Apunts (2) PDF - Sistema de Numeració Decimal

El sistema de numeració decimal, fonaments per a 2 l’ensenyament i aprenentatge Organització de continguts del Tema 2 1. L’evolució dels sistemes de numeració i les seues i...

El sistema de numeració decimal, fonaments per a 2 l’ensenyament i aprenentatge Organització de continguts del Tema 2 1. L’evolució dels sistemes de numeració i les seues implicacions didàctiques 2. L’ensenyament del sistema de numeració decimal La creació de la base d’agrupament La desena El valor posicional de les xifres 3. Models manipulatius per a l’ensenyament del SND Objetius del Tema 2 En finalitzar el tema, els estudiants hauran de ser capaços de: Valorar la complexitat del sistema de numeració posicional reflectida en la 1 seua construcció històrica Analitzar els punts forts i febles dels materials per a l’ensenyament del sistema 2 de numeració posicional, en particular els blocs multibase i àbacs 3 Identificar errors i dificultats associats a la representació del nombre natural Al tema anterior hem pogut estudiar la importància de les activitats basades en el comptatge per a l’inici del desenvolupament del sentit numèric en els i les estudiants de l’etapa d’Educació Infantil. Com recordareu, aquest sentit numèric s’inicia amb el coneixement del número a partir dels diferents usos i contextos en els quals apareixen les anomenades paraules-número. En aquest nou tema aprofundirem en les regles que permeten representar números i que 51 Tema 2 | Pascual D. Diago venen imposades per l’ús del què anomenarem sistema de numeració decimal (SND). L’inici de la representació de les paraules-número donarà lloc a l’escriptura dels numerals. Com veurem, aquestes regles no són aleatòries si no que responen a una sèrie de processos històrics que cal que les futures i futurs mestres en Educació Infantil tinguen clares. En concret, l’ensenyament i aprenentatge d’aquestes regles girarà al voltant de tres elements clau: la base de l’agrupament, la desena i el valor posicional de les xifres. Començarem amb un clar exemple de la comprensió (o no) d’aquestes regles (Activitat 2.1), per a després passar a descriure i comprendre l’evolució històrica dels sistemes de numeració. Finalment, introduirem alguns materials que, pel seu disseny, serviran per a guiar l’adquisició de l’escriptura del SND en els i les alumnes d’Educació Infantil. Activitat 2.1 En el següent vídeo observem a dos estudiants als qui se’ls pregunta, per separat, sobre el significat de les xifres del número setze a partir de la representació escrita (16) i de la representació amb blocs multilink. a) Quines diferències trobes entre les respostes donades pels estudiants? b) Quin tipus d’activitats suggeries que es realitzaren per a la correcta adquisició de la comprensió del SND escrit? Vídeo What does the one mean? Solució en pàg. 271 2.1. L’evolució dels sistemes de numeració i les seues implicacions didàctiques Els sistemes de numeració van nàixer per a donar resposta a una de les primeres necessitats de la humanitat, la de registrar la quantitat d’objectes d’una col·lecció. En aquest sentit, la finalitat d’un sistema de numeració és “asignar a cada número natural individual (con un límite que depende de las necesidades prácticas) un nombre y una representación escrita, formada por combinaciones de un reducido número de signos, efectuadas siguiendo leyes más o menos regulares” (Bourbaki, 1994, p. 45). En la nostra proposta, considerem fonamental que els futurs i futures mestres siguen co- neixedors de quant prolongat i costós ha sigut el procés de construcció del nostre sistema de numeració decimal (SND). Una anàlisi de l’evolució des dels primers sistemes de numeració per- met entendre algunes de les dificultats i reptes als quals s’enfronten els xiquets i xiquetes en la seua aproximació al número i construcció del sentit numèric. En particular, aquesta anàlisi es desenvolupa atenent el marc proposat per Gómez (1988), qui organitza els sistemes de numeració de manera cronològica. Sistema de numeració Un sistema de numeració està format per un conjunt de signes i regles que permeten assignar a cada número una representació exclusiva. 52  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 Exemple 2.1 Per exemple, la quantitat tretze es representa de diferents maneres en diferents sistemes de numeració: En el nostre sistema de numeració decimal (SND): 13 En el sistema romà: XIII En el sistema jeroglífic egipci: 2||| Activitat 2.2 Imaginem un pastor de fa 10 000 anys que trau un ramat d’ovelles a pasturar. Per a assegurar-se que tornen totes les ovelles, utilitza el següent procediment: Cada vegada que ix una ovella del corral, fa una osca en un pal. A la nit, cada vegada que entra una ovella, mou el seu dit sobre les osques. Quina activitat dóna suport a aquest sistema de numeració? Solució en pàg. 272 La majoria dels sistemes de numeració usats en la història aconseguia representar de ma- nera unívoca qualsevol número. No obstant això, com indica Gómez (1988), cada sistema de numeració presenta avantatges i inconvenients segons quins aspectes es pretenga facilitar (faci- litat d’escriptura, longitud de representació escrita, càlcul, etc.) poden entorpir-se uns altres. Bàsicament els sistemes de numeració es poden dividir en additius, multiplicatius i posicionals. 