6-й клас Математика Мерзляк 2023 PDF

УДК 373.167.1:51 М52 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України від 08.03.2023 № 254) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Умовні позначення: ° завдання, що відповідають початковому й серед- ньому...

УДК 373.167.1:51 М52 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України від 08.03.2023 № 254) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Умовні позначення: ° завдання, що відповідають початковому й серед- ньому рівням навчальних досягнень; завдання, що відповідають достатньому рівню на- вчальних досягнень; завдання, що відповідають високому рівню на- вчальних досягнень; * задачі для математичних гуртків і факультативів; ¿ завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ютера. Мерзляк А. Г. М52 Математика : підруч. для 6 кл. закладів заг. серед. осві- ти (у 2-х ч.) : Ч. 1 / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2023. — 208 с. : іл. ISBN 978-966-474-372-0 ISBN 978-966-474-373-7 (Ч. 1) Підручник розроблений за модельною навчальною програмою «Математика. 5–6 класи» для закладів загальної середньої освіти (автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, М. П. Пихтар, Б. В. Рубльов, В. В. Семенов, М. С. Якір). Його завдання можуть слугувати моделя­ ми реальних ситуацій. Їх розв’язування, окрім вивчення й закріплення математичних знань і вмінь, сприяє розвитку ключових компетентно­ стей, формуванню критичного мислення. У підручнику також подано додаткову інформацію з історії застосування математичних знань, ви­ мови та написання правильною українською «математичною» мовою. УДК 373.167.1:51 © А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2023 ISBN 978-966-474-372-0 © ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, ISBN 978-966-474-373-7 (Ч. 1) ­художнє оформлення, 2023  Від авторів ЛЮБІ ДІТИ! Цього навчального року ви продовжите знайом- ство з чарівною наукою — математикою. Вона від- криватиме вам нові знання та розвиватиме ваші вміння й здібності. Саме математичні навички, логічне мислення та винахідливість супроводжу- ватимуть вас до успіху в будь-якій професії. Текст підручника поділено на два розділи, які складаються з параграфів, а параграфи — з пунк- тів. Кожен із 38 пунктів починається з викладу теоретичного матеріалу. У ньому жирним шриф­ том надруковано математичні терміни. Жирним курсивом і курсивом виділено правила та найваж- ливіші математичні твердження. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завер- шується прикладами розв’язування задач. Це один із можливих зразків оформлення розв’язання. До кожного пункту дібрано завдання для само- стійного розв’язування після засвоєння теоретич- ного матеріалу. Серед них є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі, особливо ті, що позначено зірочкою (*). У рубриці «Говоримо та пишемо українською правильно» наведено приклади правильної мате- матичної мови. Кожний пункт завершує особлива задача — «Задача від Мудрої Сови». Для її розв’язання по- трібно виявити винахідливість і кмітливість. Рубрика «Коли зроблено уроки» розповідає про важливі математичні об’єкти — числа й фігури, про історію їх виникнення. Сподіваємося, що це зацікавить вас так само, як завдання підручника. Дерзайте! Бажаємо успіху! 3  ШАНОВНІ КОЛЕГИ ТА КОЛЕЖАНКИ! Ми дуже сподіваємось, що цей підручник стане на- дійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці. Дидактичний матеріал подано в таких рубриках: Розв'язуємо усно Вправи Вправи для повторення Готуємося до вивчення нової теми Учимося застосовувати математику Задача від Мудрої Сови Усі задачі рубрики «Вправи» диференційовано за рів- нями складності. Більшість задач згруповано за пара- ми аналогічних. Блакитним кольором позначено номери задач кожної пари, що рекомендуються для домаш- ньої роботи, пурпуровим — номери задач, які можна розв’язувати усно. До рубрики «Учимося застосовувати математику» дібрано задачі, які можуть слугувати математичними моделями реальних ситуацій. Їх розв’язування сприяє розвитку компетентностей, яких вимагає сьогодення: со- ціальної та громадянської свідомості, у галузі природни- чих наук, техніки, технологій, культури, ком­п’ютерної та фінансової грамотності, інноваційності, ощадливого ставлення до природних ресурсів, орієнтації на здоровий спосіб життя. Завдання «Домашньої практичної роботи» — це прості дослідження із сюжетами з навколишнього середовища. Вони готують до виконання більш складних проєктів. Завдання з позначкою «Знайдіть помилку» містять хибні розв’язання деяких задач. Їхня мета — сформува- ти навички критичного мислення, знаходження власних і чужих помилок. Бажаємо творчого натхнення та терпіння! 4  § 1. ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Опанувавши матеріал цього параграфа, ви дізнаєтесь, як, не виконуючи ділення, визначити, чи ділиться дане натуральне число націло на 2, 3, 5, 9, 10. Ознайомитеся із простими та складеними числами, навчитеся розкладати натуральні числа на прості множники. Ви дізнаєтеся, що називають найбільшим спільним дільником і найменшим спільним кратним кількох на­ туральних чисел. 1. Дільники та кратні Остача при діленні числа 30 на число 5 дорів- нює 0, оскільки 30 = 5æ6. Нагадаємо, що в тако- му разі говорять: число 30 ділиться націло на число 5. Число 5 називають дільником числа 30, а число 30 — кратним числа 5. Натуральне число a ділиться націло на на- туральне число b, якщо знайдеться натуральне число c таке, що є правильною рівність a = b æ c. Якщо натуральне число a ділиться націло на натуральне число b, то число a називають кратним числа b, число b — дільником числа а. Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 також є дільниками числа 30, а число 30 є кратним кожного із цих чисел. 5  Зауважимо, що число 30 не ділиться націло, наприклад, на число 7. Тому число 7 не є дільни- ком числа 30, а число 30 не кратне числу 7. Як краще говорити: «Число a ділиться наці- ло на число b», «Число b є дільником числа a», «Число a кратне числу b», «Число a є кратним числа b»? Байдуже, будь-який вибір буде пра- вильним. А чи є правильним твердження: якщо кожне із чисел a і b не ділиться націло на число k, то й сума a + b не ділиться націло на число k? Розглянемо приклад. Легко записати всі дільники числа 6. Це числа 1, 2, 3 і 6. А чи можна перелічити всі числа, кратні числу 6? Числа 6 æ1, 6 æ2, 6 æ3, 6 æ4, 6 æ5 і т. д. кратні числу 6. Отримуємо, що чисел, крат- них числу 6, — безліч. Тому перелічити їх усі не- можливо. Отже, наведене твердження є неправильним. Приклад, за допомогою якого ми його спростува- ли, називають контрприкладом. Узагалі, для будь-якого натурального числа a кожне із чисел aæ1, aæ2, aæ3, aæ4,... є крат- ним числа a. Найменшим дільником будь-якого натурального числа a є число 1, а найбільшим — саме число a. Серед чисел, кратних числу a, найбільшо- го немає, а найменше є — це саме число a. Кожне із чисел 21 і 36 ділиться націло на чис- ло 3, і їхня сума, число 57, також ділиться на- ціло на число 3. Узагалі, якщо кожне із чисел a і b ділиться на- ціло на число k, то і сума a + b також ділиться націло на число k. 6  Кожне із чисел 4 і 8 не ділиться націло на число 3, а їхня сума, число 12, ділиться націло на число 3. Кожне із чисел 9 і 7 не ділиться націло на чис- ло 5, і їхня сума, число 16, не ділиться націло на число 5. Таким чином, якщо ні число a, ні число b не ді- ляться націло на число k, то сума a + b може ді- литися, а може й не ділитися націло на число k. Число 35 ділиться націло на число 7, а число 17 на число 7 націло не ділиться. Сума 35 + 17 націло на число 7 також не ділиться. Узагалі, якщо число a ділиться націло на чис- ло k і число b не ділиться націло на число k, то сума a + b не ділиться націло на число k. ? 1. У якому разі говорять, що: 1) число b є дільником чис­ ла a; 2) число b є кратним числа a? 2. Яке число є дільни­ ком будь-якого натурального числа? 3. Скільки існує кратних даного натурального числа a? Розв'язуємо усно 1. Обчисліть: 1) 0,6 – 0,4; 3) 0,6æ4; 5) 6 : 4; 2) 0,6 – 0,04; 4) 0,6æ0,4; 6) 0,6 : 4. 2. Чому дорівнює частка при діленні 54 на 9? 3. Чому дорівнює дільник, якщо ділене дорівнює 98, а частка — 7? 4. Чому дорівнює ділене, якщо дільник дорівнює 24, а частка — 4? 5. При діленні двох двоцифрових чисел у частці отрима- ли 9, а в остачі — 8. Чому дорівнює ділене? Вправи 1.° Чи є правильним твердження: 1) число 6 є дільником числа 24; 2) число 6 кратне числу 24; 7  3) число 5 є дільником числа 51; 4) число 9 є дільником числа 99; 5) число 18 є кратним числа 3; 6) число 28 кратне числу 8? 2.° Які із чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 є: 1) дільниками 24; 2) кратними 6; 3) дільниками 20 і 24; 4) дільниками 24 і кратними 4? 3.° Чому дорівнює: 1) найбільший дільник числа 19 735; 2) його найменший дільник; 3) його най- менше кратне? 4.° Запишіть усі дільники числа: 1) 18; 2) 8; 3) 13; 4) 56. ° 5. Запишіть усі дільники числа: 1) 30; 2) 12; 3) 23; 4) 72. ° 6. Чи можна поділити порівну 28 зошитів між: 1) 4 дітьми; 3) 7 дітьми; 2) 6 дітьми; 4) 8 дітьми? 7.° Чи можна розкласти порівну 48 тістечок на: 1) 3 тарілки; 2) 6 тарілок; 3) 9 тарілок? 8.° Запишіть п’ять чисел, які кратні числу: 1) 7; 2) 30; 3) 100; 4) 34. 9.° Запишіть чотири числа, які кратні числу: 1) 16; 2) 12; 3) 150; 4) 47. 10.° Із чисел 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108, 110 ви- пишіть такі, що: 1) є кратними 4; 2) не є кратними 6. ° 11. Відомо, що сума натуральних чисел a і b ді- литься націло на 5. Чи можна стверджувати, що: 1) кожне із чисел a і b ділиться націло на 5; 2) одне із чисел ділиться націло на 5, а друге — ні? Відповідь проілюструйте прикладами. 8 12.° Відомо, що жодне із чисел a і b не ділиться на- ціло на 11. Чи є правильним твердження, що їхня сума також не ділиться націло на 11? 