Analisi Matematica - Modulo A - Corso C

Analisi Matematica - Modulo A - Corso C

• Prova Parziale: 09 Novembre 2018
• Tracce: A e B

Traccia A

• Esercizio 1:

  • Scrivere in forma cartesiana il numero complesso e1+iπ6e^{1+i\frac{\pi}{6}}e1+i6π​. Calcolare il modulo delle radici dodicesime del numero complesso precedente.
  • Determinare il dominio e la monotonia della funzione f(x)=1+arccos⁡(x−1)+12x3−1f(x)=1+\arccos(x-1)+\frac{1}{2}x^3-1f(x)=1+arccos(x−1)+21​x3−1
  • Determinare l'immagine di f.

• Esercizio 2:

  • Calcolare almeno due dei seguenti limiti:
    • lim⁡x→01−sin⁡(2x2)−cos⁡xx2+x3\lim_{x \to 0}\frac{1-\sin(2x^2)-\cos x}{x^2+x^3}limx→0​x2+x31−sin(2x2)−cosx​
    • lim⁡x→+∞x−1x2\lim_{x \to +\infty}\frac{x-1}{x^2}limx→+∞​x2x−1​
    • lim⁡x→0+x4log⁡2x−(1+2x)2+1x\lim_{x \to 0^+}\frac{x^4\log_2x-(1+2x)^2+1}{x}limx→0+​xx4log2​x−(1+2x)2+1​

• Esercizio 3:

  • Dimostrare che la funzione f(x)=(ex−1)2f(x) = (e^x-1)^2f(x)=(ex−1)2 ha un punto di flesso in x=log⁡12x = \log 12x=log12.
  • Trovare l'equazione della retta tangente al grafico di fff nel punto di flesso.

• Esercizio 4:

  • Definire una funzione continua in un punto.
  • Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale per le funzioni continue.

Traccia B

• Esercizio 1:

  • Scrivere in forma trigonometrica le radici quarte del numero complesso e2+iπe^{2+i\pi}e2+iπ. Calcolare il modulo delle potenze ottave delle radici precedenti.
  • Determinare dominio e monotonia della funzione f(x)=arctan⁡(x)−1+log⁡3(x2−1)f(x)=\arctan(\sqrt{x})-1+\log_3(x^2-1)f(x)=arctan(x​)−1+log3​(x2−1)
  • Determinare l'immagine di f.

• Esercizio 2:

  • Calcolare almeno due dei seguenti limiti:
    • lim⁡x→0ex−1−tan⁡(3x3)x3+x5\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1-\tan(3x^3)}{x^3+x^5}limx→0​x3+x5ex−1−tan(3x3)​
    • lim⁡x→+∞1+log⁡xx\lim_{x \to +\infty}\frac{1+\log x}{x}limx→+∞​x1+logx​
    • lim⁡x→−∞x32x+(1+x1/2)3−1x2\lim_{x \to -\infty}\frac{x^32x+(1+x^{1/2})^3-1}{x^2}limx→−∞​x2x32x+(1+x1/2)3−1​

• Esercizio 3:

  • Dimostrare che la funzione f(x)=(log⁡x−1)2f(x) = (\log x - 1)^2f(x)=(logx−1)2 è strettamente decrescente su (0,e)(0, e)(0,e) e strettamente concava su (e2,+∞)(e^2, +\infty)(e2,+∞).

• Esercizio 4:

  • Definire una funzione crescente su un insieme A⊂RA\subset RA⊂R.
  • Dimostrare che una funzione crescente su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann.
  • Per studenti immatricolati negli anni precedenti al 2018/2019:
    • Definire una funzione derivabile in un punto.
    • Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.