رياضي و آمار (3) - كتاب درسی پایه دوازدهم - PDF

‫ریاضی و آمار(‪)3‬‬ ‫رشته های ادبیات و علوم انسانی ـ علوم و معارف اسالمی‬ ‫پایۀ دوازدهم‬ ‫دورۀ دوم متوسطه‬  ‫وزارت آموزش و پرورش‬ ‫سازمان پژوهش و برنامه‌ريزي آموزشي‬ ‫ریاضی و آمار(‪ )3‬ـ پایۀ دو...

‫ریاضی و آمار(‪)3‬‬ ‫رشته های ادبیات و علوم انسانی ـ علوم و معارف اسالمی‬ ‫پایۀ دوازدهم‬ ‫دورۀ دوم متوسطه‬  ‫وزارت آموزش و پرورش‬ ‫سازمان پژوهش و برنامه‌ريزي آموزشي‬ ‫ریاضی و آمار(‪ )3‬ـ پایۀ دوازدهم دورۀ دوم متوسطه ـ ‪112212‬‬ ‫نام کتاب‪:‬‬ ‫سازمان پژوهش و برنامهریزی آموزشی‬ ‫پدیدآورنده‪:‬‬ ‫دفتر تألیف کتابهای درسی عمومی و متوسطه نظری‬ ‫مدیریت برنامهریزی درسی و تألیف‪:‬‬ ‫سیدمحمدرضا احمدی‪ ،‬حمیدرضا امیری‪ ،‬علی ایرانمنش‪ ،‬مهدی ایزدی‪ ،‬محمدحسن بیژنزاده‪ ،‬خسرو داودی‪،‬‬ ‫شناسه افزوده برنامهریزی و تألیف‪:‬‬ ‫زهرا رحیمی‪ ،‬محمدهاشم رستمی‪ ،‬ابراهیم ریحانی‪ ،‬محمدرضا سیدصالحی‪ ،‬میر شهرام صدر‪ ،‬اکرم قابل رحمت‪،‬‬ ‫طاهر قاسمیهنری و عادل محمدپور (اعضای شورای برنامه ریزی)‬ ‫حمیدرضا امیری‪ ،‬علی ایرانمنش‪ ،‬مهدی ایزدی‪ ،‬آزادبه     حسین فرزان‪ ،‬میرشهرام صدر‪ ،‬حسین میرزایی و با‬ ‫همکاری آزاده قاهری و عادل محمدپور در بخش آمار(اعضای گروه تألیف)ـ افسانه حجتی طباطبایی (ویراستار)‬ ‫اداره ّ‬ ‫کل نظارت بر نشر و توزیع مواد آموزشی‬ ‫مدیریت آماده‌سازی هنری‪:‬‬ ‫احمدرضا امینی   (مدیر امور فنی و چاپ) ـ جواد صفری (مدیر هنری) ـ سمیه قنبری (صفحهآرا) ـ سیدمهدی‬ ‫شناسه افزوده آمادهسازی‪:‬‬ ‫حسینی (عکاس) ـ الهام محبوب‪ ،‬فاطمه رئیسیانفیروزآباد (رسام) ـ سوروش سعادتمندی‪ ،‬رعنا فرجزادهدروئی‪،‬‬ ‫شاداب ارشادی‪ ،‬سپیده ملکایزدی و راحله زادفتحاله (امور آمادهسازی)‬ ‫تهران‪ :‬خیابان ایرانشهر شمالی ـ ساختمان شمارۀ ‪ ٤‬آموزش و پرورش (شهید موسوی)‬ ‫نشانی سازمان‪:‬‬ ‫تلفن‪٩ :‬ـ‪ ،٨٨٨٣١١٦١‬دورنگار‪ ،٨٨٣٠٩٢٦٦ :‬کد پستی‪١٥٨٤٧٤٧٣٥٩ :‬‬ ‫وبگاه‪ www.chap.sch.ir :‬و ‪www.irtextbook.ir‬‬ ‫شرکت چاپ ونشر کتاب های درسی ایران تهران‪ :‬کیلومتر ‪ ١٧‬جادۀ مخصوص کرج ـ خیابان ‪( ٦١‬داروپخش)‬ ‫ناشر‪:‬‬ ‫تلفن‪  ٥ :‬ـ ‪ ،٤٤٩٨٥١٦١‬دورنگار‪ ،44985160 :‬صندوق پستی‪١٣٩ :‬ـ  ‪٣٧٥١٥‬‬ ‫شرکت چاپ و نشر کتابهای درسی ایران «سهامی خاص»‬ ‫چاپخانه‪:‬‬ ‫چاپ اول ‪1397‬‬ ‫سال انتشار و نوبت چاپ‪:‬‬ ‫شابك‪9‬ـ‪3097‬ـ‪05‬ـ‪964‬ـ‪978‬‬ ‫‪   9‬ـ ‪  3097‬ـ  ‪ 05‬ـ ‪ 964‬ـ ‪ISBN: 978‬‬ ‫جوان‌ها قدر جوانيشان‬ ‫را بدانند و آن را در علم و‬ ‫تقوا و سازندگي خودشان‬ ‫صرف كنند كه اشخاصي‬ ‫امين و صالح بشوند‪.‬مملكت‬ ‫ما با اشخاص امين مي‌تواند‬ ‫مستقل باشد‪.‬‬ ‫امامخميني‬ ‫قدسس ّره‌الشريف‬ ‫کلیۀ حقوق مادی و معنوی این کتاب متعلق به سازمان پژوهش و برنامه ریزی آموزشی‬ ‫وزارت آموزش و پرورش است‪.‬هرگونه استفاده از کتاب و اجزای آن به صورت چاپی‬ ‫و الکترونیکی و ارائه در پایگاه های مجازی‪ ،‬نمایش‪ ،‬اقتباس‪ ،‬تلخیص‪ ،‬تبدیل‪ ،‬ترجمه‪،‬‬ ‫عکس برداری‪ ،‬نقاشی‪ ،‬تهیۀ فیلم و تکثیر به هر شکل و نوع‪ ،‬بدون کسب مجوز از این‬ ‫سازمان ممنوع است و متخلفان تحت پیگرد قانونی قرار می گیرند‪.‬‬  ‫فهرست‬ ‫فصل ‪ 1‬ــ آمار و احتمال ‪1...............................................................‬‬ ‫درس ‪ :١‬شمارش ‪2............................................................................‬‬ ‫درس ‪ :٢‬احتمال ‪12...........................................................................‬‬ ‫درس ‪ :3‬چرخه آمار در حل مسائل ‪28............................................................‬‬ ‫فصل ‪ ٢‬ــ الگوهای خطی ‪45.............................................................‬‬ ‫درس ‪ :١‬مدل سازی و دنباله ‪46.................................................................‬‬ ‫درس ‪ :٢‬دنباله های حسابی ‪61..................................................................‬‬ ‫فصل ‪ ٣‬ــ الگوهای غیر خطی ‪73.........................................................‬‬ ‫درس ‪ :١‬دنبالۀ هندسی ‪74......................................................................‬‬ ‫درس ‪ :٢‬ریشه ‪ُ n‬ام و توان گویا‪87..............................................................‬‬ ‫درس ‪ :3‬تابع نمایی ‪96........................................................................‬‬ ‫منابع‪106.............................................................................‬‬  ‫مقدمه‬ ‫کتاب حاضر در راستای برنامۀ درسی ملی و در ادامه تغییر کتاب های ریاضی دورۀ دوم متوسطه تألیف شده است‪.‬یکی‬ ‫از تفاوت های مهم این کتاب با کتاب قبلی مربوط به دوره پیش دانشگاهی‪ ،‬کاهش قابل مالحظه محتوا است‪.‬همانند‬ ‫پایه های قبلی‪ ،‬ساختار کتاب براساس سه محور اساسی فعالیت‪ ،‬کار در کالس و تمرین قرار گرفته است‪.‬از این میان‪،‬‬ ‫«فعالیت ها» موقعیت هایی برای یادگیری و ارائه مفاهیم جدید ریاضی فراهم می کنند و این امر مستلزم مشارکت جدی‬ ‫دانش آموزان است‪.‬البته معلم هم در این میان نقشی مهم برای راهنمایی و هدایت کلی فعالیت ها به عهده دارد‪.‬با توجه‬ ‫به اینکه کتاب برای دانش آموزان سطح متوسط طراحی شده است‪ ،‬با درنظر گرفتن شرایط مختلف‪ ،‬امکان غنی سازی‬ ‫فعالیت ها و یا ساده سازی آنها به وسیله معلم وجود دارد‪.‬در هرحال تأکید اساسی مؤلفان‪ ،‬محور قرار دادن کتاب درسی‬ ‫در فرایند آموزش است‪.‬در همین راستا توجه به انجام فعالیت ها در کالس درس و ایجاد فضای بحث و گفت وگو و دادن‬ ‫مجال به دانش آموز برای کشف مفاهیم به طور جدی توصیه می شود‪.‬‬ ‫زمان کالس درس نباید به مباحثی خارج از اهداف کتاب درسی اختصاص یابد‪.‬همچنین نباید آزمون های مختلف خارج‬ ‫از مدرسه مبنای آموزش مفاهیم در کالس درس واقع شوند‪ ،‬بلکه این کتاب درسی است که سطح و سبک آزمون ها را‬ ‫مشخص می کند‪.‬در بسیاری از موارد درباره یک مفهوم‪ ،‬حد و مرزهایی در کتاب رعایت شده است که رعایت این موضوع‬ ‫در ارزشیابی ها و آزمون های رسمی برای همه طراحان الزامی است‪.