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LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD TEMA 9 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 9.1. INTRODUCCIÓN 9.2. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 9.2.1. Espacio muestral 9.2.2. Suceso 9.2.3. Operaciones de sucesos 9.2.4. Tipos de sucesos 9.2.5. Propiedades de la unión e intersección...
LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD TEMA 9 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 9.1. INTRODUCCIÓN 9.2. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 9.2.1. Espacio muestral 9.2.2. Suceso 9.2.3. Operaciones de sucesos 9.2.4. Tipos de sucesos 9.2.5. Propiedades de la unión e intersección de sucesos 9.3. LA PROBABILIDAD Y SUS ENFOQUES 9.4. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD 9.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA 9.5.1. Probabilidad e información 9.5.2. Definición formal de la probabilidad condicionada 9.5.3. Definición axiomática de la probabilidad condicionada 9.5.4. Independencia estocástica 9.6. TEOREMAS DE LA INTERSECCIÓN, PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES 9.6.1. Teorema de la intersección 9.6.2. Teorema de la probabilidad total 9.6.3. Teorema de Bayes 181 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 9.1.- INTRODUCCIÓN La teoría matemática de la probabilidad contiene los fundamentos teóricos que permiten el paso del nivel descriptivo al inferencial. El punto de partida obligatorio en esta lección es el de la distinción entre fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios, pues estos últimos son el objeto de estudio de la Teoría de la Probabilidad. a) Experimento determinista: es cualquier experiencia u observación cuyo resultado es conocido antes de su realización. En otras palabras, cada vez que se presenta el conjunto de circunstancias C, siempre se produce el acontecimiento A. Por ejemplo: Lanzarse de un avión sin paracaídas, pinchar un globo, poner en marcha un televisor desenchufado, etc. b) Experimento aleatorio o estocástico: es cualquier experiencia u observación que puede dar lugar a varios resultados sin que sea posible asegurar con certeza cuál de ellos va a ocurrir. Es decir, si se presenta el conjunto de circunstancias C, unas veces se produce el acontecimiento A y otras veces no, siendo imposible predecirlo. Por ejemplo: Lanzamiento de un dado o moneda; consumo de gasolina semanal de un coche; peso de un ciudadano español elegido al azar, consumo diario de electricidad de una vivienda; etc. En el campo de la economía y de la empresa, son los experimentos aleatorios los más comunes ya que, en general, en las ciencias sociales la toma de decisiones es realizada por personas, con lo que ello lleva de incertidumbre. En general, los experimentos aleatorios se caracterizan por: 1) Se conocen previamente los posibles resultados del experimento. 2) Es imposible la predicción del resultado del experimento antes de realizarlo. 3) En sucesivas realizaciones del experimento, con las mismas condiciones iniciales, pueden aparecer distintos resultados. 182 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 9.2.- ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS 9.2.1.- Espacio muestral El espacio muestral o espacio de sucesos E es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Es un concepto importante en la Teoría de la Probabilidad, pues si queremos conocer cuál es el resultado probable de un experimento (cálculo de la probabilidad), hay que saber cuáles son los resultados posibles (espacio muestral). Por ejemplo: a) Lanzar un dado. El espacio muestral E será: E = 1,2,3,4,5,6 b) Lanzamiento de dos dados. El espacio muestral E será: E (1,1)(1,2)..(1,6); (2,1)..(2, 6); (3,1)..(3, 6); (4,1)..(4, 6); (5,1).(5,6 ); (6,1)..(6, 6) c) Coches que entran diariamente en un garaje: E = 0,1,2,3,4,5,... d) Tiempo de vida de una bombilla: E = 0,+ En función del número de resultados posibles, podemos distinguir tres tipos de espacios muestrales: a) Espacio muestral finito: es aquél que contiene un conjunto finito de resultados. Es el caso de los ejemplos a) y b). Por ejemplo: Nº de plazas vacías por vuelo en un avión de 200 plazas. Curso realizado por un estudiante universitario seleccionado al azar. Resultado del lanzamiento de una moneda. b) Espacio muestral infinito numerable: es aquél que tiene infinitos elementos pero éstos se pueden poner en biyección con los números naturales. Es el caso del ejemplo c). Por ejemplo: Número de personas que entran por hora en un almacén. Número de accidentes diarios en una ciudad. 