13. Запишіть усі числа, які є дільниками кожного із чисел: 1) 15 і 20; 2) 7 і 21; 3) 24 і 36; 4) 20 і 21. 14. Запишіть усі числа, які є дільниками кожного із чисел: 1) 12 і 18; 2) 60 і 90; 3) 22 і 35; 4) 9 і 27. 15. Запишіть яке-небудь число, що є кратним кож- ного із чисел: 1) 3 і 4; 2) 6 і 12; 3) 4 і 6. 16. Запишіть яке-небудь число, що є кратним кож- ного із чисел: 1) 5 і 9; 2) 8 і 32; 3) 8 і 12. ¿ 17. Запишіть: 1) усі двоцифрові числа, кратні 19; 2) усі трицифрові числа, кратні 105. ¿ 18. Запишіть усі двоцифрові числа, кратні 23. 19. Запишіть усі значення x, кратні числу 4, при яких є правильною нерівність 18 < x < 36. 20. Запишіть усі значення x, кратні числу 6, при яких є правильною нерівність 25 < x < 60. 21. Запишіть усі значення x, які є дільниками чис- ла 80 і при яких є правильною нерівність 7 < x < 40. 22. Запишіть усі значення x, які є дільниками чис- ла 98 і при яких є правильною нерівність 14 < x < 50. 23. Знайдіть число, кратне числам 9 і 11 та більше за 100. Скільки існує таких чисел? 24. Знайдіть число, кратне числам 9 і 12 та менше від 100. Скільки існує таких чисел? 25. Чи є правильним твердження: 1) якщо число a кратне 6, то воно кратне 3; 2) якщо число a кратне 3, то воно кратне 6; 9  3) якщо число a кратне числам 3 і 4, то воно кратне 12; 4) якщо число a кратне числам 4 і 6, то воно кратне 24? Відповідь проілюструйте прикладами. 26. При діленні числа a на 7 отримали остачу 4. Яку умову має задовольняти число b, щоб сума a + b була кратною 7? 27. При діленні числа a на 9 отримали остачу 5. Яку умову має задовольняти число b, щоб різниця a – b була кратною 9? 28. При яких натуральних значеннях n значення виразу 15n кратне числу: 1) 3; 2) 5; 3) 10; 4) 11? 29. При яких натуральних значеннях n значення виразу: 1) 3n + 2 кратне числу 2; 2) 4n + 3 кратне числу 3? 30.* Доведіть, що двоцифрове число, яке записано двома однаковими цифрами, кратне 11. 31.* Доведіть, що трицифрове число, яке записано трьома однаковими цифрами, кратне 37. 32.* До одноцифрового числа дописали одну цифру, у результаті чого воно збільшилося в 41 раз. Яку цифру й до якого числа дописали? 33.* У двоцифровому числі закреслили одну цифру, у результаті чого воно зменшилося в 17 разів. Яку цифру та в якому числі закреслили? Вправи для повторення 34. Спростіть вираз і обчисліть його значення: 1) 0,2a æ50b, якщо a = 4, b = 3,6; 2) 0,4x æ25y, якщо x = 2,4, y = 3. 35. Розв’яжіть рівняння: 1) 2,48x + 3,52x = 1,26; 2) 4,63x + 3,37x = 1,92. 10 36. До їдальні привезли 146 кг овочів: 6 ящиків помідорів і 8 ящиків огірків. Скільки кілограмів огірків у кожному ящику, якщо помідорів у кожному ящику було 7,8 кг, а маси огірків у кожному ящику однакові? Готуємося до вивчення нової теми 37. Виконайте ділення з остачею: 1) 429 : 2; 3) 768 : 10; 5) 134 : 5; 2) 5001 : 2; 4) 9123 : 10; 6) 2867 : 5. 38. Виразіть ділене через неповну частку, дільник і остачу у вигляді рівності a = bq + r, де a — ділене, b — дільник, q — неповна частка, r — остача: 1) 83 : 7; 2) 171 : 17. Задача від Мудрої Сови 39. Складіть із шести сірників чотири рівносторонніх трикутники зі стороною, яка дорівнює довжині одного сірника. 2. Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2 Остання цифра кожного із чисел 90, 210, 1400 дорівнює нулю. Усі ці числа діляться націло на 10. Справді, кожне з них можна подати у вигляді добутку двох натуральних чисел, одне з яких до- рівнює 10. Маємо: 90 = 9æ10, 210 = 21æ10, 1400 = 140 æ10. Остання цифра числа 187 не дорівнює нулю. Це число не ділиться націло на 10. Дійсно, мож- на записати: 187 = 180 + 7. Число 187 ми подали у вигляді суми двох доданків, один з яких ді- литься націло на 10, а другий — не ділиться. Із правила, сформульованого в попередньому пункті, випливає, що така сума не ділиться націло на 10. Наведені приклади ілюструють, як за записом натурального числа можна визначити, ділиться воно націло на 10 чи ні. 11  Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0, то це число ділиться націло на 10. Якщо запис натурального числа закінчуєть- ся будь-якою цифрою, яка відмінна від 0, то це число не ділиться націло на 10. Ці два твердження називають ознакою поділь­ ності на 10. Знайдемо неповну частку та остачу при діленні деяких натуральних чисел на 10. Маємо: 173 = 170 + 3 = 10 æ17 + 3; 4258 = 4250 + 8 = 10 æ42 50 + 8 = 10 æ425 + 8; 20 005 = 10 æ2000 + 5. Ці приклади ілюструють таке: якщо натураль- не число поділити на 10, то остача дорівнювати- ме числу, яке записано останньою цифрою цього числа. За допомогою останньої цифри числа встанов- люють і деякі інші ознаки подільності. Числа 2, 14, 26, 58 діляться націло на 2. Нату- ральні числа, які націло діляться на 2, називають парними. Натуральні числа, які не діляться націло на 2, називають непарними. Наприклад, числа 3, 5, 17, 349, 10 001 — непарні. Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а циф- ри 1, 3, 5, 7, 9 — непарними. А як, не виконуючи ділення, установити пар- ність числа? І тут допомагає ознака подільності. Якщо запис натурального числа закінчуєть- ся парною цифрою, то це число ділиться націло на 2. Якщо запис натурального числа закінчуєть- ся непарною цифрою, то це число не ділиться націло на 2. 12  Зазначимо, що всі непарні числа при діленні на 2 дають в остачі 1. Наприклад, 53 = 2æ26 + 1, 121 = 2æ60 + 1. Зауважимо, що коли парне число помножити на 5, то отримаємо число, остання цифра якого до- рівнює 0. Наприклад, 2æ5 = 10, 16 æ5 = 80, 28æ5 = = 140. Якщо ж непарне число помножити на 5, то остання цифра отриманого добутку дорівнювати- ме 5. Наприклад, 3æ5 = 15, 17 æ5 = 85, 29æ5 = 145. Отже, останньою цифрою числа næ5, де n — будь-яке натуральне число, є 0 або 5. Також є правильним твердження: якщо натуральне число закінчується цифрою 0 або цифрою 5, то його можна подати у вигляді добутку двох натураль- них чисел, одне з яких дорівнює 5, тобто подати у вигляді næ5, де n — деяке натуральне число. Наприклад, 15 = 3æ5, 120 = 24 æ5. Тепер зрозуміло, як серед натуральних чисел розпізнавати такі, що є кратними 5. Якщо запис натурального числа закінчуєть- ся цифрою 0 або цифрою 5, то це число ділить- ся націло на 5. Якщо запис натурального числа закінчуєть- ся будь-якою цифрою, відмінною від цифр 0 і 5, то це число не ділиться націло на 5. Наприклад, числа 15, 35, 70, 3580, 11 445 ді- ляться націло на 5, а числа 17, 24, 5553, 172 802 націло на 5 не діляться. ? 1. Якою цифрою має закінчуватися запис натурального числа, щоб воно ділилося націло на 10? 2. Які числа нази­ вають парними? непарними? 3. Які цифри називають пар­ ними? непарними? 4. Як за записом натурального числа встановити, кратне воно 2 чи ні? 5. Як за записом натураль­ ного числа встановити, ділиться воно націло на 5 чи ні? 13  Говоримо та пишемо українською правильно Читаючи математичні вирази, числівники після слів «цифра» і «число» завжди говоримо в називному відмін- ку: «закінчується цифрою 0» — закінчується цифрою нуль, «додати 5 до числа 10» — додати п’ять до числа десять, «кратне числу 7» — кратне числу сім. Якщо числівники використовуємо без слів «цифра» і «число», то називаємо їх у формах відповідних відмін- ків: «дорівнює 5» — дорівнює п’яти, «якщо число закін- чується 0» — якщо число закінчується нулем, «число 14 не кратне 9» — число чотирнáдцять не кратне дев’яти. Розв'язуємо усно 1. Чи є правильним твердження: 1) число 17 є дільником 34; 2) число 5 є дільником числа 35; 3) число 45 є кратним числа 10; 4) число 17 кратне числу 2? 2. Назвіть чотири натуральних числа, для яких дільником є число: 1) 2; 2) 7. 3. Назвіть чотири натуральних числа, кратних числу: 1) 5; 2) 11. 4. Назвіть у порядку зростання всі дільники числа: 1) 6; 2) 14; 3) 40; 4) 9; 5) 7. Вправи ¿ 40.° Заповніть таблицю (поставте знак «+» у разі ствердної відповіді або знак «–» у противному разі): Число 24 53 60 78 79 96 142 241 495 7207 Парне число 41.° Купили кілька наборів фломастерів, по 5 штук у кожному. Чи могли купити: 1) 30 фломастерів; 3) 45 фломастерів? 2) 24 фломастери; 14 42.° Які із чисел 68, 395, 760, 943, 1270, 2625, 9042, 7121, 1734: 1) не діляться націло на 2; 2) кратні 10; 3) діляться націло на 5, але не діляться націло на 10? 43.° Із чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5465, 8216, 2405, 1020, 246 370 випишіть такі, що діляться націло: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 10. 44.° Назвіть: 1) два парних числа, які не кратні 5; 2) два парних числа, які кратні 5; 3) два непарних числа, які не кратні 5; 4) два непарних числа, які кратні 5. 45. Чи є правильним твердження: 1) сума двох парних чисел є парним числом; 2) сума двох непарних чисел є непарним числом; 3) сума парного та непарного чисел є непарним числом; 4) якщо сума двох чисел є парним числом, то й доданки — парні числа; 5) добуток двох парних чисел є парним числом; 6) добуток двох непарних чисел є непарним числом; 7) добуток парного та непарного чисел є непар- ним числом? 46. Число c дорівнює добутку натуральних чисел a і b. Заповніть таблицю. Число a Число b Число c парне непарне парне парне непарне непарне непарне парне непарне непарне 15 47. Запишіть усі непарні значення x, при яких є правильною нерівність: 1) 273 < x < 290; 2) 2725 < x < 2737. 48. Запишіть усі парні значення x, при яких є пра- вильною нерівність: 1) 134 < x < 160; 2) 489 < x < 502. 49. Знайдіть усі значення x, кратні числу 5, при яких є правильною нерівність: 1) 38 < x < 75; 2) 3720 < x < 3754. 50. Знайдіть усі значення x, кратні числу 10, при яких є правильною нерівність: 1) 279 < x < 320; 2) 1465 < x < 1510. 51. Запишіть усі чотирицифрові числа, кратні чис- лу 5, для запису яких використовують цифри 0, 3, 5, 7 (цифри повторювати не можна). 