‬رعایت این محدودیت ها موجب افزایش تناسب بین‬ ‫زمان اختصاص یافته به کتاب و محتوای آن خواهد شد‪.‬شایسته است همکاران ارجمند بر رعایت این موضوع نظارت‬ ‫دقیق داشته باشند‪.‬روند کتاب نشان می دهد که ارزشیابی باید در خدمت آموزش باشد‪.‬در واقع ارزشیابی باید براساس‬ ‫اهداف کتاب باشد و نه موضوعاتی که احیان ًا پیش از این‪ ،‬سال ها به صورت سنتی ارائه شده اند و یا توسط برخی از‬ ‫کتاب های غیراستاندارد توصیه می شوند‪.‬طرح این گونه سؤاالت که اهداف آموزشی کتاب را دنبال نمی کنند در کالس‬ ‫درس و نیز در ارزشیابی ها‪ ،‬به هیچ عنوان توصیه نمی شود‪.‬‬ ‫ارتباط بین ریاضیات مدرسه ای و محیط پیرامون و کاربردهای این دانش در زندگی روزمره‪ ،‬که به وضوح در اسناد‬ ‫باالدستی مورد تأکید قرار گرفته است‪ ،‬به صورت تدریجی خود را در کتاب های درسی نشان می دهد‪.‬تالش برای‬ ‫برقراری این ارتباط در تصاویر کتاب نیز قابل مشاهده است که امید است مورد توجه معلمان و دانش آموزان عزیز قرار‬ ‫گیرد‪.‬‬ ‫اگر مهم ترین هدف آموزش ریاضی را پرورش تفکر ریاضی بدانیم‪ ،‬دیگر استفاده افراطی از فرمول ها‪ ،‬الگوریتم ها‪ ،‬قواعد‬ ‫و دستورها بدون آگاهی از چگونگی و چرایی عملکرد آنها‪ ،‬جایگاهی در آموزش ریاضی مدرسه ای نخواهد داشت‪.‬فرصت‬ ‫حضور دانش آموز در کالس درس را نباید به سادگی از دست داد‪.‬فرایندهایی مانند استدالل‪ ،‬تعمیم‪ ،‬حل مسئله‪ ،‬طرح‬ ‫مسئله و موضوعاتی نظیر مسائل باز پاسخ‪ ،‬بازنمایی های چندگانه و گفتمان ریاضی نقش مهمی در پرورش تفکر ریاضی‬ ‫دانش آموزان دارد‪.‬‬ ‫مؤلفان از کلیه امکانات موجود نظیر سامانه اعتبارسنجی‪ ،‬وبگاه گروه ریاضی دفتر تألیف‪ ،‬پیام نگار (ایمیل)‪ ،‬دعوت از‬ ‫دبیران مجرب برای حضور در جلسات نقد و بررسی کتاب و دیگر رسانه های در دسترس برای دریافت دیدگاه ها‪ ،‬نقدها‬ ‫و نظرات دبیران محترم سراسر کشور بهره گرفته اند‪.‬در راستای مشارکت دبیران محترم ریاضی‪ ،‬پاره ای از تصاویر و‬ ‫عکس های مورد استفاده در کتاب توسط این عزیزان از استان های مختلف کشور به گروه ریاضی ارسال شده است‪ ،‬که‬ ‫الزم است از زحمات آنها تشکر و قدردانی شود‪.‬اعضای تیم تألیف به حضور مشارکت جدی همکاران ارجمند در امر‬ ‫نقد و بررسی کتاب افتخار می کنند‪.‬امید که همچنان شاهد این تعامل و ارتباط مؤثر باشیم‪.‬گروه تألیف آمادگی دریافت‬ ‫نظرات و دیدگاه های تمامی همکاران و اساتید را از طریق پیام نگار‪ 1‬و وبگاه واحد تحقیق‪ ،‬توسعه و آموزش ریاضی‪ 2‬دارد‬ ‫به عالوه بسیاری از مطالب مربوط به پشتیبانی کتاب از طریق وبگاه واحد ریاضی قابل دریافت است‪.‬‬ ‫مؤلفان‬ ‫‪ mathrde @ gmail. com‬ـ ‪1‬‬ ‫‪ http. // math- dept. talif.sch.ir‬ـ ‪2‬‬  ‫آمار و احتمال‬ ‫فصل‪1‬ـ‬ ‫شمارش‬ ‫درس‪١‬‬ ‫احتمال‬ ‫درس‪2‬‬ ‫چرخۀ آمار در حل مسائل‬ ‫درس‪3‬‬ ‫مبارکه جن)‬ ‫سوره‬ ‫(آیه ‪/ 28‬‬ ‫حاط بما لَد ِیهم و َاحصی َّ ٍ‬ ‫ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫کل شیء َع َدداً» ٔ‬ ‫ٰ‬ ‫َ‬ ‫«‪...‬و َا َ‬ ‫«‪...‬و او (خداوند) به آنچه نزد آنهاست احاطه دارد و همه چیز را شمارش کرده است»‬ ‫روستای مشکله ـ استان گیالن ( شهرستان املش  )‬ ‫‪1‬‬  ‫درس‪١‬‬ ‫شمارش‬ ‫فعالیت‬ ‫درباره روان شناسی‬ ‫ٔ‬ ‫کتابخانه مدرسه ‪ 30‬کتاب متفاوت‬ ‫ٔ‬ ‫‪.1‬فرض کنید در‬ ‫و ‪ 25‬کتاب متفاوت با موضوع تعلیم و تربیت اسالمی وجود دارد‪.‬اگر‬ ‫دانش آموزی فرصت داشته باشد فقط یک کتاب با موضوع روان شناسی‬ ‫یا تعلیم و تربیت اسالمی مطالعه کند‪ ،‬برای این کار چند انتخاب دارد؟‬ ‫واضح است که او می  تواند یکی از ‪ 30‬کتاب روان شناسی «یا» یکی از ‪ 25‬کتاب تعلیم و تربیت اسالمی را انتخاب و مطالعه کند و‬ ‫در مجموع‪... +... = 55 ،‬راه انتخاب دارد‪.‬‬ ‫‪.2‬خانم فاطمی پرستار بیمارستان حضرت زینب (‪ )‬است‪.‬او می  تواند به صورت «رایگان» (استفاده از سرویس بیمارستان یا‬ ‫پیاده روی) یا با «پرداخت هزینه» (استفاده از تاکسی‪ ،‬اتوبوس یا مترو) به محل کارش برود‪.‬خانم فاطمی برای رسیدن به محل کارش‬ ‫همه حالت های ممکن را که او می  تواند به صورت رایگان «یا» با پرداخت هزینه به محل کارش برود‪ ،‬در یک‬‫چند انتخاب دارد؟ ٔ‬ ‫مجموعه بنویسید‪ ,....,....,....,....,{ :‬پیاده روی}=‪.A‬‬ ‫شما برای حل کردن هر دو قسمت‪ ،‬از قاعده یا اصلی استفاده کردید که به اصل جمع معروف است و به صورت زیر بیان می  شود‪.‬‬ ‫اصل جمع‬ ‫اگر بتوان عملی را به ‪ m‬طریق و عمل دیگری را به ‪ n‬طریق انجام داد‪ ،‬و این دو عمل را نتوان با هم انجام داد‪،‬‬ ‫در این صورت به (‪ )m   + n‬طریق می  توان عمل اول «یا» عمل دوم را انجام داد‪(.‬اصل جمع به بیش از دو عمل‬ ‫نیز قابل تعمیم است‪).‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬شما به چند طریق می  توانید فقط یک خودکار یا یک مداد یا یک روان نویس را از بین چهار خودکار با چهار رنگ مختلف‬ ‫و پنج مداد با رنگ های متفاوت و سه روان نویس با رنگ های متمایز انتخاب کنید؟‬ ‫حل‪ :‬در صورت مسئله از لفظ «یا» استفاده شده و قید شده است که فقط یکی از این اشیا می  تواند انتخاب شود؛ بنابراین‪ ،‬طبق‬ ‫اصل جمع داریم‪:‬‬ ‫‪ = 5+4+3=12‬تعداد انتخاب ها‬ ‫فعالیت‬ ‫فرض کنید دانشجویی می  خواهد از بین دو درس عمومی ارائه شده‪ ،‬یک درس عمومی و از میان سه درس اختصاصی ارائه شده‪،‬‬ ‫یک درس را انتخاب کند‪.‬او به چند طریق می  تواند یک درس عمومی « و» یک درس اختصاصی خود را انتخاب کند؟‬ ‫با کامل کردن نمودار زیر به سؤال باال پاسخ دهید‪:‬‬ ‫‪...........‬‬ ‫عمومی (‪)1‬‬ ‫اختصاصی (‪)2‬‬ ‫‪...........‬‬ ‫‪...........‬‬ ‫عمومی (‪)2‬‬ ‫‪...........‬‬ ‫اختصاصی (‪)3‬‬ ‫انتخاب درس عمومی به دو طریق امکان پذیر است و هر کدام که انتخاب شود برای انتخاب درس اختصاصی‪.....‬راه انتخاب‬ ‫وجود دارد‪.‬پس در کل‪ ،‬این کار به ‪....×....=....‬طریق امکان پذیر است‪.‬‬ ‫اصل ضرب‬ ‫مرحله دوم هر‬ ‫ٔ‬ ‫مرحله اول به ‪ m‬طریق « و» در‬ ‫ٔ‬ ‫مرحله اول و دوم انجام پذیرد‪ ،‬طوری که در‬ ‫ٔ‬ ‫اگر عملی طی دو‬ ‫کدام از این ‪ m‬طریق به ‪ n‬روش انجام پذیر باشند‪ ،‬در کل آن عمل از ‪ m * n‬طریق انجام پذیر است‪(.