183 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I c) Espacio muestral continuo: es aquél que contiene infinitos elementos que forman un intervalo, sin poderse poner en biyección con los números naturales. Es el caso del ejemplo d). Por ejemplo: Peso de una persona seleccionada al azar. Temperatura diaria en un lugar. 9.2.2.- Suceso Un suceso es cualquier proposición formulada en relación con el experimento, y que en función del resultado obtenido en la realización del mismo puede afirmarse si dicha proposición ha acontecido o no. En definitiva, es cualquier subconjunto del espacio muestral, por lo que estará constituido por uno o varios elementos de E. Un suceso será elemental cuando coincida con un único elemento del espacio muestral. Será compuesto cuando esté formado por un conjunto de sucesos elementales. Por ejemplo: Lanzamiento de un dado: Sucesos elementales: "Salir el número tres". "Salir el número dos". Sucesos compuestos: " Salir un número par". "Salir un número menor que tres". 9.2.3.- Operaciones de sucesos Para dotar a los sucesos de una estructura matemática que posteriormente permita "medir" su aleatoriedad, hay que introducir una serie de operaciones: a) Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, se llama unión de A y B al suceso que ocurre si al menos uno de los dos ocurre, es decir, si ocurre A, ocurre B, o ambos a la vez. Gráficamente, se puede representar mediante el diagrama de Venn, de la siguiente manera: 184 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD E A B AUB b) Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B, asociados a un experimento aleatorio, se llama intersección de A y B, al suceso que ocurre siempre que ocurran A y B simultáneamente. Intersección de sucesos : A B Gráficamente, se puede representar mediante el diagrama de Venn, de la siguiente manera: E A B AB c) Complementación o negación: Dado un suceso A asociado a un experimento aleatorio, la complementación consiste en obtener un suceso A denominado suceso complementario, que es aquél que ocurre si no ocurre A, y que no ocurre si ocurre A. Por tanto: _ E= A A Gráficamente: E A A 185 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I d) Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, se llama diferencia entre A y B, denotada por A-B, al suceso que ocurre sí y sólo sí ocurre A y no ocurre B. Lógicamente: A- B= A B Gráficamente: E A B A-B 9.2.4.- Tipos de sucesos Hay distintos tipos de sucesos: a) Suceso seguro, E: Es aquél que ocurre siempre; luego, se trata del propio espacio muestral. Lógicamente: E= A A b) Suceso imposible : Es aquél que no ocurre nunca. Lógicamente, el suceso complementario del suceso imposible es el suceso seguro y viceversa. Por tanto: = E E= c) Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: Dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente; lógicamente, su intersección es el suceso imposible: A B= Gráficamente: 186 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD E A B d) Suceso incluido en otro: Dados dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, el suceso A está incluido en el suceso B si cada vez que ocurra A también ocurre B. Se denotará por: A B Gráficamente: E B A e) Suceso condicionado: Dados 2 sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, se define el suceso A condicionado a B, denotado por A/B, como aquel suceso que consiste en que ocurra A sabiendo que B ha ocurrido. Ejemplo 9.1. Sea el experimento consistente en el lanzamiento de un dado y sean los sucesos: A = "El resultado es un número par" B = "El resultado es un número mayor o igual que tres" C = "El resultado es uno o cinco". E 1,2,3,4,5,6 Podemos observar las siguientes implicaciones: A 2,4,6 A 1,3,5 el resultado es un número impar B 3,4,5,6 B 1,2 el resultado es un número menor que tres 187 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I C 1,5 C 2,3,4,6 A C 1,2,4,5,6 resultado par o uno o cinco B C 1,3,4,5,6 resultado mayor o igual a tres o uno o cinco A B C 1,2,3,4,5,6 E A B 4,6 resultado par y mayor o igual a tres A y B no son incompatibles B C 5 resultado mayor que tres y uno o cinco B y C no son incompatib les A C resultado par y uno o cinco A y C son incompatib les A - B = 2 : resultado par pero no mayor o igual a tres C/B = 5 : resultado uno o cinco sabiendo que es mayor o igual a tres 9.2.5.