2.1.1 Sistemes additius Troballes arqueològiques han mostrat l’ús de pals de còmput o pals de comptatge amb uns 30 000 anys d’antiguitat. Es tracta de registres numèrics en ossos o tabletes en les quals apareixen osques (Figura 2.1). Com indica Gómez (1988), aquests sistemes es caracteritzen per la repetició uniforme d’un únic element tantes vegades com la quantitat que es desitja representar. Així,la representació del número està lligada a l’aspecte cardinal del número. De fet, la notació opera sobre el principi de correspondència un a un, pel qual a cada objecte de la col·lecció a quantificar se li assigna un altre objecte o una marca. Les marques, o la seua posterior substitució per símbols escrits, feien innecessari el recurs a objectes físics per a la representació del número, la qual cosa va constituir un avanç significatiu. Aquests primers sistemes de numeració de la humanitat es classifiquen com sistemes de representació simple. Figura 2.1. Els ossos de Ishango (esquerra) i troballes de pedres (calculus en llatí) per a calcular (dreta) 53 Tema 2 | Pascual D. Diago Activitat 2.3 Coneixes alguna situació en la qual, hui dia, usem un sistema de representació simple?. Reflexiona els avantatges i limitacions d’aquests sistemes de numeració. Activitat 2.4 Quin número es representa a continuació? I I I I I Activitat 2.5 Quin número es representa a continuació? I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 22 25 27 26 La comparació de les Activitats 2.4 i 2.5 posa de manifest la dificultat per a representar i llegir números grans mitjançant la sistemes de representació simple. Aquesta limitació pot reduir-se mitjançant l’agrupació. Així, els humans primitius realitzaven agrupaments de cinc en cinc, probablement familiaritzats amb els quíntuples a través de l’observació de mans i peus (Merzbach i Boyer, 1991). En el marc del recurs a l’agrupament, una opció per a facilitar la lectura passaria per fer visibles els “paquets”, per exemple, mitjançant una diferent organització espacial dels símbols, que recreen l’agrupament, o/i amb un ratllat (Gómez, 1988, Activitat 2.6). A continuació, es mostra la representació del número de l’Activitat 2.5 amb totes dues opcions: IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II Activitat 2.6 La platja de Hanakapiai, a Hawaii, es troba entre les més perilloses del món. Un cartell informatiu alerta del risc d’ofegament (Figura 2.2, activitat basada en Arnau, 2017). 54  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 Figura 2.2. Cartell informatiu a Hanakapiai Beach (Hawái) Assenyala la base de l’agrupament que s’usa en el cartell. Té algun avantatge aquest sistema de numeració respecte al nostre sistema de numeració decimal? Solució en pàg. 272 Si bé l’opció de ratllar facilita en certa manera la lectura, l’escriptura de números grans continua sent laboriosa. Aquestes restriccions fan aconsellable la utilització de nous símbols. Per exemple, en la situació anterior, podríem emprar el símbol V per a representar cada paquet (V = IIIII). D’aquesta manera, parlaríem d’un sistema d’agrupament simple, caracteritzat per la elecció d’una base per a l’agrupament (5 en el cas de l’exemple), de tal manera que s’empren dos símbols, un per a les unitats (I) i un altre per als grups (IIIII o V). Així, el número de l’exemple anterior passaria a representar-se com: Aquest sistema, com el de representació simple, té una naturalesa additiva, és a dir, el valor del número es determina per l’addició dels valors individuals dels símbols. En qualsevol cas, quan s’intenten representar números relativament grans, tornen a emergir les mateixes limitacions que caracteritzaven al sistema de representació simple (Activitat 2.7). Activitat 2.7 Quin de les representacions següents expressa el número 104? (a) V V V V V V V V V V V V V V V V V V I I I I (b) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V I I I I (c) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V I I I I (d) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V I I I a) b) c) d) 55 Tema 2 | Pascual D. Diago A fi de pal·liar les mancances del sistema d’agrupació simple, és possible aplicar la ma- teixa solució que va originar el trànsit des de la representació simple a l’agrupació simple. En conseqüència, seran necessaris nous símbols. Així, per exemple, podria emprar-se el símbol N per a representar V V V V V, W per a representar N N N N N i així, successivament, s’encunyarien nous símbols segons requerira la grandària dels números a designar, amb el que la quantitat a la qual estem fent referència en el text passaria a ser: N II Aquest procés condueix a l’aparició dels sistemes d’agrupament múltiple, també de caràcter additiu. Aquests sistemes es caracteritzen per tindre un símbol per cadascuna de les potències de la base (Figura 2.3). En realitat, com s’indicava anteriorment, no es limita el nombre de diferents símbols, sinó les vegades que es repeteix un mateix símbol. Així, en la representació d’un número, un mateix símbol apareixerà com a màxim tantes vegades com la base menys un. V=IIIII= 5   N = V V V V V = 52   W = N N N N N = 53  ...  