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# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1. Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d'équations linéaires, qui sont des ensembles d'équations linéaires avec plusieurs variables. Les systèmes d'équations linéaires appar...

# Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ## Chapitre 1. Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier les systèmes d'équations linéaires, qui sont des ensembles d'équations linéaires avec plusieurs variables. Les systèmes d'équations linéaires apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, des sciences et de l'ingénierie, et il est donc important de comprendre comment les résoudre. **Définition 1.1:** Une équation linéaire en les variables $x_1, x_2,..., x_n$ est une équation de la forme $a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n = b$ où $a_1, a_2,..., a_n$ et $b$ sont des constantes réelles. Les constantes $a_1, a_2,..., a_n$ sont appelées les coefficients de l'équation, et la constante $b$ est appelée le terme constant. Par exemple, l'équation $2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5$ est une équation linéaire en les variables $x_1, x_2, x_3$. Les coefficients de l'équation sont 2, -3 et 1, et le terme constant est 5. Par contre, l'équation $x_1^2 + x_2 = 4$ n'est pas une équation linéaire, car elle contient le terme $x_1^2$, qui n'est pas linéaire. **Définition 1.2:** Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires avec les mêmes variables. Par exemple, le système d'équations $2x_1 - x_2 = 3$ $x_1 + x_2 = 1$ est un système d'équations linéaires avec les variables $x_1$ et $x_2$. Un système d'équations linéaires peut être écrit sous la forme $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$ $...$ $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$ où $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes réelles. ### 1.2 Résolution des systèmes d'équations linéaires Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. Dans ce chapitre, nous allons étudier deux méthodes: la méthode d'élimination de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. **Définition 1.3:** Une solution d'un système d'équations linéaires est un ensemble de valeurs pour les variables qui satisfont toutes les équations du système. Par exemple, la paire de valeurs $x_1 = 2$ et $x_2 = 1$ est une solution du système d'équations $2x_1 - x_2 = 3$ $x_1 + x_2 = 3$ car elle satisfait les deux équations. Un système d'équations linéaires peut avoir une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution. **Définition 1.4:** Un système d'équations linéaires est dit compatible s'il a au moins une solution. Un système d'équations linéaires est dit incompatible s'il n'a aucune solution. Par exemple, le système d'équations $2x_1 - x_2 = 3$ $x_1 + x_2 = 0$ est compatible, car il a la solution unique $x_1 = 1$ et $x_2 = -1$. Par contre, le système d'équations $x_1 + x_2 = 3$ $x_1 + x_2 = 0$ est incompatible, car il n'a aucune solution. Deux systèmes d'équations linéaires sont dits équivalents s'ils ont les mêmes solutions. Par exemple, les systèmes d'équations $2x_1 - x_2 = 3$ $x_1 + x_2 = 0$ et $x_1 = 1$ $x_2 = -1$ sont équivalents, car ils ont la même solution. ### 1.3 Opérations élémentaires La méthode d'élimination de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan sont basées sur l'application d'opérations élémentaires sur les équations d'un système linéaire pour le transformer en un système équivalent plus facile à résoudre. **Définition 1.5:** Les opérations élémentaires sur les équations d'un système linéaire sont les suivantes: 1. Échanger deux équations. 2. Multiplier une équation par une constante non nulle. 3. Ajouter un multiple d'une équation à une autre équation. Il est important de noter que l'application d'opérations élémentaires sur un système d'équations linéaires ne change pas ses solutions. En d'autres termes, le système d'équations linéaires obtenu après l'application d'opérations élémentaires est équivalent au système d'équations linéaires initial. ### 1.4 Méthode d'élimination de Gauss La méthode d'élimination de Gauss est une méthode pour résoudre les systèmes d'équations linéaires qui consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les équations du système pour le transformer en un système échelonné. **Définition 1.6:** Un système d'équations linéaires est dit échelonné si: 1. Le premier coefficient non nul de chaque équation (appelé pivot) est à droite du premier coefficient non nul de l'équation précédente. 2. Les équations dont tous les coefficients sont nuls sont en bas du système. Par exemple, le système d'équations $x_1 + x_2 = 3$ $x_2 = -1$ est échelonné. Une fois qu'un système d'équations linéaires a été transformé en un système échelonné, il est facile de le résoudre en utilisant la méthode de substitution arrière. La méthode d'élimination de Gauss peut être résumée comme suit: 1. Écrire le système d'équations linéaires sous forme matricielle. 2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la transformer en une matrice échelonnée. 