‬اصل ضرب‬ ‫قابل تعمیم به بیشتر از دو مرحله است‪).‬‬ ‫‪3‬‬ ‫توسعه شرکت‪ 15 ،‬نفر از سهام داران و هیئت امنا را در دو گروه ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫ٔ‬ ‫درباره‬ ‫ٔ‬ ‫مثال‪ :‬مدیرعامل یک شرکت برای تصمیم گیری‬ ‫دسته بندی می  کند‪ 7.‬نفر از آنها در گروه ‪ A‬و ‪ 8‬نفر در گروه ‪ B‬قرار می  گیرند‪.‬اعضای گروه ‪ A‬باید دربارۀ نتایج مساعد احتمالی‬ ‫درباره نتایج نامساعد احتمالی تحقیق کنند‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫اعضای گروه ‪B‬‬ ‫الف) مدیرعامل به چند طریق می  تواند فقط از یکی از این ‪ 15‬نفر مشورت بگیرد؟‬ ‫نتیجه تحقیقاتش را با او در میان بگذارد‪،‬‬ ‫ب) اگر مدیرعامل بخواهد از هر دو گروه مشورت بگیرد به شرط آنکه از هر گروه ‪ 1‬نفر ٔ‬ ‫به چند طریق می  تواند این کار را انجام دهد؟‬ ‫راه حل‪:‬‬ ‫الف) از اصل جمع استفاده می  کنیم؛ زیرا مدیرعامل می  تواند یک نفر از گروه ‪« A‬یا» یک نفر از گروه ‪ B‬را به ‪ 7+8=15‬طریق‬ ‫انتخاب کند‪.‬‬ ‫ب) در این حالت‪ ،‬مدیرعامل می  تواند به ‪ 7‬طریق یک نفر از گروه ‪ A‬را انتخاب کند «و» به ازای هر انتخاب از ‪ ،A‬به ‪ 8‬طریق‬ ‫می  تواند یک نفر از گروه ‪ B‬را انتخاب کند‪.‬بنابراین‪ ،‬طبق اصل ضرب به ‪ 7×8=56‬طریق می  تواند این کار را انجام دهد‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫مطابق شکل روبه رو‪ ،‬میان چهار شهر ‪ C ،B ،A‬و ‪ D‬راه هایی وجود دارد؛ مشخص کنید که به چند طریق می  توان‪:‬‬ ‫الف) از شهر ‪ A‬به شهر ‪ C‬و از طریق شهر ‪ B‬سفر کرد؟ از ‪ A‬به ‪ B‬سه راه وجود دارد‪.‬از هر کدام از این سه راه که به ‪ B‬برسیم‪،‬‬ ‫برای رفتن به ‪ C‬چهار راه موجود است؛ بنابراین‪ ،‬طبق اصل ضرب به ‪....×....=....‬طریق می  توان از ‪ A‬به ‪( C‬از طریق‬ ‫‪ )B‬سفر کرد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ب) از شهر ‪ A‬به شهر ‪ C‬سفر کرد؟‬ ‫برای سفر از ‪ A‬به ‪ C‬می  توان یکی از دو مسیر ‪« A→B   →C‬یا» ‪ A →... →...‬را انتخاب کرد (اصل‪)...‬؛ بنابراین‪:‬‬ ‫تعداد راه های سفر از ‪ A‬به ‪ C‬از طریق شهر ‪ + D‬تعداد راه های سفر از ‪ A‬به ‪ C‬از طریق شهر ‪ = B‬تعداد راه های سفر از ‪ A‬به ‪C‬‬ ‫‪=3*4+3 *...=...‬‬ ‫پ) از شهر ‪ B‬به شهر ‪ D‬سفر کرد؟‬ ‫برای رفتن از شهر ‪ B‬به شهر ‪ D‬می  توان یکی از دو مسیر ‪« B →C →...‬یا» ‪ B   →...→...‬را انتخاب کرد؛ پس داریم‪:‬‬ ‫‪ = 4*...+...*...=17‬تعداد راه های مسافرت از ‪ B‬به ‪D‬‬ ‫‪4‬‬  ‫نماد فاکتوریل‬ ‫همان طور که برای ضرب یک عدد‪ ،‬مانند ‪ ،a‬در خودش از نماد توان استفاده می  کنیم و می  نویسیم ‪ ،a    *  a = a2‬برای ضرب‬ ‫یک عدد طبیعی و بزرگ تر از ‪ 1‬در تمام اعداد طبیعی کوچک تر از خودش از نماد فاکتوریل «!» استفاده می  کنیم‪.‬برای مثال‪،‬‬ ‫!‪ 6*5*4*3*2*1=6‬و ‪.4! = 4 * 3 *2 * 1‬‬ ‫قرارداد‪ :‬برای اعداد صفر و یک‪ ،‬فاکتوریل را به صورت ‪ 0!=1‬و ‪ 1!=1‬تعریف می  کنیم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬حاصل هر یک را به ساده ترین صورت بنویسید‪.‬‬ ‫‪( 4!*2=)4*3*2*1(*2=24*2=48‬الف‬ ‫‪‬‬‫!‪3‬‬ ‫(‪5! 5 × 4 × )3 × 2 × 1‬‬ ‫(ب‬ ‫=‬ ‫‪=5*4=20‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫(‪× 2 × 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪( 10! = 10× 9 × 8 × 7! = 720‬پ‬ ‫!‪7‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫= !‪( 3! × 5! ×0‬ت‬ ‫‪6 × 5! × 1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫!‪7! × 1‬‬ ‫‪7 × 6 × 5! × 1 7‬‬ ‫جایگشت‬ ‫چهار شیء متمایز ‪ c ،b ،a‬و ‪ d‬را در نظر بگیرید‪.‬آرایش یا حالت ‪ ،abcd‬که از کنار هم قرار گرفتن این چهار شیء به دست آمده‪،‬‬ ‫با آرایش ‪ acbd‬متفاوت است و به هر کدام از آنها یک جایگشت ‪ 4‬تایی از این ‪ 4‬شیء گفته می  شود‪.‬در حالت کلّی‪« ،‬هر حالت‬ ‫از کنار هم قرار گرفتن ‪ n‬شیء متمایز را یک جایگشت ‪ n‬تایی از آن ‪ n‬شیء می  نامیم‪».‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪1‬ــ اگر افراد ‪ A ، B‬و ‪ C‬بخواهند در یک همایش سخنرانی کنند‪ ،‬این عمل به چند طریق امکان پذیر است؟‬ ‫‪3‬‬ ‫____________‬ ‫‪2‬‬ ‫________________‬ ‫‪1‬‬ ‫___________‬ ‫‪→ 3*2*1=6‬‬ ‫‪ A‬یا ‪ B‬یا ‪C‬‬ ‫یکی از ‪ 2‬نفر باقی مانده‬ ‫‪ 1‬نفر باقی مانده‬ ‫‪ABC - ACB - BAC - BCA - CAB - CBA‬‬ ‫(اول شخص ‪ ،B‬بعد ‪ C‬و آخر ‪ A‬سخنرانی کرده اند)‬ ‫‪2‬ــ با ارقام ‪ 5 ،4 ،7 ،2‬و ‪ 6‬چند عدد ‪ 5‬رقمی (بدون تکرار ارقام) می  توان نوشت؟‬ ‫__ ‪5‬‬ ‫__→ تعداد انتخاب ها‬ ‫__ ‪4‬‬ ‫__ ‪3‬‬ ‫__ ‪2‬‬ ‫→‪1‬‬ ‫!‪ = 5*4*3*2*1 = 5‬تعداد اعداد ‪ 5‬رقمی‬ ‫‪5‬‬  ‫‪3‬ــ ثابت کنید تعداد کل جایگشت های ‪ n‬تایی از ‪ n‬شیء متمایز‪ ،‬برابر است با !‪.n‬‬ ‫حل‪ :‬اگر برای هر کدام از این اشیا یک مکان در نظر بگیریم (مطابق شکل زیر)‪ ،‬برای مکان اول از چپ (یا راست) ‪ n‬انتخاب داریم‬ ‫و برای مکان بعدی ‪......‬انتخاب داریم و‪...‬و برای مکان آخر یک انتخاب داریم و بنابر اصل ضرب‪ ،‬کل حالت ها برابر است‬ ‫با‪.n * )n  -1( * )n  -2( *... *2*1 =........ ،‬‬ ‫__‬ ‫____‪   -1 n‬‬ ‫____‪n n‬‬ ‫‪   -2...‬‬ ‫__ __‪___ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هر حالت از کنار هم قرار گرفتن ‪ n‬شیء متمایز را یک جایگشت ‪ n‬تایی از آن ‪ n‬شیء می نامیم‪ ،‬و تعداد این جایگشت ها برابر‬ ‫است با !‪.  n‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫ارقام ‪ 4 ،3 ،2 ،1 ،0‬و ‪ 5‬مفروض اند؛ با این ارقام‪:‬‬ ‫‪.1‬چند عدد پنج رقمی و بدون تکرار ارقام‪ ،‬می  توان نوشت؟‬ ‫‪5‬‬ ‫______________ → تعداد انتخاب ها‬ ‫‪5...‬‬ ‫____‬ ‫____ ____‬ ‫____ ‪3‬‬ ‫اصل ضرب ‪...‬‬ ‫‪→ 5*5!=600‬‬ ‫‪ 1‬یا ‪ 2‬یا ‪ 3‬یا ‪ 4‬یا ‪5‬‬ ‫(توجه دارید که صفر در سمت چپ اعداد خوانده نمی شود‪).‬‬ ‫‪.2‬چند عدد ‪ 5‬رقمی و فرد (بدون تکرار ارقام) می  توان نوشت؟