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# Análisis de Fourier El análisis de Fourier es una herramienta fundamental en el procesamiento de señales y tiene aplicaciones en diversos campos como: * Procesamiento de audio e imágenes * Telecomunicaciones * Análisis de vibraciones * Resonancia magnética La idea principal detrás del a...

# Análisis de Fourier El análisis de Fourier es una herramienta fundamental en el procesamiento de señales y tiene aplicaciones en diversos campos como: * Procesamiento de audio e imágenes * Telecomunicaciones * Análisis de vibraciones * Resonancia magnética La idea principal detrás del análisis de Fourier es que cualquier señal puede ser descompuesta en una suma de senos y cosenos de diferentes frecuencias. ## Series de Fourier Una función periódica $f(t)$ con periodo $T$ puede ser expresada como una serie de Fourier: $$ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] $$ Donde: * $a_0$ es el valor medio de la función en un periodo. * $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes de Fourier que determinan la amplitud de los cosenos y senos de frecuencia $n\omega_0$. * $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ es la frecuencia fundamental. Los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes integrales: $$ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt $$ $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt $$ $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt $$ ## Transformada de Fourier La transformada de Fourier es una extensión de las series de Fourier para señales no periódicas. La transformada de Fourier de una señal $f(t)$ se define como: $$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt $$ Donde: * $F(\omega)$ es la representación en frecuencia de la señal $f(t)$. * $\omega$ es la frecuencia en radianes por segundo. * $j$ es la unidad imaginaria. La transformada inversa de Fourier permite reconstruir la señal original a partir de su representación en frecuencia: $$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega $$ ### Propiedades de la Transformada de Fourier La transformada de Fourier tiene varias propiedades útiles, incluyendo: * Linealidad: $aF(w) + bG(w)$ * Escalamiento: $\frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})$ * Desplazamiento en el tiempo: $F(\omega)e^{-j\omega t_0}$ * Desplazamiento en frecuencia: $F(\omega - \omega_0)$ * Convolución: $F(\omega)G(\omega)$ ## Transformada Discreta de Fourier (DFT) La Transformada Discreta de Fourier (DFT) es una versión de la transformada de Fourier adaptada para señales discretas, es decir, señales muestreadas en puntos discretos en el tiempo. La DFT es ampliamente utilizada en el procesamiento digital de señales debido a que puede ser implementada eficientemente en computadoras. Para una señal discreta $x[n]$ de longitud $N$, la DFT se define como: $$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N} $$ Donde: * $X[k]$ es la representación en frecuencia de la señal discreta $x[n]$. * $k$ es el índice de frecuencia, que va de 0 a $N-1$. * $N$ es el número de muestras de la señal. La transformada inversa discreta de Fourier (IDFT) se utiliza para reconstruir la señal original a partir de su representación en frecuencia: $$ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} $$ ## Fast Fourier Transform (FFT) La Fast Fourier Transform (FFT) es un algoritmo eficiente para calcular la DFT. Reduce significativamente el número de operaciones necesarias para calcular la DFT, lo que la hace práctica para el procesamiento de señales en tiempo real y otras aplicaciones donde la velocidad es crítica. El algoritmo FFT se basa en la descomposición recursiva de la DFT en etapas más pequeñas. Existen varias implementaciones de FFT, pero una de las más comunes es el algoritmo de Cooley-Tukey, que divide la DFT en dos DFTs más pequeñas de tamaño N/2 en cada etapa. Esto reduce el número de operaciones de $O(N^2)$ para la DFT directa a $O(N \log N)$ para la FFT. ## Aplicaciones El análisis de Fourier es utilizado en una amplia variedad de aplicaciones, incluyendo: * **Procesamiento de audio**: Ecualización, compresión y análisis de audio. * **Procesamiento de imágenes**: Compresión, filtrado y detección de bordes. * **Telecomunicaciones**: Modulación y demodulación de señales, análisis de espectro. * **Análisis de vibraciones**: Detección de fallas en maquinaria, análisis de resonancia. * **Resonancia magnética**: Reconstrucción de imágenes médicas.