الفصل الثاني كتاب الطالب صف ١٢ متقدم PDF

# الوحدة الخامسة: المزيد من التفاضل ## Further Differentiation ### ستتعلم في هذه الوحدة كيف: - تجد مشتقة ضرب دالتين، ومشتقة قسمة دالتين مكوّناتها مضروبة بالثوابت والجمع والطرح للدوال في صيغة د (س) = س لأي عدد نسبي ن). - تحدد النقاط الحرجة لدوال في صورة ضرب أو قسمة دالتين في صيغة د (س) = س لأي عدد...

# الوحدة الخامسة: المزيد من التفاضل ## Further Differentiation ### ستتعلم في هذه الوحدة كيف: - تجد مشتقة ضرب دالتين، ومشتقة قسمة دالتين مكوّناتها مضروبة بالثوابت والجمع والطرح للدوال في صيغة د (س) = س لأي عدد نسبي ن). - تحدد النقاط الحرجة لدوال في صورة ضرب أو قسمة دالتين في صيغة د (س) = س لأي عدد نسبي ن) مع الضرب بالثوابت، والجمع والطرح، وتحدد طبيعة (نوع) النقطة الحرجة، وتستخدم معلومات عن النقطة الحرجة لرسم المنحنيات مستخدما المشتقة الأولى. - تجد مشتقات الدوال الأسية (أساسها (هـ) والدوال اللوغاريتمية الطبيعية مع الضرب بالثوابت، والجمع والطرح والضرب والقسمة للدوال والدوال المركبة. - تجد مشتقات جاس، جتاس مع الضرب بالثوابت، والجمع والطرح، والضرب والقسمة للدوال والدوال المركبة. ## معرفة قبلية ### تعلمت سابقا أن: - تجد مشتقة دالة في الصيغة د(س) = س مع الضرب في ثابت، والجمع والطرح للدوال. - تشتق دوال مركبة مستخدما قاعدة السلسلة. - تجد معادلتي المماس للمنحنى والعمودي عليه. - تجد النقاط الحرجة للمنحنيات، وتحدد نوعها . ### اختبر مهاراتك 1. أوجد مشتقة كل مما يأتي بالنسبة إلى س: - ص = ه س - (3/س) + 2 راس - ص = (س - 4س + س²) / (3س) 2. أوجد مشتقة كل مما يأتي بالنسبة إلى س: - ص = (3س - 5)^4 - ص = (1 / (1 - 2س)) 3. أوجد معادلة العمودي على مماس المنحنى ص = س³ - 5س² + 2س - 1 عند النقطة (1, -3). 4. أوجد إحداثيات النقاط الحرجة للمنحنى ص = س² - 3س + 4، وحدد نوع كل منها. ## لماذا ندرس المزيد من التفاضل؟ درست كيف تجد مشتقة الدوال كثيرات الحدود، ودالة القوة بالنسبة إلى س، ولكن يوجد الكثير من الدوال التي نحتاج إلى أن نجد مشتقاتها، لذلك سنتعلم في هذه الوحدة كيف نجد مشتقة ضرب دالتين وقسمتهما، وسنتعلم أيضًا كيف نجد مشتقة الدوال الأسية، واللوغارتمية، والمثلثية، ونستخدمها. على الرغم من أن هذه المواضيع تبدو مجرد مسائل على الرياضيات البحتة، إلا أن التفاضل يُستخدم في المواضيع المتعلقة بالهندسة الميكانيكية، وفي مجال النظريات الفيزيائية. ## ٥-١ قاعدة مشتقة ضرب دالتين ### Rule of the derivative of the product of two functions لتكن $ ص = (س + 1)(س² - 2)$. لإيجاد $ \frac{d}{dx} (ص) $, فيمكننا أولا فك الأقواس: $ ص = (س + 1 ) ( س² - 2) = س³ – س - ۲$ ثم نجد $ \frac{d}{dx}(ص) = (س³ – س - ۲) = 2س² – ۱$ ولكن إذا كانت $ ص = (س + ١)(٣س – ۲)$, فمن الصعوبة فك الأقواس لإيجاد $ \frac{d}{dx}(ص)$. للتغلب على هذه الصعوبة يمكنك استخدام قاعدة مشتقة ضرب دالتين (derivative of the product of two functions) الموضحة في النتيجة الآتية: ### نتيجة 1 قاعدة مشتقة ضرب دالتين: $ \frac{d}{dx} (ع × ل) = ع × \frac{d}{dx}( ل) + ل × \frac{d}{dx} (ع)$ يمكن أن تتذكر قاعدة مشتقة ضرب