- Propiedades de la unión e intersección de sucesos a) Asociativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C b) Conmutativa A B= B A A B= B A c) Elemento neutro para la unión : A = A E para la intersección : A E = A d) Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) e) Leyes de Morgan Caso 1 : A B = A B Para 3 sucesos : A B C = A B C Caso 2 : A B = A B Para 3 sucesos : A B C = A B C 188 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD En este último caso, gráficamente sería: E E A B A B A Caso 1 Caso 2 9.3.- LA PROBABILIDAD Y SUS ENFOQUES Ya se ha indicado que en cualquier experimento aleatorio es imposible predecir el resultado de antemano. Sin embargo, existe una ley basada en el azar o incertidumbre que intenta explicar la aparición de estos resultados; esta ley es la Probabilidad. El concepto de probabilidad puede tener muchas interpretaciones empíricas, de las que destacamos: a) Interpretación objetiva, clásica o de Laplace La probabilidad de un suceso es considerada como la relación entre los casos favorables y los casos posibles totales del experimento, de forma que si dos personas calculan correcta e independientemente la probabilidad, llegarán al mismo resultado. N º casos favorables Probabilidad = N º casos posibles Ejemplo 9.2. En el experimento "lanzar un dado", E = 1,2,3,4,5,6 1 3 P (salir un tres) = P (salir par) = 6 6 Ejemplo 9.3. En el experimento "extraer una carta de una baraja española" 10 1 12 P (salir oros) = P (salir rey de copas) = P (salir figura) = 40 40 40 189 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Esta interpretación sólo es válida si los sucesos elementales son equiprobables, pero, ¿cómo se calcularían las probabilidades del ejemplo 9.2. si el dado está cargado? b) Interpretación frecuentalista Esta interpretación se basa en la repetibilidad del experimento bajo las mismas condiciones. Al aumentar el número de pruebas realizadas (n) se puede comprobar experimentalmente que la frecuencia relativa (f) de un suceso (A) tiende a estabilizarse, o sea, a aproximarse a cierto número fijo. Este número es la probabilidad del suceso. Se entiende por frecuencia relativa de un suceso al cociente entre el número de veces que aparece (m) y el número de pruebas realizadas (n). Luego, f(A) n P(A) m siendo f(A) = n Ejemplo 9.4. Sea el experimento de lanzar un clavo al aire. El espacio muestral, E será: E = echado, en punta Los sucesos no son equiprobables. Para calcular esta probabilidad hay que realizar el experimento un gran número de veces. Si de las mil veces que lanzamos el clavo 12 cae en punta: m 12 P (de punta) = lim = = 0,012 n n 1000 Propiedades de las frecuencias: 1) La frecuencia de un suceso aleatorio tomará siempre valores comprendidos entre 0 y 1. n(A) m 0 f(A) = = 1 n n 2) La frecuencia del espacio muestral es igual a la unidad y la frecuencia del espacio vacío es igual a 0. n(E) n f(E) = = =1 n n n( ) 0 f( ) = = =0 n n 3) Si los sucesos A y B son incompatibles, la frecuencia de la unión de dichos sucesos es igual a la suma de sus frecuencias respectivas. 190 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD A B = n(A B) = n(A) + n(B) n(A) + n(B) m + m m m Por tanto f(A B) = = = + = f(A) + f(B) n n n n c) Interpretación subjetiva o personalista La probabilidad es considerada como una medida de opinión personal sobre la ocurrencia de un suceso, de forma que dos personas pueden llegar a diferentes resultados al medir dicha ocurrencia. Esta interpretación de la probabilidad se basa en la experiencia del decisor, sus creencias, su aversión al riesgo, la información que desea sobre el suceso, etc. Este concepto de la probabilidad es la base de una de las partes más modernas de la Estadística, conocida como Estadística subjetiva. Por ejemplo, este podría ser el único enfoque válido para calcular la probabilidad de que: en esta década el tipo de interés bancario en España baje hasta el 3%. el F.C. Barcelona gane el campeonato nacional de liga en esta temporada. el primer español en pisar Marte sea de La Gomera. 