Figura 2.3. Potències de la base en el sistema d’agrupament múltiple Sistemes additius En els sistemes additius els números es representen mitjançant una col·lecció de signes bàsics. La suma dels números que representen els signes donarà com a resultat el número representat pel conjunt de símbols. Segons els agrupaments, podem trobar: De representació simple: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII D’agrupació simple: es caracteritza per l’elecció d’una base d’agrupament i per la presència d’un símbol que assenyala l’agrupament. ™ IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II IIIII = IIIII = V =⇒ V V V V II IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II D’agrupació múltiple: es caracteritza per tindre agrupaments recursivos, nor- malment en potències de la base principal de l’agrupament. IIIII=V VVVVV=N V V V V V II =⇒ N II NNNNN=W... Activitat 2.8 Crea el teu propi sistema d’agrupament múltiple de base 3. Representa en ell la quantitat tretze. Solució en pàg. 272 56  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 Activitat 2.9 Quin número es representa a continuació? IVWVNVNWI 319 331 332 317 Activitat 2.10 Calcula: WNWIIVI+WNIWNIINNVVVVI L’Activitat 2.9 permet apreciar que els sistemes d’agrupació múltiple presenten, especialment amb números grans, limitacions similars a les presentades pels sistemes d’agrupació simple. A més, el tipus de notació utilitzada no resulta potent des del punt de vista del càlcul, com es veu a l’Activitat 2.10. Activitat 2.11 A continuació es mostren els símbols emprats pel sistema de numeració egipci i el seu valor expressat en el sistema indo-aràbic. 1 = |, 10 = 2, 100 = 3, 1000 = 4, 10 000 = 5, 100 000 = 6, 1 000 000 = 7 1. A quin tipus de sistema de numeració es correspon? 2. Quina és la base de l’agrupament? 3. Quina quantitat representa el 6555544422|| Solució en pàg. 272 2.1.2 Sistemes multiplicatius Potser a causa de l’escàs potencial dels sistemes additius per al càlcul, van aparéixer nous sistemes sota el criteri d’evitar la repetició (limitada) de símbols en els sistemes d’agrupació múltiple. Van nàixer així els sistemes multiplicatius, els quals empren dues classes de símbols: uns per a les potències de les bases i altres per als multiplicadors (Gómez, 1988). Sistemes multiplicatius Els sistemes multiplicatius es caracteritzarien per la substitució total o parcial de la repetició de signes iguals. Segons Gómez (1988), un exemple d’aquesta mena de sistemes seria nostre sistema de nume- ració oral per a números construïts per generació algorítmica. En alguns casos la deformació de 57 Tema 2 | Pascual D. Diago les paraules pel seu ús oculta aquest caràcter multiplicador, però en altres casos és evident (per exemple, el tres mil quatre-cents). Com ja hem comentat, en aquests sistemes s’observen dos tipus de signes: els que representen a la potència de la base (mil o cent en l’exemple anterior) i els que representen als multiplicadors (tres i quatre en l’exemple anterior). Activitat 2.12 Escriu en el nostre sistema de numeració oral els números 53 i 102. De quina manera es representa l’absència de xifra en les desenes en el 102? Comenta amb els teus companys quina repercussió tindrà aquest fet des d’un punt de vista didàctic. Solució en pàg. 273 Exemple 2.2 Anem a continuar amb l’exemple que s’ha estat usant per a descriure els sistemes additius. Així, seguirem utilitzant la codificació mostrada en la Figura 2.3. D’aquesta forma, el número mostrat en l’Activitat 2.9 podria ser reescrit fent ús de multiplicadors. Aquestos multiplicadors podrien codificar-se (per exemple) usant tantes ratlles horitzontals sobre la potència de la base com a repeticions d’aquesta potència (sempre fins a arribar, com a màxim a l’agrupament, cinc). La representació d’aquesta quantitat en un sistema multiplicador seria... VVV NN I V W V N V N W I =⇒ II =⇒ V N W II WW Activitat 2.13 Calcula: V N W II + W V IIII Quines diferències trobes respecte a l’Activitat 2.10 a l’hora de realitzar el càlcul? 2.1.3 Sistemes posicionals Sistemes posicionals L’evolució d’un sistema multiplicador cap a un sistema posicional necessita: i) Establir un ordre en l’escriptura dels símbols que representen a les potències de la base. ii) Eliminar els símbols de la potència de la base i dotar als multiplicadors de sentit segons la posició que ocupen. iii) Introduir un símbol (el zero) per a assenyalar l’absència de multiplicadors en una determinada posició. 