دالتين على النحو: **الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + الدالة الثانية × مشتقة الدالة الأولى** وعليه فإننا نجد مشتقة $ ص = (س) + (۱) (۳) س - (٢)$ على النحو: $ \frac{d}{dx} (ص) = (س + 1) × \frac{d}{dx} (3س - 2) + (3س - 2) × \frac{d}{dx}(س + 1) = 3-1 \times 1 + (٣س – ٢) × 4 × (س) = (س + 1) (3س - 2) + (٣س – ٢) (س + 1) = (س + 1) (3س - 2) + (٣س – ٢) (س + 1) = (س + 1) (3س - 2) + (٣س – ٢) (س + 1) = (س + 1) (3س - 2) + (٣س – ٢) (س + 1) = (س + 1) (3س - 2) (۹س + ٩ + ۱۲ س) = (س + 1) (3س - 2) (۲۱ س) = (س + 1) (3س - 2) (۲۱ س).$ ### برهنة قاعدة مشتقة ضرب دالتين لتكن الدالة $ص = ع ل$ حيث $ع ، ل$ دالتين بدلالة س. زيادة قليلة في س (△س) تؤدي إلى زيادة قليلة في ص، ع، ل (△ص، △ع، △ل) على الترتيب. أي أن: $ ص + △ ص = (ع + △ ع) (ل + △ ل)$ فك الأقواس واستبدل ص بـ ع ل $ ع ل + △ ص = ع ل + ع △ ل + ل △ ع + △ ع △ ل$ اطرح ع ل من الطرفين $△ ص = ع △ ل + ل △ ع + △ ع △ ل$ اقسم الطرفين على △ س $ \frac{△ ص}{△ س} = ع \frac{△ ل}{△ س} + ل \frac{△ ع}{△ س} + △ ع \frac{△ ل}{△ س} $ ......... (1)............ عندما $△ س$ ← •، فإن $△ ص$, $ △ ع$ ، $△ ل$ أيضًا تؤول إلى الصفر. نها $\frac{△ ص}{△ س}$ = $ \frac{d}{dx} (ص)$, نهاية $\frac{△ ع}{△ س}$ = $ \frac{d}{dx} (ع)$, نهاية $ \frac{△ ل}{△ س}$ = $ \frac{d}{dx} (ل)$ فتصبح المعادلة (١) على النحو : $ \frac{d}{dx} (ص) = ع \frac{d}{dx} (ل) + ل \frac{d}{dx} (ع)$ A س ← .A س $ \frac{d}{dx} (ص) = ع \frac{d}{dx} (ل) + ل \frac{d}{dx} (ع)$ ### مثال ۱ إذا كانت معادلة منحنى الدالة $ ص = (۲ س - ١) (٤س + ٥)$, فـ فأوجد $ \frac{d}{dx} (ص)$ ### الحل : $ ص = (۲ س – ١) (٤س + ٥) $ $ \frac{d}{dx} (ص) = (۲ س - ۱ ) \frac{d}{dx}(٤س + ٥) + (٤س + ٥) \frac{d}{dx} (۲ س - ۱ ) $ $ = (۲ س - ۱) ( ٤ ) + (٤س + ٥) (۲ ) $ $ = - ٢ (٢ - ١) + ٤ (٢ س + ٥) + ٤ ( ٤ س + ٥) (٢ ) = ٢٢ س – ١) + ٤ (٤ س + ٥) $ $ = ۱۲ س + ۸$ ### مثال ۲ أوجد الإحداثي السيني للنقاط الواقعة على المنحنى $ ص = (۲ س - ٣) (س) + (٥)$ التي يكون ميل مماس المنحنى عندها يساوي صفرا . ### الحل : $ ص = (۲ س - ٣) (س + ٥)$ $ \frac{d}{dx} (ص) = (۲ س - ۳ ) \frac{d}{dx}(س + ٥) + (س + ٥) \frac{d}{dx} (۲ س - ۳ ) $ $ = (۲ س - ۳)(1) + (س + ٥) (۲ ) = (۲ س – ۳) ( ۳ س + ٥)(1) + (س + ٥)(٢)(٢س - ٣)(٢) = (۲ س – ۳)(۳ س + ٥)(1) + (س + ٥)(٢)(٢س - ٣)(٢)$ $ = (۲ س – ۳) (س + ٥) (٢٣ س) = (۲ س – ۳) (س + ٥) (۱۰ س + ١١) = ٠$ فيكون إما $۲ س - ۳ = •$ أو $(س + ٥ = •$ أو $۱۰ س + ١١ = ٠$ $ س= ٣/٢$ أو $س = - ٥$ أو $س = - ١١/۱۰$ ### مثال ۳ دالة معادلتها $ ص = (س + ۲) (۲ س - ۱)$ : 1. أوجد قيمة الإحداثي السيني لكل نقطة من النقاط الحرجة. 