9.4.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD Vamos a definir un conjunto de axiomas que nos permitan construir un modelo matemático de la probabilidad que explique las regularidades observadas en los sucesos asociados a un experimento aleatorio. Dicho conjunto de axiomas fue introducido por KOLMOGOROFF, quien parte de un espacio muestral E, y una - álgebra A, pues ésta es la estructura matemática de sucesos más adecuada para calcular probabilidades. Lógicamente, el modelo matemático que vamos a construir debe englobar tanto la interpretación clásica como la frecuentalista de probabilidad. En este sentido, en el desarrollo de estos axiomas la probabilidad será considerada como el cociente m/n, sirviendo esta fórmula tanto para la interpretación frecuentalista (m = frecuencia absoluta del suceso; n = número de pruebas realizadas) como para la clásica (m = número de casos favorables; n = número de casos posibles). 191 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Observaremos cómo estos axiomas de la probabilidad equivalen a las propiedades de las frecuencias relativas, lo cual es lógico si tenemos en cuenta que hemos definido la probabilidad como aquel número al que tiende la frecuencia relativa. AXIOMA 1 La probabilidad de un suceso tomará siempre valores entre 0 y 1: m AE 0 P(A) 1 ya que P(A) = n donde m 0, n 0 y mn lo que en términos de la interpretación frecuentalista quiere decir que el suceso A no puede aparecer un número negativo de veces y además no puede aparecer un número de veces superior al número de pruebas realizadas. AXIOMA 2 La probabilidad del espacio muestral es igual a 1, ya que n P(E) = = 1 n AXIOMA 3 Sean los sucesos A1, A2, A3,.....Ak A una sucesión de sucesos incompatibles dos a dos, es decir, Ai A j = i j Gráficamente: E A1 A2 A3..................... Ak Entonces: k k P( Ai ) = P( Ai ) P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) +..... + P( Ak ) i =1 i =1 Vamos a justificar este axioma. Sea mi la frecuencia absoluta del suceso Ai, según la interpretación frecuentalista, y sea mr la correspondiente al suceso unión Ai. Entonces 192 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD n( A1 ) = m1 n( A2 ) = m2.. n( Ak ) = mk k Al ser los sucesos incompatibles, mr = mi i =1 k k mi k mr i =1 mi k Luego, P( A i ) = = = = P( Ai ) i =1 n n i =1 n i =1 CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS a) Probabilidad del suceso contrario: Sabemos que A A= E y A A= luego P(A A ) = P(E) = 1 (axioma 3) P(A) + P( A ) = 1 Por tanto, P( A ) = 1 - P(A) b) Probabilidad del suceso imposible: Sabemos que = E, luego P( ) = P( E ) (consecuencia anterior) P( ) = 1 - P(E) = 1 - 1 Por tanto P( ) = 0 c) Probabilidad de la unión de sucesos compatibles Vamos a analizarla en los casos de dos y tres sucesos compatibles: c.1) Dos sucesos compatibles, A B P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Demostración: Gráficamente observamos que: 193 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I E A B A-B AB B-A A B ( A B ) ( A B ) (B A) A ( A B) ( A B) B (B A) ( A B ) Por tanto, A-B, AB y B-A son mutuamente excluyentes, por lo que P ( A B ) P ( A B ) P ( A B ) P (B A) P ( A) P ( A B ) P ( A B ) P ( A B ) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( B A ) P ( A B ) P ( B A ) P (B ) P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( A ) P (B ) P ( A B ) c.2) Tres sucesos compatibles: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) Esta igualdad se expresa gráficamente en la siguiente figura, considerando las áreas como probabilidades: E B c b A a e f d g C Lógicamente, P(ABC) = a + b + c + d + e + f + g 194 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Demostración: R = P(A)+P(B)+P(C) = ( a+b+d+e)+(b+c+e+f)+(d+e+f+g) = a+c+g+2b+2f+2d+3e S = P(AB) + P(AC) + P(BC) = (b+e) + (d+e) + (e+f) = b+d+f+3e