58  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 Exemple 2.3 Continuant amb l’Exemple 2.2, podríem desglossar els passos cap a la construcció d’un sistema posicional de la següent manera: i) Establim un ordre en l’escriptura dels símbols de les potències de la base. Podem convindre, per exemple, escriure sempre les potències de la base de major a menor. Així, les potències més altes anirien a l’esquerra quedant a la dreta les unitats. V N W II =⇒ W N V II ii) El criteri d’ordre fa que no necessitem repetir sempre l’escriptura de les potències de la base, perquè les pròpies posicions ens estan indicant sobre quina potència actua el multiplicador. Amb això, la posició que ocupa el multiplicador pren sentit, facilitant l’escriptura encara més. W N V II =⇒ II iii) Finalment, es fa necessari introduir un símbol per a indicar l’absència de multiplicadors en una determinada potència de la base, perquè pot ser que “deixar un espai” no siga suficient per a indicar un salt d’un ordre de magnitud. La creació d’aquest símbol (que indica l’absència de multiplicador) soluciona el problema. En aquest cas partim d’una representació d’una altra quantitat, per exemple: W W V V V III W V III =⇒ 0 III Activitat 2.14 A continuació tens una operació de suma amb el sistema posicional desenvolupat en l’Exemple 2.3: 0 III + IIII Quines diferències trobes respecte a les Activitats 2.10 y 2.13 quan realitzes el càlcul? Com recull González-Calero (2019), el sistema babiloni va ser el primer sistema posicional conegut en la història de la humanitat. Inicialment mancava d’un símbol específic per a indicar l’absència d’un ordre de magnitud. Els escribes babilonis, segurament conscients de l’ambigüitat que aquest fet causava, a vegades deixaven un espai per a fer patent el salt d’un ordre de magnitud. No obstant això, aquesta solució es va mostrar insuficient per la dificultat d’apreciar quan es concatenava l’absència de dues o més ordres de magnitud consecutives, o simplement perquè no era estrany que els escribes oblidaren espaiar amb claredat els dígits (Ifrah, 1997). En síntesi, era necessari un altre procediment per a indicar l’absència d’un ordre de magnitud. Es desconeix amb certesa en quin moment els babilonis van ser capaços de desenvolupar el primer “zero”, probablement al voltant del segle IV a. C. En realitat, seria més correcte parlar d’un marcador de posició en comptes d’un zero tal com hui en dia ho concebem, ja que els babilonis 59 Tema 2 | Pascual D. Diago no atribuïen a aquest símbol el significat de nombre cardinal i restringien el seu ús a un sentit posicional. La civilització maia, independentment, va ser igualment capaç de introduir aquest avanç d’enorme calat per a la humanitat. 2.2. L’ensenyament del sistema de numeració decimal Ja hem vist que el nostre sistema de numeració oral és multiplicatiu. Doncs, el número 5231 el llegim com: cinc mil (és a dir cinc multiplicant a mil) dos-cents (és a dir dos multiplicant a cent) trenta (ací ja no apareix la característica multiplicativa que seria quelcom així com tres deu) un. En canvi, quan es tracta de representar el número de forma escrita, fem ús del sistema de numeració decimal (SND), que podem definir-lo a partir de les següents propietats: El sistema de numeració decimal (SND) Anomem sistema de numeració decimal (SND) al sistema posicional regular de base 10 del qual fem ús per a la representació i escritura de quantitats en la actualitat. Els símbols que es defineixen són: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a les que anomenarem xifres. Aquest sistema es caracteritza per ser: a) Ser posicional: Cada xifra té un valor absolut que difereix segons la posició que ocupa en el número. b) Tindre base decimal: La base sobre la qual es treballa és el número 10. En aquest sentit, la desena representa la unitat de segon ordre del sistema. c) Ser multiplicatiu: En el sistema de numeració decimal es defineixen símbols per a la unitat (1), la base (10), les potències de la base (10n ) i per a tots els números compresos entre la unitat i la base (2,...,9). La quantitat a representar s’obté multiplicant cada potència de la base pel valor del símbol que li precedeix i sumant els resultats juntament amb les unitats: 245 = 2 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 = = 2 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1 0 2 4 5 Les xiquetes i xiquets d’infantil tenen un gran coneixement sobre números de dos dígits (no és estrany que cap als 5 anys siguen capaços de comptar sense problema fins al cent). A l’escola solen fer activitats per a comptar als alumnes que hi ha a classe, per a trobar números de pàgina específics en els seus llibres, etc. No obstant això, la seua concepció del número és fortament diferent de la nostra, ja que la seua aproximació al concepte de número que tenen prové de 60  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 l’acció de comptar, de fer un comptatge d’un en un. Coneixement del número d’estructura unitària Karen Fuson anomena coneixement del número d’estructura unitària a un concepte de número basat exclusivament en l’acció de comptar d’un en un (Fuson, 1992). Exemple 2.4 La xiqueta del segon cas del vídeo de l’Activitat 2.1 mostra un tipus de coneixement unitari del número quan identifica el número 16 com 16 unitats, però demostra no ser capaç de separar la quantitat en grups segons el valor posicional de la seua representació escrita: per a ella l’1 representa un cub i el 6 representa 6 cubs. En aquesta secció s’aborden algunes directrius per canviar