3. Écrire le système d'équations linéaires correspondant à la matrice échelonnée. 4. Résoudre le système d'équations linéaires échelonné en utilisant la méthode de substitution arrière. ### 1.5 Méthode de Gauss-Jordan La méthode de Gauss-Jordan est une variante de la méthode d'élimination de Gauss qui consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les équations du système pour le transformer en un système échelonné réduit. **Définition 1.7:** Un système d'équations linéaires est dit échelonné réduit si: 1. Il est échelonné. 2. Le premier coefficient non nul de chaque équation (pivot) est égal à 1. 3. Les coefficients au-dessus et en dessous de chaque pivot sont égaux à 0. Par exemple, le système d'équations $x_1 = 4$ $x_2 = -1$ est échelonné réduit. Une fois qu'un système d'équations linéaires a été transformé en un système échelonné réduit, la solution du système est immédiate. La méthode de Gauss-Jordan peut être résumée comme suit: 1. Écrire le système d'équations linéaires sous forme matricielle. 2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la transformer en une matrice échelonnée réduite. 3. Écrire la solution du système d'équations linéaires correspondant à la matrice échelonnée réduite. ### 1.6 Exemples Dans cette section, nous allons présenter quelques exemples de résolution de systèmes d'équations linéaires en utilisant la méthode d'élimination de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. **Exemple 1.1:** Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss: $2x_1 + x_2 = 3$ $x_1 - x_2 = 0$ **Solution:** 1. Écrire le système d'équations linéaires sous forme matricielle: $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ 2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la transformer en une matrice échelonnée. $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 3. Écrire le système d'équations linéaires correspondant à la matrice échelonnée: $x_1 - x_2 = 0$ $x_2 = 1$ 4. Résoudre le système d'équations linéaires échelonné en utilisant la méthode de substitution arrière: $x_2 = 1$ $x_1 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$ Donc, la solution du système d'équations linéaires est $x_1 = 1$ et $x_2 = 1$. **Exemple 1.2:** Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode de Gauss-Jordan: $x_1 + x_2 = 3$ $x_1 - x_2 = 1$ **Solution:** 1. Écrire le système d'équations linéaires sous forme matricielle: $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice pour la transformer en une matrice échelonnée réduite. $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 3. Écrire la solution du système d'équations linéaires correspondant à la matrice échelonnée réduite: $x_1 = 2$ $x_2 = 1$ Donc, la solution du système d'équations linéaires est $x_1 = 2$ et $x_2 = 1$. ### 1.7 Exercices Dans cette section, nous allons présenter quelques exercices pour que vous puissiez vous entraîner à résoudre des systèmes d'équations linéaires en utilisant la méthode d'élimination de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. 1. Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss: $x_1 + x_2 = 5$ $x_1 - x_2 = 1$ 2. Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode de Gauss-Jordan: $2x_1 + x_2 = 4$ $x_1 - x_2 = 1$ 3. Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode d'élimination de Gauss: $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ $x_1 - x_2 + x_3 = 2$ $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$ 4. Résoudre le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode de Gauss-Jordan: $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ $x_1 - x_2 + x_3 = 2$ $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$ ### 1.8 Applications Les systèmes d'équations linéaires ont de nombreuses applications en mathématiques, en sciences et en ingénierie. Dans cette section, nous allons présenter quelques exemples d'applications des systèmes d'équations linéaires. * **Résolution de circuits électriques:** Les systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisés pour résoudre les circuits électriques en utilisant les lois de Kirchhoff. * **Analyse de structures:** Les systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisés pour analyser les structures en utilisant la méthode des éléments finis. * **Optimisation linéaire:** Les systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisés pour résoudre les problèmes d'optimisation linéaire. * **Régression linéaire:** Les systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisés pour effectuer une régression linéaire. * **Cryptographie:** Les systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisés en cryptographie. ### 1.9 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons étudié les systèmes d'équations linéaires, qui sont des ensembles d'équations linéaires avec plusieurs variables. Nous avons vu comment résoudre les systèmes d'équations linéaires en utilisant la méthode d'élimination de Gauss et la méthode de Gauss-Jordan. Nous avons également présenté quelques exemples d'applications des systèmes d'équations linéaires.