52. Знайдіть усі цифри, які можна дописати право- руч до числа 793, щоб отримати число, кратне: 1) 2; 2) 5; 3) 10. (Можна дописувати тільки одну цифру.) 53. Запишіть найбільше: 1) чотирицифрове число, кратне 2; 2) п’ятицифрове число, кратне 5; 3) шестицифрове число, кратне 10. Цифри в записі числа повторювати не можна. 54. 1) Запишіть шість перших натуральних чисел, що є кратними 100. Зверніть увагу на дві останні цифри цих чисел. Сформулюйте ознаку подільності на 100. 2) Запишіть вісім перших натуральних чисел, що є кратними 25. Зверніть увагу на дві останні цифри цих чисел. Сформулюйте ознаку подільності на 25. 55. Знайдіть найбільше двоцифрове число x, при якому значення виразу x – 32 ділиться націло на 5. 16 56. Знайдіть найменше трицифрове число y, при якому значення виразу 327 + y є числом, крат- ним 10. 57. Чи може число, у записі якого всі цифри дорів- нюють 1, ділитися націло на число, у записі якого всі цифри дорівнюють 2? 58. Чи може число, у записі якого всі цифри дорів- нюють 2, ділитися націло на число, у записі якого всі цифри дорівнюють: 1) 1; 2) 5? 59. 1) Сума двох натуральних чисел є непарним числом. Парним чи непарним числом є їхній до- буток? 2) Сума двох натуральних чисел є парним чис- лом. Чи обов’язково їхній добуток є парним числом? 60. Парною чи непарною буде сума 7 натуральних чисел, якщо: 1) 4 доданки парні, а решта — непарні; 2) 4 доданки непарні, а решта — парні? 61. Сума 9 натуральних чисел дорівнює 1000. Чи можна стверджувати, що їхній добуток — парне число? Відповідь поясніть. 62. Чи можна розкласти 50 яблук на 5 купок, у кожній з яких буде непарна кількість яблук? Від- повідь поясніть. 63. Чи існує прямокутник, довжини сторін якого виражені натуральними числами в сантиметрах, причому одна з них на 1 см довша за іншу, і площа якого дорівнює 12 345 см2? 64. Відомо, що n — натуральне число. Чи є парним числом значення виразу: 1) 2n; 3) n (n + 1); 2) 2n + 1; 4) (2n – 1) (2n + 3)? 65. Чи є правильним твердження, що з будь-яких трьох натуральних чисел завжди знайдуться два таких, сума яких ділиться націло на 2? 17 66. Скількома нулями закінчується запис числа, яке дорівнює добутку: 1) 1æ2æ3æ...æ15æ16; 2) 1æ2æ3æ...æ25æ26 ? * 67. Чи можна у виразі 1 + 2 + 3 +... + 8 + 9 замінити деякі знаки «+» на знаки «–» так, щоб значення отриманого числового виразу дорівнювало 18? Вправи для повторення ¿ 68. В Україні є 25 природних та біосферних заповідників. Скільки є заповідників кожного виду, якщо біосферних у 4 рази менше, ніж природних? 69. Скільки в Україні ботанічних садів і скільки дендроло- гічних парків, якщо всього їх 89, причому дендрологічних парків на 33 більше, ніж ботанічних садів? Національний дендрологічний парк «Софіївка» (м. Умань) 70. Виконайте дії: 1) (69æ0,63 − 10,098 : 5,4 − 20,54) : 0,324; 2) 0,98æ3,8 − 0,132 : 5,5 − 2,45. Задача від Мудрої Сови 71. У клітинках таблиці розміром 3 × 3 клі- тинки стоять нулі. Дозволяється вибрати 4 6 5 будь-який квадрат розміром 2 × 2 клітинки 7 18 9 та збільшити числа в усіх його клітинках на одиницю. Чи можна після кількох таких 6 10 7 операцій отримати таблицю, зображену на рисунку 1? Рис. 1 18  3. Ознаки подільності на 9 і на 3 Виконавши ділення, можна переконатися, що кожне із чисел 108, 4869, 98 802 ділиться націло на 9. А чи існує інший, швидший спосіб переко- натися в цьому? Інакше кажучи, чи існує ознака подільності на 9? Так, вона існує. Зазначимо, що сума цифр кожного із цих трьох чисел кратна 9. А ось, наприклад, ні самі числа 124, 533, 7253, ні суми їхніх цифр, які відпо- відно дорівнюють 7, 11, 17, не кратні 9. І це не випадково. Якщо сума цифр натурального числа ділить- ся націло на 9, то й саме число ділиться націло на 9. Якщо сума цифр натурального числа не ді- литься націло на 9, то й саме число не ділить- ся націло на 9. Аналогічно можна визначити, чи ділиться чис- ло націло на 3. Якщо сума цифр натурального числа ділить- ся націло на 3, то й саме число ділиться націло на 3. Якщо сума цифр натурального числа не ді- литься націло на 3, то й саме число не ділить- ся націло на 3. Наприклад, число 7854 ділиться націло на 3, оскільки сума його цифр, що дорівнює 24, ділить- ся націло на 3. Число 3749 не ділиться націло на 3, оскільки сума його цифр, що дорівнює 23, не ділиться націло на 3. ? 1. Як установити, чи ділиться число націло на 9? 2. Як установити, чи ділиться число націло на 3? 19  Говоримо та пишемо українською правильно Вимовляючи «11» і «14», пам’ятаємо, що в числівни- ках другого десятка наголос завжди падає на склад на: одинáдцять, дванáдцять, тринáдцять, чотирнáдцять, п’ятнáдцять тощо. Розв'язуємо усно 1. Буквою n позначили деяке парне число. Парним чи непарним є число: 1) n + 1; 2) n + 2? 2. Якою цифрою закінчується добуток: 1) 1æ2æ3æ4æ5æ6æ7; 2) 1æ3æ5æ7 æ9æ11æ13? 3. Яке із чисел 2045, 4750, 7254, 6225 ділиться націло на 3, але не ділиться націло на 2? 