el pensament d’estructura unita- ria dels i les estudiants d’infantil per a poder abordar amb èxit l’ensenyament del SND, que com s’ha vist correspon a un sistema de numeració posicional. Basant-nos en particularitats desen- volupades en la secció anterior sobre el recorregut històric del desenvolupament dels sistemes de numeració, es pretén dotar als futurs i futures mestres d’Educació Infantil de les eines necessàries per a la introducció dels conceptes bàsics per al correcte aprenentatge del SND, especialment en els últims cursos d’Educació Infantil. Així, es potenciarà l’ús de materials manipulatius que permeten l’adquisició de conceptes clau relatius al SND com són la idea de desena com a base de l’agrupament, el valor posicional de les xifres, o la representació escrita dels números. Activitat 2.15 El següent vídeo es correspon amb la interacció d’un xiquet de sis anys amb el recurs digital Grouping and grazing desenvolupat pel National Council of Teachers of Mathe- matics. Valora el potencial del recurs prenent en consideració en la teua anàlisi les idees matemàtiques que es treballen i els coneixements previs que ha de tindre l’alumne per a poder resoldre les tasques plantejades. Quin nivell d’elaboració cal exigir als estudiants per a poder fer un ús òptim de l’aplicació? Vídeo Grouping and grazing Solució en pàg. 273 Coneixements previs a la representació (escrita) de números Des d’un accés ordinal, la introducció de la representació (escrita) de numerals de més d’una xifra exigirà que l’estudiant d’infantil tinga adquirits els següents coneixe- ments previs: 1. La capacitat de construir col·leccions d’objectes donat el seu cardinal 2. El coneixement del cardinal zero com a absència 3. La possibilitat de representar els números d’una xifra mitjançant els signes corres- ponents (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; veure Figura 2.4) 61 Tema 2 | Pascual D. Diago Figura 2.4. Grafies escrites per Carmen quan tenia aproximadament 4 anys A continuació, i com ja s’ha posat de manifest a l’Activitat 2.15, anem a aprofundir en les regles inherents a l’ús i comprensió del SND, doncs la completa adquisició del sentit numèric està lligat a la comprensió d’aquestes regles. Per tant, explicarem els conceptes relatius a la base de l’agrupament, la desena i el valor posicional de les xifres com a fites clau en els quals hem d’iniciar als estudiants de l’etapa infantil. antes de la escritura del número. 2.2.1 La creació de la base d’agrupament Com indica González-Calero (2019), en el treball amb estudiants de magisteri, es considera d’especial utilitat l’ús de sistemes posicionals amb bases diferents a 10. Aquest treball ha sigut ja abordat durant l’assignatura de segon curs del grau Matemàtiques per a Mestres, i ací no el portarem a terme. Amb aquest bagatge sobre les diferents representacions de quantitats en diferents bases (Activitat 2.16), el futur mestre o mestra pot tindre una visió més pròxima de les dificultats a les quals s’enfronten els xiquets i xiquetes en les seues primeres experiències formals amb les representacions del SND. Activitat 2.16 Agrupa les creus del quadre mostrat en la Figura 2.5 de quatre en quatre. Després d’això, agrupa novament els grups creats de quatre en quatre. Repeteix el procés tantes vegades com siga possible. En acabar, has d’escriure de dreta a esquerra, primer, el nombre de creus no incloses en cap grup; segon, el nombre de grups de quatre creus; tercer, el nombre d’agrupacions de grups de quatre creus, i així, successivament (activitat presa de Cid, Godino, i Batanero, 2003). Figura 2.5. Agrupem creus a) Com és el sistema de numeració que has fet servir en aquesta activitat? b) Quina és la base dels agrupaments que has fet? 62  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 c) El número s’escriuria com... Grups de grups de grups d’x Grups de grups d’x Grups d’x x Repeteix l’activitat amb grups de 5 o de 7. Solució en pàg. 273 L’acció d’agrupar com a catalitzador del coneixement sobre la base de l’agrupament Com s’indica a Van de Walle, Karp, i Bay-William (2016), l’acció de crear agrupacions equivalents (amb igual nombre d’elements) serà el catalitzador per a que els xiquets i xiquetes comprenguen el doble paper de les agrupacions: com a conjunt d’unitats i com a nou element (que pot ser contat). Exemple 2.5 Un estudiant que siga capaç d’agrupar (en grups de 10 unitats, en aquest cas) pot desenvolupar un raonament com aquest a l’hora de determinar la quantitat que es mostra a la Figura 2.6: Grupos de 10 = 5 Unidades sueltas = 3 total=53 Figura 2.6. Agrupament equivalent en base 10 per a determinar quantitats 1, 2, 3, 4, 5 grups de deu i 1, 2, 3, unitats ó 10, 20, 30, 40, 50, 51, 52, 53 (Extret de Van de Walle i cols., 2016) Els i les mestres han de ser conscients que la instrucció focalitzada en les agrupacions, com a pas previ per a facilitar la compressió del valor posicional del sistema de numeració, es realitza en paral·lel a l’aprenentatge de la representació oral i escrita de números de dues xifres. Aquest aprenentatge requereix diferenciar aquells números que presenten irregularitats (en castellà del 10 al 15 i en valencià del 10 al 16) d’aquells que es componen algoritmicament. 