2. حدد نوع كل نقطة حرجة. 3. ارسم منحنى الدالة.. ### الحل: $ \frac{d}{dx} (ص) = (س + ۲) \frac{d}{dx}(۲ س - ۱) + (۲ س - ۱) \frac{d}{dx} (س + ۲) = (س + ۲) ٢ + (۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲) ٢ + (۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲ ) ٢ + ( ۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲ ) ٢ + ( ۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲ ) ٢ + ( ۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ۱ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + ۲) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( ۲ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) ١ = (س + २) ٢ + ( २ س - ۱) १ = (س + २) ٢ + ( २ س - १) १ = (س + २) ٢ + ( २ س - १) १ = (س + २) २ + ( २ س - १) १ = (س + २) ٢ + ( २ س - १) १ = (س + २) २ + ( २ س - १) १ = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + (2स - 1) 1 = (स + 2) 2 + ( ٢س - ١) ١ = (स + 2) 2 + ( ٢स - ١) ١ = (س + 2) 2 + ( २स - १) १ = (स + 2) 2 + ( २स - १) १ = (س + 2) 2 + ( २स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १= (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १= (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢س - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (स + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢س - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (س + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( २स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( २स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( २स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) 2 + ( ٢स - १) १ = (с + 2) १ = (с + 2) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + ٢) १ = (с + = (с + $ = (स + १) (2स - 1) (21स)$ ### مثال ٤ أوجد مشتقة الدالة $ ص = \frac{س² - 5}{ 2س+ 1}$ ### الحل: $ ص = \frac{س² - 5}{ 2س+ 1}$ $ \frac{d}{dx} (ص) = \frac{(2س + 1)\frac{d}{dx} (س² - 5) - (س² - 5)\frac{d}{dx} (2س+ 1)}{(2س+ 1)²} $ $ = \frac{( 2س + 1 )( 2س ) – ( س² - 5 )( 2 )}{( ٢س + 1 )²} $ $ = \frac{10 + س + 2 س² – 2 س²}{( 2س + 1 )²}$ $ = \frac{10 + س}{( 2س + 1 )²}$ ### مثال ٥ أوجد مشتقة الدالة $ ص = \frac{(س + 2)}{(س - 1)}$ ### الحل: $ ص = \frac{(س + 2)}{(س - 1)}$ $\frac{d}{dx} (ص) = \frac{(س - 1)\frac{d}{dx} (س + 2) - (س + 2)\frac{d}{dx} (س - 1)}{(س - 1)²}$ $ = \frac{( س - १)( 1) - ( س + २ )( १ )}{( س - 1)²} $ $ = \frac{( س - १ ) - ( س + २ )}{( س - 1)²} $ $ = \frac{- ३}{( س - 1)²}$ ## ٥-٢ قاعدة مشتقة قسمة دالتين ### Rule of the derivative of the quotient of two functions $ص = \frac{س - 5}{2س + 1}$. يمكننا أن نكتبها في صورة $ص = (س - (٥) (٢س + (۱) '$, ثم نطبق قاعدة مشتقة ضرب دالتين. عادة نعتبر $ ص = \frac{س - 5}{2س + 1} $ في صورة قسمة دالتين، على النحو: $ ص = \frac {ع}{ ل}$, حيث $ع = س - 5$, $ل = 2س + 1$ لتجد مشتقة قسمة دالتين، يمكنك استخدام قاعدة مشتقة قسمة دالتين (rule of the derivative of the quotient of two functions) كما في النتيجة الآتية: ### نتيجة ٢ قاعدة مشتقة قسمة دالتين: $ \frac{d}{dx} (\frac{ع}{ ل}) = \frac{ل \frac{d}{dx} (ع) - ع \frac{d}{dx} (ل)}{ل²}$ , حيث $ل ≠ 0$. ### برهنة قاعدة مشتقة قسمة دالتين لتكن الدالة $ ص = \frac{ع}{ ل}$ , حيث $ع$, $ل$ دوال بدلالة س $ل ≠ 0$. زيادة قليلة في س (△س) تؤدي إلى زيادة قليلة في ص، ع، ل (△ص، △ع، △ل) على الترتيب؛ أي أن: $ ص + △ ص = \frac{ع + △ ع}{ل + △ ل} $ $△ ص = \frac{ع + △ ع}{ل + △ ل} - ص$ $△ ص = \frac{ع + △ ع}{ل + △ ل} - \frac{ع}{ ل}$ $ △ ص= \frac{(ل(ع + △ ع) – ع (ل + △ ل))}{(ل + △ ل) ل }$ اطرح $ص$ من الطرفين استبدل $ص$ بـ $ \frac{ع}{ ل} $ اكتب العبارة في صورة كسر واحد فك الأقواس وبسط $ △ ص = \frac{(ل △ ع - ع △ ل)}{(ل + △ ل) ل }$ افسم الطرفين على △ س $ \frac{△ ص}{△ س} = \frac{(ل △ ع - ع △ ل)}{(ل + △ ل)(ل)(△ س)} $ ......... (1) ................. عندما $△ س$ ← •، فإن $△ ص$, $ △ ع$ ، $△ ل$ أيضًا تؤول إلى الصفر. نهاية $ \frac{△ ص}{△ س} $ = $ \frac{d}{dx} (ص)$, نهاية $ \frac{△ ع}{△ س} $ = $ \frac{d}{dx} (ع)$, نهاية $ \frac{△ ل}{△ س} $ = $ \frac{d}{dx} (ل)$ في المعادلة (۱) ، يقترب الحد $ل △ ل$ في المقام من الصفر كلما اقتربت $△ ل$ من الصفر، و بالتالي تصبح المعادلة (1) كالآتي: $ \frac{d}{dx} (ص) = \frac{ل \frac{d}{dx} (ع) - ع \frac{d}{dx} (ل)}{ل²} $ ### مثال ٤ أوجد مشتقة الدالة $ ص = \frac{س² - 5}{ 2س+ 1}$ ### الحل: $ ص = \frac{س² - 5}{ 2س+ 1}$ $ \frac{d}{dx} (ص) = \frac{(2س + 1)\frac{d}{dx} (س² - 5) - (س² - 5)\frac{d}{dx} (2س+ 1)}{(2س+ 1)²} $ $ = \frac{(2س + 1 )( 2س ) – ( س² - 5 )( 2 )}{( ٢س + 1 )²} $ $ = \frac{10 + س + 2 س² – 2 س²}{( 2س + 1 )²}$ $ = \frac{10 + س}{( 2س + 1 )²}$ ### مثال ٥ أوجد مشتقة الدالة $ ص = \frac{(س + 2)}{(س - 1)}$ ### الحل: $ ص = \frac{(س + 2)}{(س - 1)}$ $ \frac{d}{dx} (ص) = \frac{(س - 1)\frac{d}{dx} (س + 2) - (س + 2)\frac{d}{dx} (س - 1)}{(س - 1)²}$ $ = \frac{( س - १)( 1) - ( س + २ )( १ )}{( س - 1)²} $ $ = \frac{( س - १ ) - ( س + २ )}{( س - 1)²} $ $ = \frac{- ३}{( س - 1)²}$ ## ٥-٣ مشتقات الدوال الأسية ### Derivatives of exponential functions ### مشتقة هـ س للدالة د (س) = هـ س صفة خاصة . إذا استخدمنا برمجية الرسم لنرسم د (س) = هـ س بيان دالة ميل مماس المنحنى (د(س))، فسنجد أن المنحنيين متطابقان، وعليه نحصل على القاعدة الآتية: ### نتيجة 3 $\frac{d}{dx} (هـ س) = هـ س$ ### برهنة قاعدة مشتقة الدالة الأسية للأساس هـ لتوضيح كيفية الحصول على النتيجة أعلاه نتبع الآتي: لتكن الدالة د (س) = هـ س ، ثم حدد نقطتين إحداثيهما السيني س ، س + A س ، حيث A س زيادة قليلة في س. $$ \begin{aligned} & د(س) = هـ س \\ & د (س + A س) \\ & \frac{d}{dx} (د) \\ & \lim_{A س \to 0} \frac{د(س + △ س) – د (س)}{(س + A س) – س} = \lim_{A س \to 0} \frac{هـ س + A س – هـ س}{س + A س – س} = \lim_{A س \to 0} \frac{هـ س (هـ A س - ۱)}{A س} \\ & = \lim_{A س \to 0} \frac {هـ س (هـ A س - 1)}{A س} \end{aligned} $$ لقيم قليلة لـ A س ، كما في الجدول الآتي: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline A س & 0.1 & 0.01 & 0.001 & 0.0001 \\\hline هـ A س - 1 & 1.051709 & 1.005017 & 1.000500 & 1.000050 \\\hline \end{array} $$ نلاحظ من الجدول أن $\lim_{A س \to 0