4. Скільки існує двоцифрових чисел, кратних числу: 1) 5; 2) 8? Вправи 72. ° Які із чисел 48, 53, 316, 2004, 7902 діляться націло: 1) на 3; 2) на 9? ¿ 73.° Заповніть таблицю (поставте в третьому ряд- ку знак «+» у разі ствердної відповіді або знак «–» у противному разі): Число 7263 4681 2743 6885 7227 6350 Сума цифр Кратне 9 ¿ 74.° Заповніть таблицю (поставте в третьому ряд- ку знак «+» у разі ствердної відповіді або знак «–» у противному разі): Число 1356 4813 9075 3272 6390 15 684 Сума цифр Кратне 3 75. ° Яку із цифр 1, 3, 5, 7 треба поставити замість зірочки, щоб число 42*5 було кратним 3? 20 76.° Яку із цифр 5, 8, 2, 1 треба поставити замість зірочки, щоб число 56*5 було кратним 9? 77.° Чи можна розставити порівну на 3 полицях: 1) 40 книжок; 2) 54 книжки; 3) 49 книжок? 78.° Чи можна навантажити порівну на 9 автомобі- лів: 1) 127 ящиків; 2) 225 ящиків? 79.° Із чисел 8937, 6585, 37 828, 44 292, 9462, 58 395, 23 646 випишіть такі, що діляться націло: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 3 і на 2. 80.° Із чисел 7826, 1215, 4075, 2880, 3921, 9319, 6072, 8142 випишіть такі, що діляться націло: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 9 і на 5. 81. Знайдіть усі значення y, кратні: 1) числу 3, при яких є правильною нерівність 143 < y < 162; 2) числу 9, при яких є правильною нерівність 92 < y < 128. 82. Знайдіть усі значення m, кратні: 1) числу 3, при яких є правильною нерівність 324 < m < 345; 2) числу 9, при яких є правильною нерівність 423 < m < 480. 83. Замість зірочки поставте таку цифру, щоб отримати число, кратне 3 (розгляньте всі можливі випадки): 1) 54 84*; 2) 3*6 393; 3) 79*8. 84. Замість зірочки поставте таку цифру, щоб отримати число, кратне 9 (розгляньте всі можливі випадки): 1) 62 8*1; 2) 57* 582; 3) 7*51. 85. Запишіть: 1) найменше число, для запису якого використа- но лише цифру 2 і яке ділиться націло на 3; 21  2) найменше трицифрове число, що ділиться націло на 9. 86. Яку цифру можна поставити замість зірочки в записі 627*, щоб отримане число ділилося націло і на 3, і на 5? 87. Яку цифру можна поставити замість зірочки в записі 21 85*, щоб отримане число ділилося на- ціло на 3, але не ділилося націло на 2? 88. Яку цифру можна поставити замість зірочки в записі 347*, щоб отримане число ділилося націло і на 2, і на 3? 89. Запишіть найменше: 1) чотирицифрове число, кратне 3; 2) п’ятицифрове число, кратне 9; 3) шестицифрове число, кратне 3 і 2; 4) чотирицифрове число, кратне 5 і 9. Цифри в записі числа повторювати не можна. 90. Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться націло: 1) на 2 і на 3; 3) на 3 і на 10; 2) на 3 і на 5; 4) на 2 і на 9. 91. Яке найменше число треба додати до даного, щоб отримати число, кратне 9: 1) 1275; 4) 987 652; 2) 3333; 5) 10 203 040; 3) 25 718; 6) 19 191 919 191? 92. Запишіть, використовуючи по одному разу кожну з цифр 0, 1, 4, 7, найбільше і найменше чо- тирицифрові числа, кратні 15. 93. До числа 15 допишіть ліворуч і праворуч по одній цифрі так, щоб число, яке утвориться, було кратним 15. Скільки розв’язків має задача? 94. До числа 34 допишіть ліворуч і праворуч по одній цифрі так, щоб число, яке утвориться, було кратним 45. Скільки розв’язків має задача? 22 95. Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число *74* ділилося націло на 18. Знайдіть усі можливі розв’язки. 96. Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число 3*4* ділилося націло на 9. Знайдіть усі можливі розв’язки. 97. Галина Петрівна придбала 3 однакових пакети кефіру, пачку масла за 46 грн 80 коп., кілька бу- лочок по 4 грн 50 коп., 6 однакових пачок печива. Чи може вся її покупка коштувати 218 грн 30 коп.? 98.* Роман і Дарина записують дев’ятнадцятицифрове число, використовуючи тільки цифри 1, 2 і 4. Першу цифру пише Роман, другу — Дарина, третю — знову Роман і т. д. по черзі. Роман хоче отримати в ре- зультаті число, кратне 3. Чи може Дарина завадити йому це зробити? Вправи для повторення ¿ 99. Річка Рось на 38 км довша за річку Хорол. Знайдіть довжину кожної із цих річок, якщо їхня спільна довжина дорівнює 654 км. 100. За маршрутом Київ — Житомир — Вінниця виїхав автомобіль. Яка відстань між Житомиром і Вінницею, якщо вона на 6 км менша від відстані між Києвом і Жи- томиром, а довжина всього маршруту становить 256 км? 101. Обчисліть: 1) 6,29 : 0,85 + (53 – 48,184) : 5,6; 2) 5,33 : 0,65 – (1,9218 – 0,8118) : 3. Готуємося до вивчення нової теми 102. Спростіть вираз, замінивши добуток однакових множ- ників степенем: 1) 7æ7æ7æ7æ7; 3) a æa æa æa; 2) 10æ10æ10; 4) x æx æx æx æx æx. 103. Знайдіть значення виразу: 1) 25; 2) 72; 3) 0,62; 4) 0,53; 5) 06; 6) 112. 