‬ ‫(می دانیم که اگر رقم یکان یک عدد‪ ،‬فرد باشد آن عدد فرد است‪ ).‬بنابراین‪:‬‬ ‫→ تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪4‬‬ ‫____‬ ‫____ ‪4‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫________ ‪2‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪→ 4*4*... *2*... =288‬‬ ‫‪ 1‬یا ‪ 3‬یا ‪5‬‬ ‫‪.3‬چند عدد پنج رقمی و زوج (بدون تکرار ارقام) می  توان نوشت؟‬ ‫روش اول‪ :‬تعداد ‪ 5‬رقمی های فرد ‪ -‬تعداد کل ‪ 5‬رقمی ها = تعداد ‪ 5‬رقمی های زوج‬ ‫‪= 600 -...=...‬‬ ‫روش دوم‪ :‬اعداد زوج و ‪ 5‬رقمی ای که با این ارقام می  توان ساخت‪ ،‬یا به صفر ختم می  شوند یا به ‪ 2‬و ‪.4‬تعداد ارقام را در هر‬ ‫حالت جدا محاسبه می کنیم و بنابر اصل جمع‪ ،‬آنها را جمع می  کنیم‪:‬‬ ‫الف) ‪ 5‬رقمی هایی که به صفر ختم می  شوند‬ ‫→ تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪5‬‬ ‫____‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____ ‪3‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫اصل ضرب ‪1‬‬ ‫‪→ 5!=...‬‬ ‫صفر‬ ‫ب) ‪ 5‬رقمی هایی که به ‪ 2‬یا ‪ 4‬ختم می  شوند‪:‬‬ ‫____ → تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪4‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫_____‬ ‫‪→ 4 *...*...*2*2=192‬‬ ‫‪ 2‬یا ‪4‬‬ ‫‪ =120+192=312‬تعداد ‪ 5‬رقمی های زوج‬ ‫‪.4‬چند عدد ‪ 5‬رقمی و مضرب ‪( 5‬بدون تکرار ارقام ) می  توان نوشت؟‬ ‫‪6‬‬  ‫‪ 5‬رقمی هایی که به ‪ 5‬ختم می  شوند ‪ 5 +‬رقمی هایی که به صفر ختم می  شوند = تعداد ‪ 5‬رقمی های مضرب ‪5‬‬ ‫____ → تعداد انتخاب ها‬ ‫____     ‪...‬‬ ‫____ ‪4‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫اصل ضرب ‪1‬‬ ‫‪→...!=...‬‬ ‫صفر‬ ‫____ ‪4‬‬ ‫____ → تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫اصل ضرب ‪1‬‬ ‫‪→ 4*...*...*...*1=...‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ =...+...=216‬تعداد ‪ 5‬رقمی های مضرب ‪5‬‬ ‫تبدیل (انتخاب ‪ r‬شیء از بین ‪ n‬شیء‪ ،‬که در آن جابه جایی اشیاء انتخاب شده اهمیت دارد‪).‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪.1‬فرض کنید بخواهیم تعداد اعداد ‪ 4‬رقمی را که با ارقام ‪ 1‬تا ‪ 7‬می  توان نوشت‪ ،‬حساب کنیم‪.‬در این صورت‪ ،‬داریم‪( :‬تکرار‬ ‫ارقام مجاز نیست‪).‬‬ ‫____ ‪7‬‬ ‫____ → تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪6‬‬ ‫____ ‪5‬‬‫اصل ضرب ‪4‬‬ ‫‪→ 7 *... *... *...‬‬ ‫!‪7 × 6 × 5 × 4 ×  7‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫= ‪: 7 × 6 × 5 × 4‬از طرفی‬ ‫= =‬ ‫!‪3‬‬ ‫!(‪3 ! )7 − 4‬‬ ‫(توجه دارید که با جابه جایی هر رقم از این عدد ‪ 4‬رقمی با رقم دیگر‪ ،‬یک عدد ‪ 4‬رقمی جدید حاصل می  شود‪.‬به عبارت دیگر‪ ،‬در‬ ‫این جایگشت ها‪ ،‬جابه ِ‬ ‫جایی ترتیب قرار گرفتن اشیای انتخاب شده‪ ،‬اهمیت دارد‪).‬‬ ‫‪.2‬به چند طریق می  توانیم سه کتاب را از بین ‪ 5‬کتاب متمایز‪ ،‬انتخاب کنیم و در یک ردیف بچینیم؟‬ ‫____ ‪5‬‬ ‫____ → تعداد انتخاب ها‬ ‫____ ‪...‬‬‫اصل ضرب ‪...‬‬ ‫‪→ 5 *...*...=...‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪ :‬از طرفی‬ ‫‪=‬‬ ‫!(‪)5 − 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.3‬در حالت کلّی‪ ،‬نشان دهید تعداد انتخاب های ‪ r‬شیء از بین ‪ ،(r ≤ n) n‬که جابه جایی ‪ r‬شیء انتخاب شده اهمیت داشته باشد‪،‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫برابر است با‪:‬‬ ‫!( ‪)n − r‬‬ ‫→ تعداد انتخاب ها‬ ‫____‬ ‫‪n‬‬ ‫____ ‪n -1‬‬ ‫____‬ ‫  ‪...... (n‬‬‫_________ )‪-  r  +2‬‬ ‫_______‬ ‫)‪(n -r +1‬‬ ‫طبق اصل ضرب‬ ‫→‪‬‬ ‫(‪n )n -1( )n -2(...)n  -  r  +2( )............‬‬ ‫!(‪n )n − 1()n − 2(  )n − r + 1( × )‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫!( ‪)n − r‬‬ ‫!( ‪)n − r‬‬ ‫تبدیل ‪ r‬شیء از ‪ n‬شیء یا جایگشت ‪ r‬شیء از ‪ n‬شیء‬ ‫تعداد انتخاب های ‪ r‬شیء از بین ‪ n‬شیء (که جابه جایی یا ترتیب انتخاب مهم باشد) را با نماد (‪ P )n,r‬نشان می دهیم و بنابر دستور‬ ‫زیر محاسبه می کنیم‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ( ‪P )n , r‬‬ ‫!( ‪)n − r‬‬ ‫مثال‪ :‬با ارقام ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 4‬و ‪ 6‬و ‪ 8‬و ‪ 9‬و ‪ 7‬چند عدد سه رقمی می  توان نوشت؟ (تکرار مجاز نیست‪).‬‬ ‫حل‪ :‬در واقع باید سه رقم را از بین ‪ 7‬رقم داده شده انتخاب کنیم که البته جابه جایی آنها پس از انتخاب‪ ،‬عدد جدیدی می  سازد و‬ ‫اهمیت دارد‪.‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫!‪7! 7 × 6 × 5 × 4‬‬ ‫= (‪ = P )7, 3‬تعداد اعداد سه رقمی ‪:‬روش اول‬ ‫= =‬ ‫‪= 210‬‬ ‫!‪)7 − 3(! 4‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اصل ضرب ‪5‬‬ ‫‪: ____ ____ ____ → 7*6*5=210‬روش دوم‬ ‫ترکیب (انتخاب ‪ r‬شیء از بین ‪ n‬شیء که در آن جابه جایی اشیای انتخاب شده‪ ،‬اهمیت ندارد‪).‬‬ ‫فعالیت‬ ‫مجموعه سه عضوی تشکیل دهیم‪.‬با توجه به‬ ‫ٔ‬ ‫فرض کنید بخواهیم از میان ارقام ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 4‬و ‪ 6‬سه رقم انتخاب کنیم و با آنها یک‬ ‫مجموعه جدیدی تولید نمی کند و نیز چون سه رقم انتخاب شده‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫تعریف مجموعه که بر اساس آن‪ ،‬جابه جایی اعضای یک مجموعه‪،‬‬ ‫!‪ 3‬جایگشت دارند که برای تشکیل مجموعه فقط یک مجموعه ساخته می  شود (هر ‪ 6‬حالت ‪ 1‬مجموعه می  سازد)‪ ،‬برای رسیدن‬ ‫به جواب مسئله کافی است کل جایگشت های سه تایی از ‪ 4‬رقم (انتخاب های سه تایی از بین ‪ 4‬رقم) را بر ‪.......‬تقسیم کنیم‪.