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# Análisis de Fourier El análisis de Fourier es una herramienta matemática fundamental utilizada para descomponer funciones o señales complejas en componentes más simples. ## Series de Fourier ### Forma trigonométrica Una función periódica $f(t)$ con período $T$ puede representarse mediante la s...

# Análisis de Fourier El análisis de Fourier es una herramienta matemática fundamental utilizada para descomponer funciones o señales complejas en componentes más simples. ## Series de Fourier ### Forma trigonométrica Una función periódica $f(t)$ con período $T$ puede representarse mediante la serie de Fourier: $f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)]$ donde $\omega = \frac{2\pi}{T}$ es la frecuencia fundamental, y los coeficientes están dados por: * $a_0 = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt$ * $a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n\omega t) dt$ * $b_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n\omega t) dt$ $t_0$ es un punto arbitrario en el tiempo. ### Forma compleja La serie de Fourier también puede expresarse en forma compleja: $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega t}$ donde los coeficientes $c_n$ se calculan como: $c_n = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\omega t} dt$ La relación entre los coeficientes de las formas trigonométricas y complejas es: * $a_0 = c_0$ * $a_n = c_n + c_{-n}$ * $b_n = j(c_n - c_{-n})$ ## Transformada de Fourier La transformada de Fourier extiende el concepto de las series de Fourier a funciones no periódicas. ### Definición La transformada de Fourier de una función $f(t)$ se define como: $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$ donde $\omega$ representa la frecuencia. ### Transformada inversa La función original $f(t)$ puede recuperarse mediante la transformada inversa de Fourier: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$ ## Propiedades La transformada de Fourier tiene varias propiedades útiles, incluyendo: * Linealidad * Escalamiento * Desplazamiento en el tiempo * Desplazamiento en frecuencia * Convolución * Diferenciación ## Aplicaciones El análisis de Fourier tiene aplicaciones en diversos campos, como: * Procesamiento de señales * Análisis de vibraciones * Acústica * Óptica * Medicina (MRI, CT) * Telecomunicaciones ## Limitaciones * El análisis de Fourier es menos efectivo para señales no estacionarias. * Requiere que la función sea integrable o de energía finita.