23 104. Запишіть число 64 у вигляді степеня з основою: 1) 8; 2) 4; 3) 2. Задача від Мудрої Сови 105. У чемпіонаті країни з футболу беруть участь 16 ко- манд, кожна з яких має свій стадіон. Усі команди повинні зіграти між собою, причому в кожному турі відбуваються всі 8 ігор. Чи можна скласти розклад турів так, щоб кожна команда грала по черзі на своєму стадіоні та на стадіоні суперника? Коли зроблено уроки Ділиться чи не ділиться? Ви вже знаєте ознаки подільності на 2, на 3, на 5, на 9 і на 10. Виникає природне запитання: чи існують ознаки подільності, наприклад, на 4, на 6, на 7, на 8, на 11 і т. д.? Такі ознаки існу- ють. Розглянемо деякі з них. Легко встановити ознаку подільності на 6. Оскільки 6 = 2æ3, то до діленого потрібно одно- часно застосувати ознаки подільності на 2 і на 3. Аналогічно можна отримати ознаки подільності на 15 (оскільки 15 = 3æ5), на 18 (оскільки 18 = 2æ9), на 30 (оскільки 30 = 3æ10), на 45 (оскільки 45 = 5æ9) тощо. Ознаку подільності на 4 пояснимо на таких прикладах. 1) Розглянемо число 524. Маємо: 524 = 5æ100 + 24. Кожний доданок суми 5æ100 + 24 ділиться на- ціло на 4, отже, і саме число 524 ділиться націло на 4. 2) Розглянемо число 7518. Маємо: 7518 = 75æ100 + 18. 24  Тут перший доданок суми 75æ100 + 18 ділиться націло на 4, а другий — ні, отже, число 7518 не ділиться націло на 4. Зауважимо, що будь-яке натуральне число m можна подати у вигляді суми m = n æ100 + a, де n — натуральне число або 0, a — одноцифрове чи двоцифрове число або 0. Оскільки число 100 ділиться націло на 4, то можна дійти такого висновку: подільність даного числа на 4 залежить лише від подільності на 4 числа, записаного його двома останніми цифрами. Щоб з’ясувати, ділиться чи не ділиться число націло на 8, наведемо такі приклади: число 13 006 = 13æ1000 + 6 не ділиться націло на 8; число 25 040 = 25æ1000 + 40 ділиться націло на 8; число 5122 = 5æ1000 + 122 не ділиться націло на 8; число 3624 = 3æ1000 + 624 ділиться націло на 8. Оскільки число 1000 ділиться націло на 8, то подільність даного числа на 8 залежить від по- дільності на 8 числа, яке записане його трьома останніми цифрами. Записуючи число у вигляді суми певним спосо- бом, можна встановити й інші ознаки подільності. Так, записавши число у вигляді суми розряд- них доданків, можна обґрунтувати ознаки поділь- ності на 9 і на 3. Розглянемо, наприклад, число 486, кратне 9. Запишемо його у вигляді суми розрядних додан- ків: 486 = 4 æ100 + 8 æ10 + 6. 25  Оскільки 100 = 99 + 1 і 10 = 9 + 1, то можемо за- писати: 4 æ100 + 8 æ10 + 6 = 4 æ(99 + 1) + 8 æ(9 + 1) + 6. Розкриємо дужки й перегрупуємо доданки: 4 æ(99 + 1) + 8 æ(9 + 1) + 6 = 4 æ99 + 4 + 8 æ9 + 8 + 6 = = (4 æ99 + 8 æ9) + (4 + 8 + 6). Отже, 486 = (4 æ99 + 8 æ9) + (4 + 8 + 6). У пурпурових дужках сума 4 æ99 + 8 æ9 ділить- ся націло на 9. У блакитних дужках записано суму цифр числа 486. Вона також ділиться націло на 9. Тоді і саме число 486 кратне 9. Запишемо таким самим чином число 532. Маємо: 532 = 5æ100 + 3æ10 + 2 = 5æ(99 + 1) + 3æ(9 + 1) + 2 = 5æ99 + 99 + 1) + 3æ(9 + 1) + 2 = 5æ99 + 5 + 3æ9 + 3 + 2 = = (5æ99 + 3æ9) + (5 + 3 + 2). Отже, 532 = (5æ99 + 3æ9) + (5 + 3 + 2). Значення виразу, записаного в пурпурових дужках, ділиться націло на 9. А сума цифр числа 532, записана в блакитних дужках, на 9 націло не ділиться. Таким чином, число 532 не кратне 9. Зазначимо, що ознаку подільності на 9 ми змог­ ли отримати завдяки тому, що будь-яке натураль- не число n можна подати у вигляді суми за такою схемою: Число = Число, яке ділиться Сума цифр + n націло на 9 числа n Аналогічно можна обґрунтувати ознаку поділь- ності на 3. Для того щоб визначити, чи ділиться число націло на 11, роблять так: додають усі цифри числа, які стоять на непарних місцях (рахуючи справа наліво), далі додають усі цифри, які сто- 26 ять на парних місцях, потім обчислюють різницю знай­дених сум. Якщо ця різниця ділиться націло на 11, то й саме число ділиться на 11. Зрозуміти, звідки випливає ця ознака, допомо- же такий приклад: 638 = 6 æ100 + 3æ10 + 8 = 6 æ(99 + 1) + 3æ(11 − 1) + 8 = = 6 æ99 + 3æ11 + (6 − 3 + 8). Значення виразу 6 æ99 + 3æ11 ділиться націло на 11. Отже, чи ділиться націло число 638 на 11, залежить від того, чи ділиться націло на 11 зна- чення виразу 6 – 3 + 8. Оскільки 6 – 3 + 8 = 11, то число 638 ділиться націло на 11. Існують ознаки подільності й на інші числа (7, 13, 37 тощо). Проте вони набагато складніші, ніж описані тут. Ви можете з ними ознайомитися, від- відуючи математичний гурток або вивчаючи по- пулярну літературу з математики. Ознаки подільності можуть не лише бути ко- рисними під час розв’язування задач, а й стати підґрунтям для демонстрації числових фокусів. Опишемо один із них. Фокусник просить одного з глядачів, у якого є коробочка сірників, порахувати їх, потім витяг- ти з коробочки кількість сірників, яка дорівнює сумі цифр отримано- го числа. Не повідомляючи ніякої інформації, глядач передає фокус- нику закриту коробочку. Той де­- який час трясе її і, не відкрива- ючи, визначає кількість сірників у коробці. Тут немає ні магії, ні чародій- ства. Просто фокусник добре знає 27 ознаку подільності на 9, з якої випливає, що різ- ниця числа і суми його цифр завжди ділиться на- ціло на 9. А отже, у коробочці може бути тільки 9, 18, 27, 36 або 45 сірників (зазвичай у коробоч- ці більше не буває). Зважаючи на це, при певному тренуванні можна за звуком (або за масою коро- бочки) визначити кількість сірників. 