2.2.2 La desena Activitat 2.17 El nostre sistema de numeració usa la base 10 perquè tenim deu dits entre totes dues mans. Imagina que ens visita una espècie extraterreste que només té huit dits, quatre per mà. Si la base del seu sistema de numeració també estiguera determinada pel nombre de dits, com representaria la quantitat dèset? 63 Tema 2 | Pascual D. Diago (Activitat basada en Cid i cols., 2003) Solució en pàg. 273 Abans de passar a l’ensenyament de la idea de valor posicional explícitament, els xiquets i xiquetes han de completar un ampli ventall d’activitats relacionades amb la composició i descomposició dels primers números, un bagatge sobre el qual, gradualment, s’ha de subratllar el singular paper del deu en el nostre sistema de numeració, com a base d’agrupament per a construir la desena. La posterior comprensió del valor posicional de les xifres en la representació escrita de números requereix una integració de conceptes nous i, a vegades difícils, relacionats amb l’agrupament en desenes. L’enteniment de la relació entre les dues representacions de la desena comporta que els xiquets, progressivament, han de deixar de dependre del comptatge d’un en un. A sovint aquestes dificultats venen relacionades amb com s’escriuen i es nomenen els números en la llengua en que es realitza l’aprenentatge. Com s’indica a Van de Walle i cols. (2016), tot i que es pot fer servir el SND oral per designar quantitats com “cinquanta-tres”, és millor seleccionar un enfocament que pose de manifest el paper central de la desena (i la base deu) com, per exemple “5 desenes i 3 unitats” o “3 unitats i 5 desenes”, com es mostra a l’Activitat 2.18. Activitat 2.18 En una classe d’Infantil amb alumnes de 5 anys una mestra ha preparat la següent activitat (basada en Van de Walle i cols., 2016): La mestra dona a cada alumne una bosseta que conté fesols. En totes el número és superior a deu. A més, a cada xiquet se li dóna una fitxa com la que es mostra en la Figura 2.7. Se li sol·licita a cada alumne que determine quants fesols hi ha en la seua bossa. nivell de correspondència un a un. Figura 2.7. How many beans? Identifica l’objectiu principal de l’activitat. Explica quin paper juguen en la resolució de la tasca els materials emprats en l’activitat. Solució en pàg. 274 2.2.3 El valor posicional de les xifres Les regles i símbols que emprem quan fem ús del SND per a escriure números (unitats a la dreta, desenes a l’esquerra de les unitats,... ) té el seu origen a l’esquema d’agrupació en base deu, com hem estudiat a la secció 2.1. L’adquisició de l’escriptura correcta de quantitats majors a 9 exigeix als i les estudiants la capacitat de poder realitzar físicament agrupacions de 64  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 col·leccions en desenes i unitats, amb un registre correcte de les xifres corresponents com s’ha vist a l’Activitat 2.18, o com es mostra a la Figura 2.8. Una comprensió similar és necessària per a al concepte de centena i la resta de valors posicionals. Figura 2.8. Registre de la quantitat per mitjà d’agrupacions de desenes (extreta de Van de Walle i cols., 2016) Segons Van de Walle i cols. (2016), la comprensió del valor posicional del SND integra tres components, mostrades a la Figura 2.9 com les cantonades del triangle. Aquesta figura resumeix les idees d’una comprensió integrada del valor posicional que s’han discutit fins ara: el concepte d’agrupament en desenes, la comprensió de l’escriptura del número en el SND i la comprensió del nom que reb el número en el SND oral. Figura 2.9. Comprensió del valor posicional (extreta de Van de Walle i cols., 2016) Pel que respecta a l’Educació Infantil, el treball d’aula al voltant dels 5 anys deuria d’incloure els següents elements d’aquest triàngle, en aquest ordre: a) Fer agrupaments amb materials manipulatius per a què els i les estudiants comprenguen el doble paper de la “desena”: com 10 unitats i, a la vegada com una unitat nova (1 desena), doncs a aquestes edats pot ser tot un desafiament. 65 Tema 2 | Pascual D. Diago b) Iniciar la verbalització dels nombres escrits fent ús d’un llenguatge que posse de manifest els grups creats: 53 equival a 5 grups de deu i 3 unitats o 5 desenes i 3 unitats o 3 unitats i 5 desenes. c) Iniciar l’escriptura a partir de la comprensió del valor posicional de les xifres escrites. Activitat 2.19 Mireu el següent vídeo en el qual es presenta una situació típica d’una aula d’Educació Infantil 4 anys. Analitzeu, a la llum dels conceptes que hem estudiat sobre desena, base de l’agru- pament i valor posicional de les xifres, l’activitat que es realitza en asamblea. Quins conceptes, relacionats amb el comptatge (tema anterior), es treballen? Vídeo Passar llista en 4 anys Solució en pàg. 274 2.3. Models manipulatius per a l’ensenyament del SND Activitat 2.20 En la Figura 2.10 es mostren dues representacions del mateix número amb dos materials diferents, blocs multibase i regletes de Cuisenaire. Debatiu en grups: a) Quina quantitat