T = P(ABC) = e Luego, P(ABC) = R-S+T= a+c+g+2b+2f+2d+3e-b-d-f-3e+e = a+b+c+d+e+f+g Ejemplo 9.5. Sean A y B dos sucesos tales que: A B = E P(A) = 0,8 P(B) = 0,5. Calcular: a) P(A B) b) P(A B ) c) P( A B) d) P( A B ) a) P(A B) A B = E P(A B) = P(E) = 1 P(A) + P(B) - P(AB) = 0,8 + 0,5 - P(AB) = 1 P(AB) = 0,3 Gráficamente: A E AB B b) P(A B) A B = A P(A B ) = P(A) = 0,8 Gráficamente: A E B 195 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I c) P(A B) A B = B P( A B) = P(B) = 0,5 Gráficamente: A E B d) P A B A B = E - (A B) P( A B ) = 1 - P(A B)) o también por Morgan P( A B ) = P( A B ) = 1 - P(A B) = 1 - 0,3 = 0,7 Gráficamente: A E B Ejemplo 9.6. ¿Es posible una asignación de probabilidad con P(A)=1/2; P(B)=1/3; P(AB)=2/3? No, ya que al ser AB B es imposible que sea P(AB) P(B) 196 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 9.5.- PROBABILIDAD CONDICIONADA 9.5.1.- Probabilidad e información Cuando pretendemos calcular la probabilidad de un suceso asociado a un experimento aleatorio, en ocasiones es posible que contemos con un volumen de información adicional sobre dicho experimento que haga aumentar nuestro conocimiento acerca de su posible resultado. Consecuentemente, esa incorporación de información suplementaria puede hacer cambiar la probabilidad de ocurrencia de un suceso; podemos decir que las probabilidades de ocurrencia de un suceso serán distintas con informaciones distintas. Por ejemplo: sabemos que la probabilidad de que salga el número {2} al lanzar un dado es 1/6; pero si tenemos la información de que ha salido número par, dicha probabilidad será 1/3. Es decir, A = salir el 2 B = salir número par 1 1 P(A) = P(A/B) = 6 3 El hecho de que la información modifique la probabilidad de ocurrencia de un suceso no significa que a mayor información la probabilidad será necesariamente mayor, como ocurría en el ejemplo anterior; la incorporación de información puede hacer aumentar, disminuir o no modificar la probabilidad. Por ejemplo: 1. La probabilidad de que al lanzar un dado salga el número {2} sabiendo que ha salido un número impar es cero, menor evidentemente, que 1/6. A = salir 2 B = salir impar 1 P(A) = P(A/B) = 0 6 2. Al lanzar dos veces un dado, la probabilidad de que salga el {2} en el segundo lanzamiento es 1/6; si sabemos que en el primer lanzamiento ha salido un {3}, la probabilidad anterior sigue siendo 1/6. A = salir 2 en el segundo lanzamiento B = salir 3 en el primer lanzamiento 1 1 P(A) = P(A/B) = = P(A) 6 6 197 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 9.5.2.- Definición formal de la probabilidad condicionada Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean A y B dos sucesos tales que P(B) 0, es decir: A, B E /P(B) 0 Se define la probabilidad de A condicionada al suceso B a la expresión P(A B) P(A/B) = P(B) Vamos a intentar justificar esta expresión. Si se sabe que B ha ocurrido, entonces el espacio muestral será dicho suceso B, pues se sabe que no ha ocurrido cualquier elemento de su complementario. Por tanto, es razonable medir la probabilidad de que ocurra A, habiendo ocurrido B, como la proporción de la ocurrencia conjunta de A,B sobre la ocurrencia de B. Por ejemplo: En el lanzamiento de un dado, si definimos A = "salir el {2}" B = "salir número par" sabemos que P(A) = 1/6 con E = {1,2,3,4,5,6} Pero si ha ocurrido B, P(A/B) = 1/ 3 con E = {2,4,6} = B 9.5.3.- Definición axiomática de la probabilidad condicionada La definición de probabilidad condicionada sólo puede aceptarse si cumple los tres axiomas de KOLMOGOROFF. Vamos a demostrar que los cumple: 1) AXIOMA 1: 0 P(A/B) 1 Demostración: P(B) > 0 por definición de probabilidad condicionada P(AB) 0 por ser A B E (axioma 1) Por tanto, 198 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD P(A B) P(A/B) = 0 P(B) Además, A B B P(A B) P(B) [dividiendo por P(B)] P(A/B) 1 2) AXIOMA 2: P(E/B) = 1 Demostración: P(E B) P(B) P(E/B) = = =1 P(B) P(B) 3) AXIOMA 3: Sean A1, A2,...., Ak k sucesos mutuamente excluyentes, entonces k k P( Ai /B) = P( Ai /B) i =1 i =1 Demostración: k P A1 A2 .. Ak B P( Ai /B) = i =1 P(B) P ( A1 B) ( A2 B) . ( Ak B) P(B) por la propiedad distributiva Al ser A1, A2,.., Ak mutuamente excluyentes también lo serán (A1B), (A2 B),......., (Ak B). Es decir, ( Ai B) ( A j B) = . Luego: k P( A1 B)+ P( A2 B)+......