‬‬ ‫‪8‬‬  ‫(‪P )4, 3‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫= تعداد مجموعه های سه عضوی‬ ‫=‬ ‫‪=4‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫! ‪1! × 3‬‬ ‫انتخاب سه رقم‬ ‫‪1,2,4‬‬ ‫‪1,2,6‬‬ ‫‪1,4,6‬‬ ‫‪2,4,6‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪126‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪246‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪162‬‬ ‫‪164‬‬ ‫‪264‬‬ ‫‪241‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪416‬‬ ‫‪426‬‬ ‫جایگشت های سه رقم انتخاب شده‬ ‫‪214‬‬ ‫‪261‬‬ ‫‪461‬‬ ‫‪462‬‬ ‫‪412‬‬ ‫‪612‬‬ ‫‪614‬‬ ‫‪624‬‬ ‫‪421‬‬ ‫‪621‬‬ ‫‪641‬‬ ‫‪642‬‬ ‫{‪A1=}1,2,4‬‬ ‫{‪A2=}...,...,...‬‬ ‫{‪A3=}1,4,6‬‬ ‫{‪A4=}...,...,...‬‬ ‫‪ = 24 = 4‬تعداد مجموعه های سه عضوی‬ ‫‪6‬‬ ‫ترکیب ‪ r‬شیء از ‪ n‬شیء‬ ‫تعداد انتخاب های ‪ r‬شیء از بین ‪ n‬شیء را که جابه جایی اشیای انتخاب شده پس از انتخاب‪ ،‬حالت جدید تولید نکرده و ترتیب‬ ‫‪ C rn‬نشان می دهیم و بنابر دستور زیر محاسبه می  کنیم‪.‬‬ ‫( ‪= ) nr‬‬ ‫انتخاب اهمیت نداشته باشد‪ ،‬با‬ ‫= ‪C rn‬‬ ‫!( ‪( ) = P )rn!,r ( = r !)nn−! r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫مثال‪ :‬به چند طریق می  توانیم سه کتاب را از بین ‪ 7‬کتاب انتخاب کنیم و به دوستمان هدیه بدهیم؟‬ ‫حل‪ :‬در هدیه دادن‪ ،‬ترتیب مهم نیست؛ بنابراین‪ ،‬از ترکیب استفاده می  کنیم‪،‬‬ ‫‪( ) = 3!7×!4! = 7 ×36!××54×! 4! = 35‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪.1‬به چند طریق می  توان با ارقام ‪ 1‬تا ‪ ،9‬عددی ‪ 5‬رقمی ساخت؟ (تکرار مجاز نیست‪).‬‬ ‫‪:‬روش اول‬ ‫____ ‪...‬‬ ‫____‬ ‫____ ‪8‬‬ ‫‪......‬‬ ‫‪5‬‬ ‫____ ____‬ ‫→‪‬‬ ‫‪...* 8 *...*...*5‬‬ ‫!‪9‬‬ ‫= (‪: P )9, ‬روش دوم‬ ‫‪=‬‬ ‫!(‪)9 −‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪.2‬به چند طریق می  توان از بین ‪ 9‬نفر یک تیم والیبال ‪ 6‬نفره تشکیل داد؟‬ ‫در ساختن تیم با جابه جایی افراد انتخاب شده‪ ،‬تیم جدیدی تولید نمی شود بنابراین‪ ،‬از ترکیب استفاده می  کنیم‪:‬‬ ‫= تعداد تیم های ‪ 6‬نفره‬ ‫‪(69) = 6!9×! = 9×68!××7× = 84‬‬ ‫زیرمجموعه سه عضوی دارد؟‬ ‫ٔ‬ ‫ِ‬ ‫عضوی {‪ A=}1,2,3,4,5,6,7,8‬چند‬ ‫مجموعه ‪8‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪.3‬‬ ‫زیرمجموعه سه عضوی می  سازد (در مجموعه ها جابه جایی اعضا اهمیت‬ ‫ٔ‬ ‫هر سه عضو از این ‪ 8‬عضو که انتخاب شود‪ ،‬فقط یک‬ ‫ندارد)؛ بنابراین‪ ،‬داریم‪:‬‬ ‫= تعداد زیرمجموعه های ‪ 3‬عضوی‬ ‫‪(83) = 8×! = 8 ×7 ××6× = 56‬‬ ‫مهره آبی وجود دارد‪.‬به چند طریق می  توانیم سه مهره از این جعبه خارج کنیم؟‬ ‫مهره قرمز و ‪ٔ 5‬‬ ‫‪.4‬در جعبه ای ‪ٔ 4‬‬ ‫مهره آبی خارج شود‪ ،‬اهمیت ندارد که با چه ترتیبی خارج‬ ‫مهره قرمز و ‪ٔ 1‬‬‫در انتخاب مهره های رنگی نیز ترتیب مهم نیست (اگر ‪ٔ 2‬‬ ‫شده اند‪.‬در هر صورت‪ 2 ،‬قرمز و ‪ 1‬آبی خارج شده است) و بنابراین داریم‪:‬‬ ‫= تعداد انتخاب ‪ 3‬مهره از بین ‪ 9‬مهره‬ ‫‪(9 ) = 3!9×! = 9×38!××7× = 84‬‬ ‫تمرین‬ ‫‪.1‬می  خواهیم از بین ‪ 10‬دانش آموز کالس دهم و ‪ 11‬دانش آموز کالس یازدهم و ‪ 12‬دانش آموز کالس دوازدهم یک دانش آموز‬ ‫انتخاب کنیم؛ به چند طریق می  توانیم این دانش آموز را انتخاب کنیم؟‬ ‫شهر ‪ E ،D ،C ،B ،A‬مطابق شکل زیر راه هایی وجود دارد که همه دو طرفه اند‪.‬مشخص کنید به چند طریق می  توان‪:‬‬ ‫‪.2‬بین پنج ِ‬ ‫الف) از شهر ‪ A‬به شهر ‪ C‬مسافرت کرد؟‬ ‫ب) از شهر ‪ A‬به شهر ‪ C‬و از طریق شهر ‪ B‬مسافرت رفت و برگشت انجام داد؟‬ ‫پ) از شهر ‪ D‬بدون عبور از شهر ‪ E‬به شهر ‪ A‬مسافرت کرد؟‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪10‬‬  ‫کلمه «والیت» و بدون تکرار حروف‪( :‬با معنی یا بی معنی)‬ ‫‪.3‬با حروف ٔ‬ ‫کلمه ‪ 5‬حرفی می  توان نوشت؟‬ ‫الف) چند ٔ‬ ‫کلمه ‪ 3‬حرفی می  توان نوشت که به «ی» ختم شوند؟‬ ‫ب) چند ٔ‬ ‫کلمه ‪ 5‬حرفی می  توان نوشت که با «و» شروع و به «ل» ختم شوند؟‬ ‫پ) چند ٔ‬ ‫همه تیم ها با هم بازی داشته باشند‪ ،‬در‬ ‫‪.4‬یک دوره بازی فوتبال بین ‪ 10‬تیم فوتبال‪ ،‬به صورت رفت و برگشت انجام می  شود‪.‬اگر ٔ‬ ‫پایان دوره چند بازی انجام شده است؟‬ ‫کارخانه خودروسازی خودرو هایی در ‪ 7‬رنگ‪ ،‬با ‪ 2‬حجم موتور و ‪ 3‬نوع مختلف جلو داشبورد تولید می  کند‪.‬یک خریدار‬ ‫ٔ‬ ‫‪.5‬یک‬ ‫برای خرید یک خودرو از این کارخانه چند انتخاب دارد؟‬ ‫مجموعه {‪ A=}1,2,4,6,8,9‬مفروض است؛ الف) با ارقام موجود در این مجموعه چند عدد ‪ 5‬رقمی و زوج (بدون تکرار ارقام)‬ ‫ٔ‬ ‫‪.6‬‬ ‫زیرمجموعه سه عضوی دارد؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬چند‬ ‫ٔ‬ ‫می  توان ساخت؟ ب) چند عدد ‪ 5‬رقمی و بزرگتر از ‪ 80000‬می  توان نوشت؟ پ)‬ ‫زیرمجموعه سه عضوی و شامل رقم ‪ 8‬دارد؟‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬چند‬ ‫ٔ‬ ‫ت)‬ ‫‪.7‬روی محیط یک دایره ‪ 12‬نقطه وجود دارد‪.‬مشخص کنید‪ :‬الف) با این دوازده نقطه‪ ،‬چه تعداد مثلث می  توان تشکیل داد؟‬ ‫ب) چه تعداد وتر می  توان تشکیل داد؟‬ ‫نفره والیبال تشکیل‬ ‫پایه دوازدهم افرادی را انتخاب کنیم و یک تیم ‪ٔ 6‬‬‫پایه یازدهم و ‪ 6‬دانش آموز ٔ‬ ‫‪.8‬می  خواهیم از بین ‪ 5‬دانش آموز ٔ‬ ‫دهیم‪.‬مشخص کنید به چند طریق می  توانیم این تیم را تشکیل بدهیم؛ هرگاه بخواهیم‪:‬‬ ‫پایه یازدهم و دوازدهم در تیم حضور داشته باشند‪.‬‬ ‫الف) به تعداد مساوی دانش آموز ٔ‬ ‫پایه دوازدهم باشد‪.‬‬ ‫ب) کاپیتان تیم فرد مشخصی از ٔ‬ ‫پایه دوازدهم باشند‪.‬‬ ‫پ) حداقل ‪ 4‬نفر از اعضای تیم‪ ،‬دانش آموز ٔ‬ ‫پایه یازدهم باشند‪.‬‬ ‫ت) فقط ‪ 2‬نفر از اعضای تیم از ٔ‬ ‫‪.9‬مسئله ای طرح کنید که پاسخ آن به صورت ( ‪ )2*3+3*4+3‬باشد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.10‬تعداد راه ها یا جاده ها از شهر ‪ B‬به ‪ C‬و از شهر ‪ E‬به ‪ D‬را طوری تعریف کنید که با توجه به شکل زیر بتوان به ‪ 20‬طریق از‬ ‫شهر ‪ A‬به شهر ‪ D‬سفر کرد‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪11‬‬  ‫درس‪2‬‬ ‫احتمال‬ ‫فعالیت‬ ‫نقلیه عمومی به مدرسه می رود و به طور معمول‪ ،‬قبل از ملیکا به‬‫نرگس هر روز صبح ساعت ‪ 7‬از منزل خارج می شود؛ با وسایل ٔ‬ ‫مدرسه می رسد‪.