s’ha representat? b) Poden usar-se aquests materials indistintament quan es comencen a treballar les idees d’agrupament i de creació de la desena? c) Quines diferències trobes? (a) Representació amb regletes (b) Representació con blocs multibase Figura 2.10. Blocs i regletes Solució en pàg. 274 En el que segueix s’intentarà que la futura o futur docent pose en dubte la idea, al nostre judici molt estesa a les escoles, de considerar els materials manipulatius com un tot i amb 66  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 uns beneficis pedagògics per se (per exemple, com es posa de manifest a l’Activitat 2.20). En aquesta proposta, basada en González-Calero (2019), el treball amb els models s’ordena en funció del seu nivell d’abstracció. En concret, per al cas de l’ensenyament del SND, descriurem alguns models per a facilitar l’aprenentatge i visibilitzar idees clau com la base d’agrupament, la desena o el valor posicional de les xifres. Així, podrem classificar els models en proporcionals i no proporcionals (Cid i cols., 2003). Passem a descriure’ls breument: Models per a l’ensenyament del SND Models proporcionals. Caracteritzats perquè existeix una magnitud física que dóna compte de la relació numèrica entre els elements que simbolitzen els diferents ordres de magnitud. Així, la peça que simbolitza la desena és deu vegades major que la de les unitats, la de les centenes, deu vegades major que la de les desenes, i així, successivament. Com a exemple característic podem trobar els blocs de Dienes de base 10.A la vegada, dins d’aquesta categoria Van de Walle i cols. (2016) distingeix entre models agrupables i pre-agrupats: i. Models pre-agrupats. Aquells que ja vénen donats i en els quals no és possi- ble compondre/descompondre cap de les seues peces per a obtindre elements d’ordre superior o inferior. Per exemple els propis blocs de Dienes de base 10. ii. Models agrupables. Aquells en els quals, a partir d’elements individuals que representen la unitat, es pot compondre els elements d’ordre superior. En aquesta categoria, per exemple, s’enquadren els blocs multilink i, igualment, podrien incloure’s materials quotidians usats apropiadament (per exemple, gra- pats d’escuradents, bossetes de bales, etc.). Models no proporcionals. A diferència dels anteriors, les peces dels models no pro- porcionals (per exemple, monedes o àbacs) no guarden cap relació de física amb les quantitats representades. Van de Walle i cols. (2016) subratlla el potencial dels models proporcionals en la mesura que habiliten que el propi xiquet observa l’equivalència entre, per exemple, deu peces que representen unitats i una que representa la desena. En aquesta proposta es plantejarà una anàlisi amb les i els estudiants de magisteri dels models més utilitzats en la introducció al número que, segons Cid i cols. (2003), serien els blocs de Dienes (també anomenats blocs multibase, Figura 2.11a), les regletes de Cuisenaire (Figura 2.11b) i els àbacs (Figura 2.12). (a) (b) Figura 2.11. Blocs de Dienes de base 10 (esquerra) i regletes de Cuisenaire o números en color (dreta) 67 Tema 2 | Pascual D. Diago Figura 2.12. Diferents tipus d’àbacs 2.3.1 Els blocs multibase o blocs de Dienes Els blocs multibase o blocs de Dienes Els blocs multibase (Figura 2.11a) són un material del tipus proporcional i pre-agrupat que van ser dissenyats per Zoltan Dienes. Els podem trobar organitzats en diferents bases, on els cubs, barres, plaques i blocs representen diferents potències de la base triada.. La característica fonamental del material és que tant en barres, plaques i blocs poden distingir-se (i comptar-se) els cubs que els formen. El nombre de cubs en cada cas ve donat per la base triada. Els blocs multibase permeten expressar números mitjançant representació simple, agrupament simple i agrupament compost. 2.3.2 Els àbacs Abordem ara la descripció d’un dels models no proporcionals més habitual, l’àbac, utilitzat normalment en l’ensenyament del sistema de numeració posicional. Amb aquest propòsit, en aquesta descripció farem ús exclusivament d’àbacs que compten amb nou o més comptes per vareta i, per tant, no prenem en consideració àbacs com, per exemple, el sorobán, més útils de cara al càlcul. No obstant això, els i les estudiants de magisteri han de familiaritzar-se amb la riquesa de tipus d’àbacs existents i entendre el seu funcionament amb la finalitat de poder fonamentar adequadament l’elecció d’un o altre model a l’aula. Àbacs de varetes Tot i que hi ha diferents tipus d’àbacs, considerarem en aquesta assignatura els àbacs de varetes (Figura 2.12, especialment els verticals) que constitueixen un model no pro- porcional format per un sistema de varetes i de comptes (anomenats també comptes o càlculs). Les característiques principals són: En l’àbac el valor de cada compte resideix en la posició de la vareta que ocupa. La relació entre la desena i la unitat és únicament simbòlica (model no proporcional), per la qual cosa el treball amb ells comporta major nivell d’abstracció. És a dir, mentre que la barra dels blocs multibase conté físicament deu cubs, els càlculs de la filera de les desenes no es diferencien dels càlculs de la columna de les unitats (tot 68  El sistema de numeració decimal, fonaments per a l’ensenyament i aprenentatge | Tema 2 i que en alguns tipus d’àbac canvia el color). Així, les característiques pròpies dels àbacs podrien aconsellar l’ús dels blocs multibase en els primers moments i deixar l’ús dels àbacs per a situacions amb números de tres o quatre xifres en les quals els blocs multibase perden la seua utilitat a causa del volum que ocupen. 