+ P( Ak B) P( Ai /B) = = i =1 P(B) P( B) P( A2 B) P( B) A1 + +.. + Ak = P(B) P(B) P(B) P( A1 /B) + P( A2 /B) +.. + P( Ak /B) k P( Ai /B) i =1 Ejemplo 9.7. Consideremos el experimento consistente en el lanzamiento de dos dados en el que se define A = "El producto de los números es igual a 12" y B = "La suma de los números es igual a 7". a) Determinar los elementos de E, A, B, A B y A/B 199 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I b) Calcular P(A B) y P(A/B) ¿Por qué estas probabilidades son diferentes si AB y A/B tienen los mismos elementos? a) E = {(1,1), (1,2),..... (1,6), (2,1),....... (6,6)} VR26 = 36 A = {(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)} B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} AB = {(3,4), (4,3)} = "suma igual a 7 y producto igual a 12" A/B = {(3,4), (4,3)} = "producto igual a 12 siendo la suma igual a 7" 2 1 P(A B) 2/36 2 1 b) P(A B) = = P(A/B) = = = = 36 18 P(B) 6/36 6 3 Son diferentes porque A B se define sobre el espacio muestral E, mientras que A/B se define sobre el subespacio muestral B. Así, P(A/B) podría calcularse como dos casos favorables sobre seis casos posibles (los seis elementos de B): n(A/B) 2 1 P(A/B) = = = n(B) 6 3 9.5.4.- Independencia estocástica Sea un espacio probabilístico. Dos sucesos A y B son estocásticamente independientes cuando la ocurrencia de B no influye en la de A, y viceversa; es decir, A y B aparecen en el experimento independientemente el uno del otro. P(A B) P(A/B) = P(A) = P(A) P(B) P(A B) P(B/A) = P(B) = P(B) P(A) Por tanto P(A B) = P(A) P(B) siendo esta última expresión la que se toma como definición de independencia estocástica entre A y B. Cuando dicha relación no se verifique, P(A B) P(A) P(B) , diremos que los sucesos A y B son estocásticamente dependientes. Es importante resaltar la analogía entre independiencia estocástica e independencia estadística. En el primer caso, la probabilidad de ocurrencia conjunta de ambos sucesos es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos; en el caso de independencia estadística, la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales. Es decir, P(A B) = P(A) P(B) f ij = f i. f.j 200 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Dichas igualdades son comparables, precisamente porque una de las interpretaciones de la probabilidad, la frecuentalista, considera aquélla como límite de la frecuencia relativa. También es importante no confundir sucesos independientes (que no ejercen influencia uno sobre otro), con sucesos incompatibles (que no aparecen conjuntamente). Ejemplo 9.8. En el lanzamiento de dos monedas, consideremos los sucesos: A = "salir cara en la primera moneda" B = "salir cara en la segunda moneda" Tendremos: E = { cc, cx, xc, xx} A = { cc, cx} B = { cc, xc} A B = {cc} por lo que A y B no son incompatibles. P(A) = 2/4 =1/2 P(B) = 2/4 = 1/2 P(A B) = 1/4 = P(A)* P(B), por lo que A y B son independientes. GENERALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE INDEPENDENCIA Dados tres sucesos A,B y C, diremos que son globalmente independientes si se cumple P(A B) = P(A) * P(B) P(A C) = P(A) * P(C) P(B C) = P(B) * P(C) P(A B C) = P(A) * P(B) * P(C) En general, n sucesos A1, A2,....An E son globalmente independientes si se verifica: P( Ai A j ) = P( Ai ) P( A j ) i j P( Ai A j Ak ) = P( Ai ) P( A j ) P( Ak ) i j k distintos......................................................................... P( A1 A2 .... An ) = P( A1 ) P( A2 ) ........ P( An ) Diremos que los sucesos A1, A2,....An son independientes dos a dos si cualquier pareja de dichos sucesos son independientes. Obviamente, la independencia global implica la independencia dos a dos, pero la implicación contraria no se verifica. Puede ocurrir que P( A1 A2 .... An ) = P( A1 ) P( A2 ) ........ P( An ) y los sucesos A1, A2,....An no ser globalmente independientes. 