b), ya E 2 = 12 1M + m2v22 = 1 v2 2 M + m 1 que no hay deslizamiento durante la colisión. M M = A 1 Mv12 B = a bE M + m 2 M + m 1 Evalúe su comprensión de la sección 14.3 a) Para duplicar la energía total de un sistema masa-resorte oscilando con MAS, ¿en qué factor se debe aumentar la amplitud? i. 4; ii. 2; iii. 12 = 1.414; iv. 24 2 = 1.189. b) ¿En qué factor cambiará la frecuencia como resultado de tal incremento de amplitud? i. 4; ii. 2; iii. 12 = 1.414; iv. 2 4 2 = 1.189; v. no cambia. 450 CAPÍTULO 14 Movimiento periódico 14.4 Aplicaciones del movimiento armónico simple Hasta ahora, hemos examinado globalmente una situación donde hay movimiento armó- nico simple (MAS): un cuerpo conectado a un resorte ideal horizontal. No obstante, el MAS se puede presentar en cualquier sistema donde haya una fuerza de restitución que sea directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, de acuerdo con la ecuación (14.3), Fx = -kx. La fuerza de restitución se originará de diferentes maneras y en distintas situaciones, por lo que se debe determinar la constante de fuerza k para cada caso, examinando la fuerza neta que actúa sobre el sistema. Una vez hecho esto, es fácil calcular la frecuencia angular v, la frecuencia f y el periodo T; basta con sustituir el valor de k en las ecuaciones (14.10), (14.11) y (14.12), respectivamente. Utilicemos estas ideas para examinar varios ejemplos de movimiento armónico simple. MAS vertical Suponga que colgamos un resorte con constante de fuerza k (ﬁgura 14.17a) y suspende- mos de este un cuerpo de masa m. Las oscilaciones ahora serán verticales; ¿seguirán deﬁniéndose como MAS? En la ﬁgura 14.17b, el cuerpo cuelga en reposo, en equili- brio. En tal posición, el resorte se estira una distancia ¢l apenas suﬁciente para que la fuerza vertical hacia arriba k ¢l del resorte sobre el cuerpo equilibre su peso mg: k ¢l = mg Sea x = 0 la posición de equilibrio, con la dirección +x hacia arriba. Cuando el cuerpo está una distancia x arriba de su posición de equilibrio (ﬁgura 14.17c), la ex- tensión del resorte es ¢l - x. Entonces, la fuerza hacia arriba que ejerce sobre el cuerpo es k(¢l - x), y la componente x neta de la fuerza sobre el cuerpo es Fneta = k1¢l - x2 + 1-mg2 = - kx esto es, una fuerza neta hacia abajo de magnitud kx. Asimismo, cuando el cuerpo está debajo de la posición de equilibrio, hay una fuerza neta hacia arriba de magnitud kx. En ambos casos, hay una fuerza de restitución de magnitud kx. Si el cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilará en MAS con la misma frecuencia angular que si fuera horizontal, v = 2k>m. Por lo tanto, el MAS vertical no diﬁere en esencia del horizontal. El único cambio real es que la posición de equilibrio x = 0 ya no corres- ponde al punto donde el resorte no está estirado. Las mismas ideas son válidas cuan- do un cuerpo con peso mg se coloca sobre un resorte compresible (ﬁgura 14.18) y este se comprime una distancia ¢l. 14.17 Un cuerpo se adhiere a un resorte a) b) Cuerpo suspendido del resorte. Se c) Si el cuerpo se mueve con respecto colgante. encuentra en equilibrio cuando el resorte al equilibrio, la fuerza neta sobre él está estirado lo suficiente como para que será proporcional a su desplazamiento. la fuerza hacia arriba del resorte tenga la Las oscilaciones son propias de misma magnitud que el peso del objeto. un MAS. l l l Un resorte colgante Dl 2 x F 5 k (Dl 2 x) que obedece la Dl F 5 k Dl x ley de Hooke x50 mg mg 14.4 Aplicaciones del movimiento armónico simple 451 Ejemplo 14.6 MAS vertical en un automóvil viejo Los amortiguadores de un automóvil viejo con masa de 1000 kg están Por lo tanto, la constante de fuerza efectiva (incluido el efecto de toda gastados. Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto en su la suspensión) es centro de gravedad, el auto baja 2.8 cm. Cuando el auto (con la persona Fx 980 N a bordo) cae en un bache, comienza a oscilar verticalmente en MAS. k = - = - = 3.5 * 10 4 kg>s2 Modele el auto y a la persona como un solo cuerpo unido únicamente x -0.028 m a un resorte, y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilación. La masa de la persona es w兾g = (980 N)兾(9.8 m兾s2) = 100 kg. La masa oscilante total es m = 1000 kg + 100 kg = 1100 kg. El periodo T es SOLUCIÓN m 1100 kg T = 2p = 2p = 1.11 s IDENTIFICAR y PLANTEAR: La situación es similar a la de la ﬁgura Ak B 3.5 * 10 4 kg>s 2 14.18. La compresión del resorte cuando se agrega el peso del indi- viduo nos da la constante de fuerza, que podemos usar para obtener el y la frecuencia es f = 1兾T = 1兾(1.11 s) = 0.90 Hz. periodo y la frecuencia (las incógnitas). EVALUAR: Una oscilación persistente con un periodo aproximado de EJECUTAR: Cuando la fuerza aumenta en 980 N, el resorte se com- 1 segundo es muy molesta. El propósito de los amortiguadores es eli- prime otros 0.028 m, y la coordenada x del auto cambia en -0.028 m. minar estas oscilaciones (véase la sección 14.7). MAS angular La ﬁgura 14.19 ilustra la rueda de balance de un reloj mecánico. La rueda tiene un 14.18 Si el peso mg comprime el resorte momento de inercia I alrededor de su eje. Un resorte en espiral ejerce una torca de una distancia ¢l, la constante de fuerza es restitución tz que es proporcional al desplazamiento angular u con respecto a la posi- k = mg兾¢l y la frecuencia angular para ción de equilibrio. Escribimos tz = -ku, donde k (la letra griega kappa) es una cons- un MAS vertical es v = 2k>m; igual que si el cuerpo estuviera suspendido del resorte tante llamada constante de torsión. Empleando la analogía rotacional de la segunda (véase la ﬁgura 14.17). ley de Newton para un cuerpo rígido, ©tz = Iaz = I d2u>dt2, podemos encontrar la ecuación del movimiento: Se coloca un cuerpo en la parte superior del resorte; el equilibrio se presenta cuando la fuerza hacia arriba ejercida por el resorte comprimido d2u k -ku = Ia o 2 = - u es igual al peso del cuerpo. dt I F 5 kDl Un resorte que Dl La forma de esta ecuación es idéntica a la de la ecuación (14.4) para la aceleración en obedece movimiento armónico simple, sustituyendo x por u y k兾m por k兾I. Así, estamos tra- la ley de mg tando con una forma de movimiento armónico simple angular. La frecuencia angular Hooke v y la frecuencia f están dadas por las ecuaciones (14.10) y (14.11), respectivamente, con la misma sustitución: k 1 k v = y ƒ = (MAS angular) (14.24) 14.19 Rueda de balance de un reloj AI 2p A I mecánico. El resorte ejerce una torca de restitución que es proporcional al desplaza- El movimiento está descrito por la función miento angular u; por lo tanto, el movimiento es MAS angular. u = ™ cos1vt + f2 Rueda de balance Resorte donde ™ (la letra griega theta mayúscula) desempeña el papel de una amplitud angular. Es bueno que el movimiento de una rueda de balance sea armónico simple.

Movimiento Periódico - Física Universitaria Sears-Zemansky, 13a Edición, Volumen 1 PDF

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