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# Algèbre Linéaire et Géométrie ## Chapitre 1 : Vecteurs dans le plan et dans l'espace ### 1.1 Introduction Ce chapitre commence par l'étude des vecteurs du plan, puis généralise aux vecteurs de l'espace. ### 1.2 Vecteurs géométriques #### Définition 1.1 Un vecteur géométrique $v$ est défini pa...

# Algèbre Linéaire et Géométrie ## Chapitre 1 : Vecteurs dans le plan et dans l'espace ### 1.1 Introduction Ce chapitre commence par l'étude des vecteurs du plan, puis généralise aux vecteurs de l'espace. ### 1.2 Vecteurs géométriques #### Définition 1.1 Un vecteur géométrique $v$ est défini par : * Une direction * Un sens * Une longueur (ou norme), notée $\|v\|$. #### Définition 1.2 Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur. #### Définition 1.3 Si $A$ et $B$ sont deux points distincts, alors le vecteur géométrique d'origine $A$ et d'extrémité $B$ est noté $\overrightarrow{AB}$. La longueur du segment $[AB]$ est la norme de $\overrightarrow{AB}$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$. #### Définition 1.4 Si $v$ et $w$ sont deux vecteurs, alors leur somme $v + w$ est obtenue en plaçant l'origine de $w$ à l'extrémité de $v$. Le vecteur $v + w$ est le vecteur allant de l'origine de $v$ à l'extrémité de $w$. #### Définition 1.5 Si $v$ est un vecteur et $c$ un scalaire (nombre réel), alors le vecteur $cv$ est le vecteur de même direction que $v$, de sens identique si $c > 0$, de sens opposé si $c < 0$, et de longueur $|c| \|v\|$. ### 1.3 Vecteurs en coordonnées #### Définition 1.6 Si on fixe un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j})$ du plan, alors tout vecteur $v$ peut s'écrire de manière unique comme combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ : $v = a\vec{i} + b\vec{j}$ Les scalaires $a$ et $b$ sont les composantes de $v$ par rapport au repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On écrit aussi $v = (a, b)$. #### Proposition 1.1 Soient $v = (a_1, b_1)$ et $w = (a_2, b_2)$ deux vecteurs, et $c$ un scalaire. Alors : * $v + w = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ * $cv = (ca_1, cb_1)$ #### Définition 1.7 La norme d'un vecteur $v = (a, b)$ est donnée par : $\|v\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ #### Définition 1.8 La distance entre deux points $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$, c'est-à-dire : $d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ### 1.4 Produit scalaire #### Définition 1.9 Le produit scalaire de deux vecteurs $v$ et $w$ est défini par : $v \cdot w = \|v\| \|w\| \cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $v$ et $w$. #### Proposition 1.2 Si $v = (a_1, b_1)$ et $w = (a_2, b_2)$, alors : $v \cdot w = a_1a_2 + b_1b_2$ #### Proposition 1.3 Deux vecteurs non nuls $v$ et $w$ sont orthogonaux si et seulement si $v \cdot w = 0$. ### 1.5 Vecteurs dans l'espace * Similaire au plan, mais avec trois composantes. * Repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. * $v = (a, b, c) = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$. * Norme : $\|v\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. * Produit scalaire : $v \cdot w = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2$ pour $v = (a_1, b_1, c_1)$ et $w = (a_2, b_2, c_2)$. ### 1.6 Produit vectoriel #### Définition 1.10 Le produit vectoriel de deux vecteurs $v$ et $w$ dans l'espace est un vecteur noté $v \times w$ tel que : * Sa direction est perpendiculaire au plan contenant $v$ et $w$. * Son sens est donné par la règle de la main droite. * Sa norme est $\|v \times w\| = \|v\| \|w\| \sin(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $v$ et $w$. #### Proposition 1.4 Si $v = (a_1, b_1, c_1)$ et $w = (a_2, b_2, c_2)$, alors : $v \times w = (b_1c_2 - c_1b_2, c_1a_2 - a_1c_2, a_1b_2 - b_1a_2)$ ### 1.7 Produit mixte #### Définition 1.11 Le produit mixte de trois vecteurs $u$, $v$ et $w$ est le scalaire défini par : $(u, v, w) = u \cdot (v \times w)$ Géométriquement, $|(u, v, w)|$ est le volume du parallélépipède formé par les vecteurs $u$, $v$ et $w$. #### Proposition 1.5 Si $u = (a_1, b_1, c_1)$, $v = (a_2, b_2, c_2)$ et $w = (a_3, b_3, c_3)$, alors: $(u, v, w) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$