2.3.3 Recomanacions en l’ús de materials per a l’ensenyament del SND La investigació suggereix que les propostes d’ensenyament riques quant a la varietat de models usats per a encarnar la idea d’agrupament i valor posicional condueixen a una millor compressió d’aquestes idees per part dels estudiants d’infantil (per exemple, Verschaffel i De Corte, 1996). No obstant això, els i les estudiants de magisteri deuen pautar acuradament en quin moment introduir els models i, de la mateixa manera, determinar quan el xiquet o xiqueta està prepa- rat per a abandonar el seu ús. En aquest sentit, amb freqüència, la instrucció sol orientar-se excessivament ràpid cap a l’ensenyament dels algorismes de la suma i la resta amb números de dues xifres, sense verificar-se que existisca una compressió sòlida de la idea de valor posicional (Activitat 2.1). De manera anàloga, també esdevé de manera freqüent que s’inicie el treball en la tècnica de canviar deu peces que representen la unitat per una peça usada per a designar la desena, sense que l’estudiant realment haja adquirit la noció “multiunitària” del número, a partir de la qual aquest pot descompondre’s en diferents parts. L’ensenyament del SND amb materials manipulatius En l’ensenyament del SND s’aconsella que els alumnes treballen amb els models en el següent ordre (Van de Walle i cols., 2016): 1. Models proporcionals agrupables 2. Models proporcionals pre-agrupats 3. Models no proporcionals Una instrucció prematura amb models pre-agrupats pot fer que el xiquet o xiqueta treballe procedimentalment amb els materials sense realment entendre la relació numèrica entre els di- ferents tipus de peces. Per a evitar aquesta circumstància, ha de realitzar-se un treball explícit sobre la idea d’agrupament, com hem recalcat a la Secció 2.2.1. Els i les estudiants de magisteri han de considerar que el xiquet o xiqueta, fins a aqueix moment i des d’un accés ordinal, ha construït les seues idees sobre el número a partir del comptatge (d’un en un). En conseqüència, les primeres tasques no haurien d’establir unes exigències superiors. Com és habitual en la nostra proposta, es plantegen activitats que poden —i deuen— ser llegides des de dues perspectives, doncs, d’una banda, il·lustren el tipus d’instrucció a realitzar en els nivells elementals i, d’altra banda, ofereixen al mateix temps un suport sobre l’organitzar una discussió sobre el potencial didàctic d’un determinat material. Exemple 2.6 Seguint la seqüència d’ensenyament amb models que podem trobar a Arnau (2017) podríem establir un esquema de transició d’activitats com el que es mostra a continuació: 1. Activitats de composició i descomposició de quantitats a partir de la unitat (models 69 Tema 2 | Pascual D. Diago proporcionals): 2. Activitats que persegueixen la formació d’unitats d’ordre superior (desena, inicialment amb models proporcionals i després introduint models no proporcionals): 3. Activitats en les quals es posa èmfasi en la representació i en el valor posicional (tant amb models proporcionals com no proporcionals): 1 3 0 0 1 3 En aquest punt, es pot optar per fer ús de colors en les representacions de les grafies de les xifres, com s’ha vist en l’Activitat 2.19, en la qual s’utilitza un codi de colors del tipus: 1 3, 1 desena i 3 unitats amb l’objectiu de reforçar la idea que el significat de la xifra depén de la posició que ocupa, sent el color roig el corresponent a les desenes i el blau a les unitats. En essència, els estudiants de magisteri han de ser capaços de dissenyar una instrucció en la qual els models faciliten una evolució des d’una concepció unitària del número a una mul- tiunitària, basada en la idea agrupació, que permeta compondre i descompondre el número en diferents parts. Així, per exemple, els estudiants d’infantil, a més d’entendre el número 17 a partir d’una col·lecció d’elements individuals, ha de comprendre l’equivalència amb represen- tacions multiunitàries, com 1 desena i 7 unitats. L’enteniment per part dels alumnes d’infantil de la relació entre les diferents representacions de la desena comporta que, progressivament, deixen de dependre del comptatge d’un en un. A aquest efecte, en una primera fase, ofereixen un gran interés tasques que actuen com a pont entre models agrupables i pre-agrupats i on, addicionalment, se secunde que l’estudiant recórrega al comptatge per a una agrupació correcta. En aquest sentit, l’ús de ten-frames o casellers decimals, en combinació amb altres materials agrupables (per exemple, Activitat 2.18), pot ser d’ajuda per al xiquet abans de treballar amb models com els blocs multibase. 70