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# Introducción a las series de tiempo ## ¿Qué es una serie de tiempo? - Una serie de tiempo es una secuencia de puntos de datos, medidos típicamente en intervalos de tiempo uniformes. - Una serie de tiempo es una secuencia de datos indexada en el tiempo, donde el tiempo es la variable independient...

# Introducción a las series de tiempo ## ¿Qué es una serie de tiempo? - Una serie de tiempo es una secuencia de puntos de datos, medidos típicamente en intervalos de tiempo uniformes. - Una serie de tiempo es una secuencia de datos indexada en el tiempo, donde el tiempo es la variable independiente. - Ejemplos: altura de las mareas del océano, conteo de manchas solares, el valor de cierre diario del Dow Jones. ## Objetivos del análisis de series de tiempo - Análisis descriptivo: identificar patrones interesantes en los datos de series de tiempo. - Análisis explicativo: identificar si una variable afecta a otra. - Predicción: Predicción de valores futuros de la serie de tiempo. - Intervención: Comprender cómo una intervención cambia la serie de tiempo. ## Ejemplos de series de tiempo ### Temperatura global mensual La gráfica muestra la temperatura global mensual desde 1850 hasta 2020. Se observa una tendencia creciente en la temperatura a lo largo del tiempo, con variaciones estacionales superpuestas. ### Ventas trimestrales de casas nuevas La gráfica muestra las ventas trimestrales de casas nuevas en EE. UU. desde 1973 hasta 2009. Se observa una fluctuación cíclica en las ventas, con picos y valles que se repiten a lo largo del tiempo. Además, se observa una tendencia general al alza en las ventas durante gran parte del período, seguida de una fuerte caída al final. ## Componentes de una serie de tiempo - **Tendencia:** Un movimiento a largo plazo en una serie de tiempo. - **Ciclo:** Un patrón que se repite cada pocos años. - **Estacionalidad:** Un patrón que se repite cada año. - **Ruido:** Variación aleatoria en una serie de tiempo. ## Descomposición de series de tiempo - Descomponer una serie de tiempo significa separarla en sus componentes: tendencia, estacionalidad y ruido. - Esto puede ayudar a comprender los patrones subyacentes en los datos y a hacer mejores predicciones. ### Descomposición aditiva $datos = tendencia + estacionalidad + ruido$ ### Descomposición multiplicativa $datos = tendencia \cdot estacionalidad \cdot ruido$ ## Promedios móviles - Un promedio móvil es una forma de suavizar una serie de tiempo tomando el promedio de un número fijo de puntos de datos. - Esto puede ayudar a eliminar el ruido y resaltar la tendencia subyacente. ### Ejemplo Para una serie de tiempo $\{y_1, \dots, y_n \}$, el promedio móvil de orden $m$ se define como: $\hat{y}_t = \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} y_{t-i}$ ## Suavizado exponencial simple - Un método para pronosticar series de tiempo univariadas sin una tendencia o patrón estacional. - Requiere un parámetro, $\alpha$, llamado factor de suavizado o constante de suavizado. ### Fórmula $\hat{y}_{t+1|t} = \alpha y_t + (1 - \alpha) \hat{y}_{t|t-1}$ Donde: - $\hat{y}_{t+1|t}$ es el valor pronosticado para el tiempo $t+1$ dado los datos hasta el tiempo $t$. - $y_t$ es el valor real en el tiempo $t$. - $\hat{y}_{t|t-1}$ es el valor pronosticado para el tiempo $t$ dado los datos hasta el tiempo $t-1$. - $\alpha$ es el factor de suavizado, con $0 \le \alpha \le 1$. ## Métodos de suavizado exponencial ### Suavizado exponencial doble (Holt) - Método para pronosticar series de tiempo univariadas con tendencia pero sin patrón estacional. #### Ecuaciones Nivel: $\qquad l_t = \alpha y_t + (1 - \alpha)(l_{t-1} + b_{t-1})$ Tendencia: $\qquad b_t = \beta(l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta)b_{t-1}$ Pronóstico: $\qquad \hat{y}_{t+h|t} = l_t + hb_t$ Donde: - $l_t$ representa el nivel de la serie en el tiempo $t$. - $b_t$ representa la tendencia de la serie en el tiempo $t$. - $\alpha$ es el factor de suavizado para el nivel, con $0 \le \alpha \le 1$. - $\beta$ es el factor de suavizado para la tendencia, con $0 \le \beta \le 1$. - $h$ es el horizonte de pronóstico. ### Suavizado exponencial triple (Holt-Winters) - Método para pronosticar series de tiempo univariadas con tendencia y patrón estacional. #### Métodos - **Aditivo:** Se utiliza cuando la variación estacional no cambia con el nivel de la serie. - **Multiplicativo:** Se utiliza cuando la variación estacional cambia proporcionalmente con el nivel de la serie. ##### Ecuaciones (Modelo Aditivo) Nivel: $\qquad l_t = \alpha(y_t - s_{t-m}) + (1 - \alpha)(l_{t-1} + b_{t-1})$ Tendencia: $\qquad b_t = \beta(l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta)b_{t-1}$ Estacionalidad: $\qquad s_t = \gamma(y_t - l_t - b_t) + (1 - \gamma)s_{t-m}$ Pronóstico: $\qquad \hat{y}_{t+h|t} = l_t + hb_t + s_{t+h-m}$ ##### Ecuaciones (Modelo Multiplicativo) Nivel: $\qquad l_t = \alpha(y_t / s_{t-m}) + (1 - \alpha)(l_{t-1} + b_{t-1})$ Tendencia: $\qquad b_t = \beta(l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta)b_{t-1}$ Estacionalidad: $\qquad s_t = \gamma(y_t / (l_t + b_t)) + (1 - \gamma)s_{t-m}$ Pronóstico: $\qquad \hat{y}_{t+h|t} = (l_t + hb_t)s_{t+h-m}$ Donde: - $l_t$ representa el nivel de la serie en el tiempo $t$. - $b_t$ representa la tendencia de la serie en el tiempo $t$. - $s_t$ representa el componente estacional de la serie en el tiempo $t$. - $m$ es el número de periodos en una temporada. - $\alpha$ es el factor de suavizado para el nivel, con $0 \le \alpha \le 1$. - $\beta$ es el factor de suavizado para la tendencia, con $0 \le \beta \le 1$. - $\gamma$ es el factor de suavizado para la estacionalidad, con $0 \le \gamma \le 1$. - $h$ es el horizonte de pronóstico.