9-дәріс. Жазықтықтағы түзу. PDF

9-дəріс. Жазықтықтағы түзудің теңдеулері 1. Берілген нүктеден берілген векторға перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі Түзудің бойында жатқан M 0 (x0 , y0 ) нүктесі жəне оған перпендикуляр n = ( A, B ) векторы берілген. Түзудің бойынан кез келген M (x; y ) нүктесін аламыз. Сонд...

9-дəріс. Жазықтықтағы түзудің теңдеулері 1. Берілген нүктеден берілген векторға перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі Түзудің бойында жатқан M 0 (x0 , y0 ) нүктесі жəне оған перпендикуляр n = ( A, B ) векторы берілген. Түзудің бойынан кез келген M (x; y ) нүктесін аламыз. Сонда M 0 M = (x - x0 ; y - y0 ) болады. M 0 M векторы түзудің бойында жатқандықтан M 0 M ^ n болады. Сондықтан олардың скалярлық көбейтіндісі n × M 0 M = 0 , яғни A(x - x0 ) + B( y - y0 ) = 0 (4.1) Бұдан n = ( A, B ) векторы түзуге перпендикуляр екендігі шығады. Түзуге перпендикуляр кез келген вектор түзудің нормалы немесе нормалдық векторы деп аталады. 2. Түзудің жалпы теңдеуі (4.1) теңдеуінде жақшаларды ашып, - Ax0 - By0 = C деп белгілесек, түзудің жалпы теңдеуі шығады Ax + By + C = 0 (4.2) Егер А=0 болса, онда түзу Ох өсіне параллель өтеді; егер В=0 болса, онда түзу Оу өсіне параллель өтеді; егер С=0 болса, онда түзу жүйенің бас нүктесі арқылы өтеді. 3. Түзудің бұрыштық коэффициент арқылы берілген теңдеуі. Егер B ¹ 0 болса, онда A C A C (4.2) теңдеуінен y = - x - ( - = k , - = b ): B B B B y = kx + b (4.3) 4. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі. Түзу M 0 (x0 , y0 ) жəне M 1 (x1 , y1 ) нүктелерінен өтсін. Түзудің бойынан кез келген M (x; y ) нүктесін аламыз. Сонда бұл түзудің теңдеуі төмендегідей болады: x - x0 y - y0 = (4.4) x1 - x0 y1 - y0 5. Түзудің кесінділік теңдеуі Түзу M 0 (a , 0 ) жəне M 1 (0, b) нүктелері арқылы өтсін. Сонда (4.4) формуласынан түзудің кесінділік теңдеуін аламыз: x y + =1 (4.5) a b 6. Берілген нүктеден өтетін түзудің теңдеуі y - y0 = k (x - x0 ) (4.6) 7. Екі түзудің арасындағы бұрыш. y = k1 x + b1 жəне y = k2 x + b2 түзулерінің арасындағы бұрыштың формуласы: k -k tgj = 2 1 (4.7) 1 + k1 k 2 Осыдан егер түзулер параллель болса, онда k1 = k2 , ал түзулер перпендикуляр болса, онда 1 k1 = - болады. Түзулер A1 x + B1 y + C1 = 0 жəне A2 x + B2 y + C2 = 0 теңдеулерімен k2 берілсе, онда n1 = ( A1 ; B1 ), n 2 = ( A2 ; B2 ) болғандықтан түзулердің арасындағы бұрыш осы екі нормальдің арасындағы бұрышқа тең:  n1 n2 A1 A2 + B1 B2 cos j = = (4.8) n1 n2 A12 + B12 × A22 + B22 A1 B1 Осыдан егер түзулер параллель болса, онда = , ал перпендикуляр болса, онда A2 B2 A1 A2 + B1B2 = 0 болады. 8. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. M 0 (x0 , y0 ) нүктесінен Ax + By + C = 0 түзуіне дейінгі қашықтықтың формуласы: Ax0 + By0 + C d= (4.9) A2 + B 2 2-мысал. O(0;0 ) нұктесінен 6 x + 8 y + 20 = 0 тұзуіне дейінгі қашықтықты табу керек. 6 × 0 + 8 × 0 + 20 20 d= = =2 6 2 + 82 10 Бақылау сұрақтар: 1. Скаляр көбейтіндінің векторлық көбейтіндіден айырмашылығы неде? 2. Аралас көбейтінді дегеніміз не? 3. Векторлық жəне аралас көбейтінділердің геометриялық мағынасын түсіндіріңіз. 4. Жазықтықтағы түзудің теңдеуіндегі бұрыштық коэффициенттің геометриялық мағынасы қандай? 5. Жазықтықтағы екі түзудің параллельдік жəне перпендикулярлық шарттарын айтыңыз.