‬امروز صبح نیز نرگس مانند هر روز رأس ساعت ‪ 7‬از منزل خارج شده است‪.‬آیا می توانید به طور قطع بگویید که‬ ‫او قبل از ملیکا به مدرسه می رسد؟‬ ‫هیچ کس نمی تواند به این پرسش پاسخ قطعی دهد‪.‬تجربه نشان داده است که اگر وضعیت مانند هر روز عادی باشد‪ ،‬نرگس به موقع‬ ‫به مدرسه می رسد‪ ،‬اما آیا وضعیت همیشه عادی است؟‬ ‫عامل های زیادی می توانند وضع را از حالت عادی خارج کنند؛ مانند میزان ترافیک‪.‬از طرفی رفت و آمد در خیابان ها همیشه در‬ ‫نقلیه عمومی به طور معمول منظم نیست و‪....‬بنابراین‪ :‬دو وضعیت وجود دارد‪:‬‬ ‫حال تغییر است‪ ،‬آغاز حرکت و سرعت وسایل ٔ‬ ‫یکی اینکه نرگس قبل از ملیکا به مدرسه برسد و دوم اینکه نرگس قبل از ملیکا به مدرسه نرسد‪.‬‬ ‫همه حالت های‬‫نتیجه آنها از قبل به طور قطع مشخص نیست اما از وقوع ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫پدیده هایی وجود دارند که‬ ‫مهره سبز است‪،‬‬ ‫مهره قرمز و یک ٔ‬ ‫ممکن در آنها اطالع داریم‪.‬برای مثال‪ ،‬وقتی از کیسه ای که شامل پنج ٔ‬ ‫مهره خارج شده سبز یا قرمز است اما قبل از‬ ‫به طور تصادفی مهره ای خارج می کنیم‪ ،‬می دانیم که رنگ ٔ‬ ‫بیرون کشیدن مهره‪ ،‬رنگ آن به طور قطعی مشخص نیست‪.‬این گونه آزمایش ها را آزمایش های تصادفی‬ ‫می نامیم‪.‬‬ ‫نتیجه آنها قبل از اجرای آزمایش به طور قطع مشخص نیست‪ ،‬پدیده یا آزمایش‬ ‫ٔ‬ ‫به پدیده ها یا آزمایش هایی که‬ ‫همه نتیجه های ممکن اطالع داریم اما از اینکه کدام حالت قطعاً رخ‬ ‫تصادفی می گویند‪.‬در پدیده های تصادفی از ٔ‬ ‫می دهد‪ ،‬اطمینان نداریم‪.‬به هر یک از نتایج ممکن برای یک آزمایش تصادفی‪ ،‬برآمد می گوییم‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫‪.1‬چند آزمایش تصادفی مثال بزنید‪.‬‬ ‫نتیجه آنها قبل از اجرای آزمایش به طور قطع مشخص باشد‪ ،‬آزمایش ها یا پدیده های قطعی می گوییم‪.‬‬ ‫به آزمایش هایی که ٔ‬ ‫برای مثال‪ ،‬چنانچه سنگی را به داخل استخر آبی پرتاب کنیم‪ ،‬قبل از اجرای آزمایش می دانیم که سنگ به داخل آب فرو می رود یا‬ ‫پیش از پرتاب یک سکه‪ ،‬می دانیم که سکه روی زمین می نشیند‪.‬این گونه پدیده ها‪ ،‬آزمایش هایی قطعی هستند‪.‬‬ ‫‪.2‬چند آزمایش قطعی مثال بزنید‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪.1‬کدام یک از پدیده های زیر تصادفی و کدام یک قطعی است؟ چرا؟‬ ‫الف) وجود دانش آموزی که سن او بیشتر از ده سال باشد‪ ،‬در کالس دوازدهم؛‬ ‫مسابقه فوتبال‪ ،‬پرتاب سکه ای که در یک طرف آن عدد ‪ 1‬و در طرف دیگرش عدد ‪ 2‬حک شده باشد؛‬ ‫ٔ‬ ‫ب) در ابتدای‬ ‫مهره سفید وجود دارد؛‬ ‫مهره سفید‪ ،‬پس از خارج کردن دو مهره از جعبه ای که در آن ‪ٔ 7‬‬ ‫مشاهده دو ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫پ)‬ ‫نتیجه بازی فوتبال بین دو تیم‪ ،‬قبل از بازی؛‬ ‫ت) پیش بینی ٔ‬ ‫ث) در یک بازی بین دو نفر‪ ،‬سکه ای پرتاب می شود و به دنبال آن تاسی انداخته می شود‪.‬اگر شخصی سکه اش رو و تاسش زوج‬ ‫بیاید‪ ،‬برنده است‪.‬آیا قبل از بازی می توان نفر برنده را مشخص کرد؟‬ ‫‪.2‬از ‪ 3‬مداد و ‪ 5‬خودکاری که در یک جعبه قرار دارند‪ ،‬به طور تصادفی یکی از آنها را خارج می کنیم‪.‬‬ ‫همه برآمدهای ممکن این آزمایش تصادفی را نشان دهد؟‬‫مجموعه دو عضوی {خودکار‪ ،‬مداد} می تواند ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫الف) آیا‬ ‫همه برآمدهای ممکن این آزمایش تصادفی را مشخص کرد؟‬ ‫ب) به نظر شما چگونه می توان ٔ‬ ‫در این کتاب‪ ،‬اشیای مورد بحث را با شماره گذاری متمایز می کنیم‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪13‬‬  ‫فضای نمونه‬ ‫همه برآمدهای‬ ‫مجموعه ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫در پرتاب یک تاس بعد از آنکه تاس به زمین نشست‪ ،‬یکی از برآمدهای ‪ 5 ،4 ،3 ،2 ،1‬و ‪ 6‬را خواهیم داشت‪،‬‬ ‫ممکن در یک آزمایش تصادفی‪ ،‬مجموعهای را تشکیل میدهد که به آن فضای نمونه میگوییم و آن را با حرف ‪ S‬نمایش میدهیم‪.‬‬ ‫}‪S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬ ‫بنابراین‪ ،‬در پرتاب یک تاس‪ ،‬فضای نمونه برابر است با‪:‬‬ ‫فعالیت‬ ‫نمونه هر یک از آزمایش های تصادفی زیر را بنویسید‪.‬‬ ‫فضای ٔ‬ ‫‪.1‬پرتاب دو سکه باهم‪.‬‬ ‫اول‬ ‫پرتاب سکۀ ّ‬ ‫پرتاب سکۀ دوم‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫}‬ ‫(پ ‪ ,‬پ) ‪( ,‬ر ‪ ,‬پ) ‪( ,‬پ ‪ ,‬ر  ) ‪( ,‬ر ‪ ,‬ر  ) = ‪S‬‬‫{‬ ‫پ‬ ‫ر‬ ‫پ‬ ‫‪.2‬پرتاب سه سکه با هم (پرتاب یک سکه سه بار)‬ ‫پ‬ ‫‪.3‬پرتاب یک تاس و یک سکه باهم‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫نمونه پرتاب دو تاس آبی و قرمز‪ ،‬جدول زیر را کامل کنید‪.‬سپس به کمک اصل ضرب‪ ،‬درستی تعداد کل‬ ‫‪.1‬برای تعیین فضای ٔ‬ ‫حاالت موجود در جدول را بررسی کنید‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)1 , 1‬‬ ‫(‪)1 , 2‬‬ ‫(‪)1 , 6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)2 , 1‬‬ ‫(‪)2 , 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)3 , 3‬‬ ‫(‪)3 , 5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪)4 , 4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪)5 , 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪)6 , 6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫نمونه این آزمایش تصادفی را مشخص‬ ‫‪.2‬سه دوست با نام های علی‪ ،‬پارسا و محمد در یک ردیف کنار هم می نشینند‪.‬فضای ٔ‬ ‫همه برآمدهای این آزمایش تصادفی را بدون شمردن‪ ،‬مشخص کرد؟‬ ‫کنید‪.‬چگونه می توان تعداد ٔ‬ ‫مهره آبی و ‪ٔ 4‬‬ ‫مهره سبز وجود دارد‪.‬به طور تصادفی سه مهره را یک جا از کیسه خارج می کنیم‪.‬‬ ‫مهره قرمز‪ٔ 4 ،‬‬ ‫‪.3‬در کیسه ای ‪ٔ 3‬‬ ‫پدیده تصادفی را مشخص کنید‪.‬‬ ‫نمونه این ٔ‬ ‫تعداد اعضای فضای ٔ‬ ‫پیشامد‬ ‫مجموعه ‪A‬‬ ‫ٔ‬ ‫زیرمجموعه ‪ B‬می گوییم‪ ،‬هرگاه هر عضو‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬را‬ ‫ٔ‬ ‫با مفهوم مجموعه و زیرمجموعه در کالس نهم آشنا شده اید‪.