201 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I Ejemplo 9.9. Tenemos un experimento consistente en observar la descendencia de una familia seleccionada al azar. Consideremos los sucesos: A = "la familia tiene como mucho una hija" B = "la familia tiene hijos de ambos sexos" Determinar si A y B son independientes en cada una de las siguientes situaciones: a) La familia tiene dos descendientes. b) La familia tiene tres descendientes. a) El espacio muestral vendrá definido como: E = (HH, HM, MH, MM) entonces A = (HH, HM, MH) B = (HM, MH) A B = (HM, MH) 3 2 1 2 1 con P(A) = P(B) = = P(A B) = = 4 4 2 4 2 1 3 P(A B) = P(A) P(B) = 2 8 En este caso, A y B son dependientes. b) En este caso tendremos que E = (HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM) entonces A = (HHH, HHM, HMH, MHH) B = (HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH) A B = (HHM, HMH, MHH) 4 1 6 3 con P(A) = = P(B) = = 8 2 8 4 3 P(A B) = P(A) P(B) 8 En esta situación A y B son independientes. 9.6.- TEOREMAS DE LA INTERSECCIÓN, PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES 9.6.1.- Teorema de la intersección Este teorema se deduce de la propia definición de la probabilidad condicionada. 202 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD P(A B) P(A/B) = con P(B) 0 P(B) P(A B) P(B/A) = con P(A) 0 P(A) Por lo que P(A B) = P(B) P(A/B) con P(B) 0 P(A B) = P(A) P(B/A) con P(A) 0 que constituye el teorema de la intersección para el caso de dos sucesos. Para el caso de n sucesos A1, A2,....An , el teorema se expresa mediante la igualdad P( A1 A2 ... An ) = P( A1 ) P A2 A1 P A3 A1 A2 .. P An A1 A2 ... An 1 La demostración se basa en sucesivas aplicaciones de la propiedad conmutativa. Ejemplo 9.10. Se consideran las características A, B y C entre varios modelos de ordenador, con probabilidades P(A) = 0,7 P(B) = 0,6 P(C) = 0,2 P(AB) = 0,42 P(AC) = 0,14 P(BC) = 0,12 P(ABC) = 0,03 a) Discutir la dependencia de estos tres sucesos. b) Obtener la probabilidad de B condicionada a A y C. c) Obtener la probabilidad de que no se dé ni B ni C. d) Obtener la probabilidad de que no se dé A, sabiendo que no se han dado ni B ni C. SOLUCIÓN: a) Discutir la dependencia de estos tres sucesos. P(AB) = P(A)*P(B) P(AC) = P(A)*P(C) P(BC) = P(B)*P(C) P(ABC) = 0,03 P(A)*P(B)*P(C) = 0,084 Los tres sucesos son independientes dos a dos pero no son globalmente independientes. 203 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I b) Obtener la probabilidad de B condicionada a A y C. P(A B C) 0,03 P(B/A C) = = = 0,2143 P(A C) 0,14 c) Obtener la probabilidad de que no se dé ni B ni C. P(B C ) = P(B C ) =1 - P(B C)= =1 - P(B)+ P(C)- P(B C)=1 - 0,6 - 0,2+ 0,12= 0,32 Gráficamente: E B C d) Obtener la probabilidad de que no se dé A, sabiendo que no se han dado ni B ni C. P( A B C ) P( A B C ) 1 - P(A B C) P( A/ B C ) = = = P( B C ) P( B C ) 1 - P(B C) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) = = 0,7 + 0,6 + 0,2 - 0,42 - 0,14 - 0,12 + 0,03 = 0,85 1 - 0,85 0,15 P( A/ B C ) = = = 0,46875 0,32 0,32 204 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 9.6.2.- Teorema de la probabilidad total SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS Dados n sucesos A1, A2,....An, se dice que esos sucesos forman un sistema completo de sucesos si cumplen las siguientes condiciones: a) La unión de todos ellos es el suceso seguro o espacio muestral: n Ai = E i =1 b) Son incompatibles dos a dos o mutuamente excluyentes: Ai A j = i j Gráficamente: E A1 A2......... An La condición a) implica que n P( Ai ) = P(E) = 1 i =1 y la condición b) implica, según el tercer axioma, que n n P( Ai ) = P( Ai ) i =1 i =1 por lo que en un sistema completo de sucesos podemos afirmar que P( A1 ) + P( A2 ) +.... + P( An ) = 1 Ejemplo: Cualquier suceso A y su complementario, pues A A= E A A= 205 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Sea un sistema completo de sucesos A1, A2,....An, y sea un suceso B. Entonces, la probabilidad de B vendrá definida por n P(B) = P( Ai ) P(B/ Ai ) i =1 E A1 A2............... An B Demostración: n n B = B E = B Ai = (propiedad distributiva) = (B Ai ) i =1 i =1 Al ser los Ai mutuamente excluyentes, también lo serán los B Ai, es decir, (B Ai ) (B A j ) = tal como se puede observar en el diagrama de Venn anterior. Tomando probabilidades: n n P(B) = P (B Ai ) = P(B Ai ) i =1 i =1 como P(B Ai ) = P( Ai ) P(B/ Ai ), tendremos que n P(B) = P( Ai ) P(B/ Ai ) i =1 Ejemplo 9.11. Tenemos dos urnas, una con 4 bolas blancas y 3 negras, y la otra con 2 bolas blancas y 3 negras. Se selecciona una urna al azar y extraemos una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? Sean los sucesos: B = "la bola extraída es blanca". A1 = "seleccionar la urna 1" A2 = "seleccionar la urna 2" A1 y A2 forman un sistema completo de sucesos, pues A1 A2 = E A1 A2 = 1 4 1 2 17 Por tanto, P(B) = P( A1 ) P(B/ A1 ) + P( A2 ) P(B/ A2 ) = + = 2 7 2 5 35 Ejemplo 9.12. Tres máquinas de funcionamiento independiente elaboran toda la producción de una empresa: la primera la mitad, la segunda una 206 LECCIÓN 9. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD quinta parte, y la tercera el resto. Estas máquinas vienen produciendo un 2%, 4%, y 3% de unidades defectuosas respectivamente. a) ¿Qué proporción de piezas defectuosas produce la empresa? b) Calcular la probabilidad de que, elegida una pieza al azar, haya sido producida por la primera máquina o no sea defectuosa. Definamos los sucesos: A1 = "la pieza es producida por la primera máquina" A2 = "la pieza es producida por la segunda máquina" A3 = "la pieza es producida por la tercera máquina" B = "La pieza es defectuosa" Por tanto, A1 , A2 y A3 forman un sistema completo de sucesos. Las probabilidades que conocemos son: P(A1) = 0,5 P(B/A1) = 0,02 P(A2) = 0,2 P(B/A2) = 0,04 P(A3) = 0,3 P(B/A3) = 0,03 3 a) P(B) = P( Ai ) P(B/ Ai ) = 0,5 0,02 + 0,2 0,04 + 0,3 0,03 = 0,027 i =1 Hay un 2,7% de piezas defectuosas b) P( A1 B ) = P( A1 ) + P( B ) - P( A1 B ) P( B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,027 = 0,973 P( A1 B ) = P( A1 )P( B / A1 ) = 0,5 (1 - 0,02) = 0,49 P( A1 B ) = 0,5 + 0,973 - 0,49 = 0,983 9.6.3.- Teorema de Bayes PROBABILIDAD A PRIORI Y A POSTERIORI Los sucesos Ai de un sistema completo de sucesos pueden interpretarse como causas que influyen en un suceso cualquiera B. Así, las probabilidades P(Ai) reciben el nombre de probabilidades a priori, de forma que el Teorema de la Probabilidad Total puede entenderse así: "La probabilidad de que ocurra B es la suma de las probabilidades de las causas por la probabilidad de B condicionada a cada causa". Pero las probabilidades P(Ai) pueden ser modificadas por la ocurrencia del suceso B (en el ejemplo anterior, la probabilidad de seleccionar la urna 1 no será la misma si tenemos el conocimiento prrevio de que la bola 207 ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I seleccionada ha sido blanca), y en este caso hablaremos de probabilidades a posteriori P(Ai/B). En esto se basa el enfoque bayesiano de la probabilidad: la probabilidad no es algo estático, sino afectado por la información adicional. TEOREMA DE BAYES Sean A1, A2,....An un sistema completo de sucesos y sea un suceso cualquiera B. Entonces: P( Ah ) P(B/ Ah ) P( Ah /B) = n P( Ai ) P(B/ Ai ) i =1 que podemos interpretarlo como la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso B, la causa que lo ha producido es Ai. La demostración del teorema es inmediata a partir de la propia definición de probabilidad condicionada y utilizando el teorema de la probabilidad total. P( Ah B) P( Ah ) P(B/ Ah ) P( Ah /B) = = P(B) n P( Ai ) P(B/ Ai ) i =1 Ejemplo 9.13. En el caso de las urnas, la probabilidad de que la bola seleccionada proceda de la urna 2, sabiendo que dicha bola es blanca será: 1 2 P( A2 ) P(B/ A2 ) 2 5 7 P( A2 /B) = = = P( A1 ) P(B/ A1 ) + P( A2 ) P(B/ A2 ) 1 4 + 1 2 17 2 7 2 5 Ejemplo 9.14. Se supone que 0,95 es la probabilidad de que un jurado seleccionado para juzgar un caso criminal emita el fallo adecuado. Se supone además que el cuerpo de la policía local realiza su labor a conciencia, de manera que el 99% de las personas que son juzgadas son verdaderamente culpables. Se ha seleccionado un acusado al azar. Calcular la probabilidad de que sea inocente si el jurado lo considera inocente. Los sucesos que se pueden definir son los siguientes: A = "El acusado es inocente" B = "El jurado lo declara inocente" Como A y su complementario forman un sistema completo de sucesos, podemos utilizar el Teorema de Bayes para calcular la probabilidad pedida. P(A) P(B/A) 0,01 0,95 P(A/B) = = = 0,161 P(A) P(B/A) + P( A ) P(B/ A ) 0,01 0,95 + 0,99 0,05 208