‬‬ ‫مجموعه ‪ B‬باشد؛ در این صورت می نویسیم‪.A ⊆ B :‬برای مثال‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫عضوی از‬ ‫}‪{1 , 2 , 3} ⊆ {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬ ‫همه مجموعه ها است؛‬ ‫زیرمجموعه ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه تهی‬ ‫ٔ‬ ‫زیرمجموعه خودش است و‬ ‫ٔ‬ ‫از طرفی‪ ،‬می دانیم ‪A ⊆ A‬؛ یعنی هر مجموعه ای‬ ‫یعنی ‪.∅ ⊆ A‬‬ ‫مثال‪ :‬تمام زیرمجموعه های }‪ A = {a , b , c‬را بنویسید‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫}‪∅ , {a} , {b} , {c} , {a , b} , {a , c} , {b , c} , {a , b , c‬‬ ‫مثال‪ :‬در پرتاب یک تاس‪ ،‬پیشامدهای زیر را مشخص کنید‪.‬‬ ‫ب) عدد بزرگ تر از ‪ 7‬ظاهر شود‪.‬‬ ‫الف) عدد کوچک تر از ‪ 7‬ظاهر شود‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ب) } { = ‪A‬‬ ‫الف) }‪A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6‬‬ ‫نمونه ‪ S‬یک پیشامد می گویند‪.‬از آنجا که ‪ ،∅ ⊆ S‬پس ∅ یک پیشامد روی ‪ S‬است‬ ‫به هر یک از زیرمجموعه های فضای ٔ‬ ‫و آن را پیشامد غیرممکن (نشدنی)‪ ،‬همچنین ‪ S ⊆ S‬پس ‪ S‬نیز یک پیشامد است که آن را پیشامد حتمی می نامیم‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪.1‬سکه ای را یک بار پرتاب می کنیم؛ می دانیم {پ ‪ ,‬ر} = ‪.S‬تمام پیشامدهای ممکن برای این فضای نمونه را بنویسید‪.‬‬ ‫درباره دفاع مقدس از نمایشگاه کتاب مدرسه خریدند‪.‬سپس‪،‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪.2‬مریم‪ ،‬ملیکا و سوگند پول ها یشان را روی هم گذاشتند و یک رمان‬ ‫اسامی خود را روی سه کارت متمایز نوشتند و داخل کیسه ای انداختند‪.‬آنها با هم قرار گذاشتند که یک کارت را به طور تصادفی‬ ‫پدیده تصادفی‬ ‫نمونه این ٔ‬ ‫از کیسه خارج کنند و نام هرکسی که روی آن کارت بود‪ ،‬ابتدا کتاب را به منزل ببرد و مطالعه کند‪.‬فضای ٔ‬ ‫را بنویسید‪.‬سپس‪ ،‬تمام زیرمجموعه های یک عضوی ‪ S‬را مشخص کنید‪.‬‬ ‫خالصه آن را در کالس ارائه کنند‪ ،‬پیشامدهای ممکن را بنویسید‪.‬‬ ‫ٔ‬ ‫مطالعه کتاب‪ ،‬با هم‬ ‫ٔ‬ ‫اگر قرار باشد دو نفر از آنها بعد از‬ ‫‪.3‬تاسی را پرتاب می کنیم‪.‬اگر پس از نشستن تاس روی زمین‪ ،‬عدد ‪ 2‬نمایان شود‪ ،‬به نظر شما در این آزمایش تصادفی کدام یک‬ ‫از پیشامدهای زیر رخ داده اند؟‬ ‫}‪A = {3 , 2 , 5‬‬ ‫الف)‬ ‫}‪B = {2‬‬ ‫ب)‬ ‫‪15‬‬  ‫{ ‪C = } 2،4،6‬‬ ‫پ)‬ ‫برای اینکه یک پیشامد رخ دهد‪ ،‬کافی است یکی از برآمدهای آن در آزمایش تصادفی به وقوع بپیوندد‪.‬‬ ‫‪.4‬دو تاس را پرتاب می کنیم؛ پیشامدهای زیر را مشخص کنید‪.‬‬ ‫الف) اعداد رو شده از دو تاس مانند هم باشد‪.‬‬ ‫{(‪})1 , 6( , )2 , 5( , )3 , 4( , )4 , 3( , )5 , 2( , )6 , 1‬‬ ‫ب) مجموع اعداد برآمده از دو تاس برابر با ‪ 7‬باشد‪.‬‬ ‫پ) مجموع اعداد برآمده از دو تاس ‪ 13‬باشد‪.‬‬ ‫ت) حاصل ضرب اعداد برآمده از دو تاس کمتر از ‪ 37‬باشد‪.‬‬ ‫برنامه کوهنوردی‪ 5 ،‬دانش آموز سال دهم‪ 6 ،‬دانش آموز سال یازدهم و ‪ 4‬دانش آموز سال دوازدهم شرکت دارند‪.‬قرار‬ ‫‪.5‬در یک ٔ‬ ‫است یک گروه پیشتاز ‪ 3‬نفره از بین آنها برای صعود انتخاب کنیم‪.‬تعداد عضوهای پیشامدهای زیر را مشخص کنید‪.‬‬ ‫الف) سه نفر دانش آموز پیشتاز از سه پایه مختلف باشند‪.‬‬ ‫دهم‬ ‫یازدهم‬ ‫دوازدهم‬ ‫‪ 5   6   4 ‬‬ ‫‪n )A( = ‬‬ ‫‪×‬‬ ‫‪×‬‬ ‫‪ =  ×  ×  = 120‬‬ ‫‪ 1   1   1 ‬‬ ‫ب) حداقل ‪ 2‬دانش آموز در این گروه پیشتاز از دانش آموزان سال یازدهم باشند‪.‬‬ ‫اعمال روی پیشامدها‬ ‫مجموعه ‪ A‬را به صورت‬ ‫ٔ‬ ‫مجموعه ‪ A‬و ‪ ،B‬تفاضل ‪ B‬از ‪ A‬و متمم‬ ‫ٔ‬ ‫فرض کنیم ‪ A‬و ‪ B‬دو مجموعه باشند؛ اجتماع و اشتراک دو‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫زیر یادآوری می کنیم‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫}     ‪A ∩ B = {x ∈ S | x ∈ A ∧ x ∈ B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫}      ‪B = {x ∈ S | x ∈ A ∨ x ∈ B‬‬ ‫∩‬ ‫(شکل ‪)1‬‬ ‫(شکل ‪)2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A′‬‬ ‫‪A‬‬ ‫}  ‪A - B = {x ∈ S | x ∈ A ∧ x ∉ B‬‬ ‫} ‪A′= {x ∈ S | x ∉ A‬‬ ‫(شکل ‪)3‬‬ ‫(شکل ‪)4‬‬ ‫‪16‬‬  ‫نمونه ‪ S‬باشند‪:‬‬ ‫هرگاه ‪ A‬و ‪ B‬دو پیشامد در فضای ٔ‬ ‫الف) پیشامد ‪ A∩B‬وقتی رخ می دهد که پیشامدهای ‪ A‬و ‪ B‬رخ دهند‪(.‬شکل ‪)1‬‬ ‫دو تاس را پرتاب می کنیم‪.‬پیشامد آن را مشخص کنید؛ طوری که یکی از تاس ها ‪ 5‬و مجموع اعداد برآمده از دو تاس ‪ 6‬باشد‪.‬‬ ‫{(‪ :A  = })1 , 5( , )2 , 5( , )3 , 5( , )4 , 5( , )5 , 5( , )6 , 5()5 , 1( , )5 , 2( , )5 , 3( , )5 , 4( , )5 , 6‬یکی از تاس ها ‪ 5‬باشد‬ ‫{(‪ :B = })1 , 5( , )2 , 4( , )3 , 3( , )4 , 2( , )5 , 1‬مجموع اعداد برآمده از دو تاس ‪ 6‬باشد‬ ‫برای مشخص کردن پیشامدی که در آن یکی از تاسها ‪ 5‬و مجموع اعداد برآمده از دو تاس ‪ 6‬باشد‪ ،‬کافی است ‪ A∩B‬را محاسبه کنیم‪.‬‬ ‫{‬ ‫)‪A∩B = (1 , 5) , (5 , 1‬‬ ‫}‬ ‫ب) پیشامد ‪ A B‬وقتی رخ می دهد که پیشامدهای ‪ A‬یا ‪( B‬حداقل یکی از پیشامدها) رخ دهند‪(.‬شکل ‪)2‬‬ ‫∩‬ ‫دو تاس را پرتاب می کنیم‪.‬پیشامد آن را مشخص کنید؛ طوری که دو تاس یکسان یا مجموع اعداد برآمده از دو تاس ‪ 4‬باشد‪.‬‬ ‫{(‪ : A = })1 , 1( , )2 , 2( , )3 , 3( , )4 , 4( , )5 , 5( , )6 , 6‬دو تاس یکسان‬ ‫{(‪ : B = })1 , 3( , )2 , 2( , )3 , 1‬مجموع ‪ 4‬باشد‬ ‫‪ A‬است‪.‬‬ ‫پیشامد مورد نظر برابر با ‪B‬‬ ‫∩‬ ‫{‬ ‫)‪A B = (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) , (6 , 6) , (1 , 3) , (3 , 1‬‬ ‫∩‬ ‫}‬ ‫پ) پیشامد ‪ A - B‬وقتی رخ می دهد که پیشامد ‪ A‬رخ دهد و پیشامد ‪ B‬رخ ندهد‪(.‬شکل ‪)3‬‬ ‫ت) پیشامد ‪ A′‬وقتی رخ می دهد که پیشامد ‪ A‬رخ ندهد‪(.‬شکل ‪)4‬‬ ‫در این حالت ‪ A‬و ‪ A′‬را دو پیشامد متمم می گوییم و همواره داریم‪:‬‬ ‫∅ = ‪A  A′ = S , A  A′‬‬ ‫مثال‪ :‬هرگاه ‪ A‬و ‪ B‬دو پیشامد ناتهی در فضای ٔ‬ ‫نمونه ‪ S‬باشند‪ ،‬به طوری که ‪ A - B = A‬و ‪ ،B - A = B‬در این صورت پیشامد‬ ‫‪ A∩B‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫حل‪ :‬چون ‪ A - B = A‬و ‪ B - A = B‬و از آنجا که ‪ A‬و ‪ B‬پیشامدهای ناتهی هستند‪ ،‬بنابراین ‪ A‬و ‪ B‬عضو مشترکی ندارند؛ در‬ ‫‪S‬‬ ‫این حالت ∅ = ‪.A∩B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫نمونه ‪ S‬باشند‪ ،‬به طوری که ∅ = ‪ ،A∩B‬در این صورت پیشامدهای ‪ A‬و ‪ B‬را‬ ‫هرگاه ‪ A‬و ‪ B‬دو پیشامد از فضای ٔ‬ ‫ناسازگار می گوییم‪.‬‬ ‫‪17‬‬  ‫برای مثال‪ ،‬در پرتاب یک تاس پیشامدهای زوج آمدن و فرد آمدن‪ ،‬ناسازگارند‪.‬‬ ‫کار در کالس‬ ‫‪.1‬تاسی را پرتاب می کنیم؛ هر یک از پیشامدهای زیر را با اعضا مشخص کنید‪.‬‬ ‫ــ پیشامد اینکه عدد رو آمده زوج و ّاول باشد‪.‬‬ ‫ــ پیشامد اینکه عدد رو آمده زوج یا ّاول باشد‪.‬‬ ‫ــ پیشامد اینکه عدد رو آمده زوج باشد ولی ّاول نباشد‪.‬‬ ‫ــ پیشامد اینکه عدد رو آمده ّاول باشد ولی زوج نباشد‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ــ پیشامد اینکه عدد رو آمده اول نباشد‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫نمونه ‪ S‬باشند‪.‬هر یک از پیشامدهای‬ ‫‪.2‬فرض کنید ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬سه پیشامد در فضای ٔ‬ ‫زیر را روی نمودار ون سایه بزنید‪.‬سپس‪ ،‬عبارت مجموعه ای مربوط به هر پیشامد را‬ ‫مانند نمونه بنویسید‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ــ فقط پیشامد ‪ A‬رخ دهد و پیشامدهای ‪ B‬یا ‪ C‬رخ ندهد‪.‬‬ ‫)   ‪A - (B C‬‬ ‫∩‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ــ پیشامدهای ‪ A‬و ‪ B‬رخ دهند ولی پیشامد ‪ C‬رخ ندهد‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ــ پیشامدهای ‪ A‬یا ‪ B‬رخ دهند ولی پیشامد ‪ C‬رخ ندهد‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.3‬خانواده ای صاحب ‪ 3‬فرزند است‪.‬پیشامدهای زیر را مشخص کنید‪.‬‬ ‫همه فرزندان خانواده دارای یک جنسیت باشند‪.‬‬ ‫الف) پیشامد ‪ A‬اینکه ٔ‬ ‫ب) پیشامد ‪ B‬اینکه دو فرزند خانواده پسر و یک فرزند دختر باشند‪.‬‬ ‫‪18‬‬  ‫ج) پیشامد ‪ C‬اینکه حداقل دو فرزند این خانواده دختر باشند‪.‬‬ ‫با توجه به پیشامدهای ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬به سؤاالت زیر پاسخ دهید‪:‬‬ ‫آیا پیشامدهای ‪ A‬و ‪ B‬ناسازگارند؟‬ ‫آیا پیشامدهای ‪ C‬و ‪ B‬ناسازگارند؟‬ ‫آیا پیشامدهای ‪ C‬و ‪ A‬ناسازگارند؟‬ ‫‪.4‬دو پیشامد ناسازگار از یک آزمایش تصادفی را بنویسید‪.‬‬ ‫احتمال یک پیشامد‬ ‫پدیده تصادفی باشد‪.‬اگر ‪ n ،S‬برآمد برای وقوع داشته باشد و ‪ A‬پیشامدی در ‪S‬‬ ‫نمونه متناهی یک ٔ‬ ‫فرض کنید ∅ ≠ ‪ S‬فضای ٔ‬ ‫باشد‪ ،‬در این صورت احتمال وقوع پیشامد ‪ A‬را با نماد )‪ P  (A‬نمایش می دهیم و مقدار آن را طبق دستور زیر محاسبه می کنیم‪.‬‬ ‫(‪n )A‬‬ ‫= (‪P )A‬‬ ‫( ‪n )S‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪.1‬چنان که پیشامد ‪ A‬نشدنی باشد‪ ،‬یعنی ∅ = ‪ ،A‬در این صورت مقدار )‪ P  (A‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫‪.2‬در حالتی که پیشامد ‪ A‬حتمی باشد‪ ،‬یعنی ‪ ،A = S‬در این صورت مقدار )‪ P  (A‬را محاسبه کنید‪.‬‬ ‫‪.3‬هرگاه ‪ ،A ⊆ B‬در این صورت جاهای خالی را پر کنید‪.‬‬ ‫(‪n )A‬‬ ‫‪‬‬ ‫⇒ ‪A ⊆ B ⇒ n )A( ≤ ‬‬ ‫≤‬ ‫( ‪⇒ P )A( ≤ P )B‬‬ ‫( ‪n )S‬‬ ‫‪‬‬ ‫نمونه ‪ S‬باشد‪ ،‬در این صورت داریم‪:‬‬ ‫‪.4‬با توجه به ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ ،3‬اگر ‪ A‬پیشامد دلخواهی در فضای ٔ‬ ‫‪0 ≤ P  (A) ≤ 1‬‬ ‫‪ P  (A‬را طبق اصل جمع پیدا کنید‪.‬‬ ‫نمونه ‪ S‬باشند‪ ،‬با پر کردن جاهای خالی مقدار )‪B‬‬ ‫‪.5‬هرگاه ‪ A‬و ‪ B‬دو پیشامد ناسازگار در فضای ٔ‬ ‫∩‬ ‫( ‪n )A  B‬‬ ‫⇒ ‪n )A  B ( = n )A( + ‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪⇒ P )A  B ( =  + ‬‬ ‫( ‪n )S‬‬ ‫( ‪n )S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫) ‪A I B = ∅ ⇒ n (A U B ) = n (A) + n (B‬‬ ‫) ‪A I B = ∅ ⇒ n (A U B ) = n (A) + n (B‬‬ ‫‪19‬‬  ‫کار در کالس‬ ‫‪.1‬یک سکه و یک تاس را با هم پرتاب می کنیم؛ مطلوب‬ ‫محاسبه احتمال اینکه‪:‬‬ ‫ٔ‬ ‫است‬ ‫الف) تاس زوج بیاید‪.‬‬ ‫نمونه این آزمایش تصادفی ‪ 12‬عضو دارد؛‬ ‫می دانیم فضای ٔ‬ ‫بنابراین‪.n  (S  ) = 12 ،‬‬ ‫{‬ ‫)پ ‪) ,... , (6 ,‬پ ‪) , (2 ,‬پ ‪) , (1 ,‬ر ‪) ,... , (6 ,‬ر ‪) , (2 ,‬ر ‪S = (1 ,‬‬ ‫}‬ ‫پیشامد اینکه تاس زوج بیاید‪ ،‬برابر است با‪:‬‬ ‫{‬ ‫)پ ‪) , (6 ,‬پ ‪) , (4 ,‬پ ‪) , (2 ,‬ر ‪) , (6 ,‬ر ‪) , (4 ,‬ر ‪A = (2 ,‬‬ ‫‪ n  (A) = 6‬؛ }‬ ‫بنابراین‪ ،‬داریم‪:‬‬ ‫‪n )A( 6 1‬‬ ‫= (‪P )A‬‬ ‫= =‬ ‫‪n )S ( 12 2‬‬ ‫ب) سکه پشت بیاید‪.‬‬ ‫پ) تاس زوج یا سکه رو بیاید‪.‬‬ ‫ت) تاس فرد و سکه پشت بیاید‪.‬‬ ‫محاسبه‬ ‫ٔ‬ ‫‪.2‬یک تاکسی دارای ‪ 5‬سرنشین است؛ مطلوب است‬ ‫احتمال اینکه‪:‬‬ ‫الف) هر پنج نفر آنها در ماه فروردین متولد شده باشند‪.‬‬ ‫محاسبه )   ‪ n  (S‬به کمک اصل ضرب‪ ،‬هر یک‬ ‫ٔ‬ ‫هر یک از پنج نفر می توانند در هر یک از ‪ 12‬ماه سال به دنیا آمده باشند؛ بنابراین‪ ،‬در‬ ‫از خانه های زیر با ‪ 12‬حالت پر می شوند‪.‬‬ ‫‪ → 12 12 12 12 12 → n  (s) = 125‬تعداد انتخاب ها‬ ‫نفر اول‬ ‫نفر دوم‬ ‫نفر پنجم نفر چهارم نفر سوم‬ ‫‪20‬‬ ‫محاسبه )‪ n  (A‬به کمک‬ ‫ٔ‬ ‫همه آنها در فروردین متولد شده باشند‪ ،‬کافی است در‬ ‫محاسبه تعداد اعضای پیشامد ‪ ،A‬به طوری که ٔ‬ ‫ٔ‬ ‫برای‬ ‫اصل ضرب‪ ،‬هر یک از خانه های زیر فقط با یک حالت پر شوند‪.‬‬ ‫‪ → 1 1 1 1 1 → n  (A) = 1‬تعداد انتخاب ها‬ ‫نفر پنجم نفر چهارم نفر سوم نفر دوم نفر اول‬ ‫نتیجه داریم‪:‬‬ ‫در ٔ‬ ‫(‪n )A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= (‪P )A‬‬ ‫‪= 5‬‬ ‫‪n )S ( 12‬‬ ‫ب) هر پنج نفر آنها در یک ماه از سال متولد شده باشند‪.‬‬ ‫پ) تولد هیچ دو تای آنها در یک ماه نباشد‪.‬‬ ‫‪.3‬در یک بازی ‪ 11‬نفره‪ ،‬به هر شخصی یکی از شماره های ‪... ،4 ،3 ،2‬و ‪ 12‬را نسبت می دهیم‪.‬سپس با پرتاب دو تاس و‬ ‫مجموع اعداد برآمده از آنها‪ ،‬نفر برنده مشخص می شود‪.‬‬