4. Прості та складені числа Число 1 має тільки один дільник — одиницю. Будь-яке інше натуральне число a має принаймні два дільники — одиницю та саме число a. Справді, a : 1 = a, a : a = 1. Число 5 має тільки два дільники — числа 1 і 5. Тільки два дільники мають також, напри- клад, числа 2, 7, 11, 13. Такі числа називають простими. Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два натуральних дільники: одиницю та саме це число. На форзаці підручника розміщено таблицю всіх простих чисел, які менші від 1000. Число 2 — найменше просте число. Зазначимо, що це єдине парне просте число. Справді, будь- яке інше парне число має щонайменше три діль- ники: число 1, число 2 та саме число. Простих чисел безліч. Із доведенням цього фак- ту ви можете ознайомитися на с. 35–37. Найбіль- шого простого числа не існує. Числа 6, 15, 49, 1000 мають більше ніж два дільники. Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше ніж два натуральних дільники. 28  Оскільки число 1 має тільки один дільник, то воно не належить ні до простих, ні до складених чисел. Складене число 105 можна різними способами подати у вигляді добутку його дільників. Наприклад, 105 = 15æ7 = 35æ3 = 5æ21 = 3æ5æ7. Останній добуток відрізняється від інших тим, що всі його множники — прості числа. Говорять, що число 105 розкладено на прості множники. Будь-яке складене число можна подати у ви- гляді добутку простих чисел, тобто розкласти на прості множники. Наприклад: 10 = 2æ5; 18 = 2æ3æ3; 30 = 2æ3æ5; 80 = 2æ2æ2æ2æ5; 81 = 3æ3æ3æ3; 200 = 2æ2æ2æ5æ5. Зауважимо, що будь-яких два розклади числа на прості множники складаються з одних і тих самих множників і можуть відрізнятися лише по- рядком їхнього розміщення. Зазвичай добуток однакових множників у роз- кладі числа на прості множники замінюють сте- пенем. Наприклад: 18 = 2æ32 ; 80 = 24 æ5; 81 = 34 ; 200 = 23 æ52. Під час розкладання числа на прості множники зручно користуватися схемою, яку продемонстру- ємо на прикладі розкладання числа 2940: 1) 2940 кратне 2, 2940 : 2 = 1470; 2) 1470 кратне 2, 1470 : 2 = 735; 3) 735 не кратне 2, але кратне 3, 735 : 3 = 245; 4) 245 не кратне 3, але кратне 5, 245 : 5 = 49; 5) 49 не кратне 5, але кратне 7, 49 : 7 = 7; 6) 7 кратне 7, 7 : 7 = 1. 29  Отже, 2940 = 2æ1470 = 2æ2æ735 = 2æ2æ3æ245 = 2æ2æ 1470 = 2æ2æ735 = 2æ2æ3æ245 = 2æ2æ3æ5æ49 = = 2æ2æ3æ5æ7 æ7 = 22 æ3æ5æ72. Наведений нижче «числовий стовпчик» наочно демонструє, як працює запропонована схема роз- кладання числа на прості множники: 2940 2 1470 2 735 3 245 5 49 7 77 1 ? 1. Яке натуральне число називають простим? 2. Яке на­ туральне числа називають складеним? 3. Чому число 1 не належить ні до простих, ні до складених чисел? 4. Чи існує парне просте число? 5. Назвіть найменше просте число. Розв'язуємо усно 1. Виконайте дії: 1) 4,99 + 4,01; 3) 6æ0,01; 5) 6 : 0,1; 2) 4,99 + 4,1; 4) 0,6æ0,1; 6) 0,6 : 0,01. 2. Які із чисел 106, 165, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389 діляться націло: 1) на 2; 2) на 5; 3) на 3; 4) на 9? 3. Назвіть усі дільники числа: 1) 28; 2) 29; 3) 30; 4) 31. 4. Число 204 дорівнює добутку чисел 34 і 6. Чи є число 34 дільником числа 204? А число 6? 5. Чому дорівнює частка чисел 945 і 9? Чи є отримана частка дільником числа 945? 6. У Поліни було на 26 грн більше, ніж у Дарини. Піс- ля того як Поліна купила нову книгу, у неї стало на 12 грн менше, ніж у Дарини. Скільки коштує книга? 30  Вправи 106.° Серед чисел 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47 укажіть: 1) прості; 2) складені. 107.° Використовуючи таблицю простих чисел, роз- ташовану на форзаці, назвіть усі прості числа, які більші за 290, але менші від 340. 108.° Користуючись таблицею простих чисел, по- даною на форзаці, укажіть, простим чи складеним є число: 1) 227; 2) 493; 3) 521; 4) 829; 5) 889. 109.° Користуючись таблицею простих чисел, по- даною на форзаці, випишіть із чисел 203, 353, 431, 451, 569, 679, 809, 943 складені числа. 110.° Запишіть усі дільники даного числа, підкрес- літь ті з них, які є простими числами: 1) 21; 2) 30; 3) 48; 4) 54. 111.° Чи є складеним число: 1) 8246; 2) 11 415; 3) 528; 4) 56 270? Відповідь обґрунтуйте. 112.° Розкладіть на прості множники число: 1) 12; 2) 42; 3) 216; 4) 450; 5) 920; 6) 2280. 113.° Розкладіть на прості множники число: 1) 27; 2) 56; 3) 625; 4) 820; 5) 2772; 6) 1224. 114. Запишіть: 1) усі прості числа, більші за 10 і менші від 25; 2) усі складені числа, більші за 35 і менші від 49. 115. Запишіть: 1) усі прості числа, більші за 22 і менші від 38; 2) усі складені числа, більші за 60 і менші від 78. 116. Простим чи складеним числом є добуток: 1) 13æ1; 3) 4 æ7; 5) 43æ1; 2) 14 æ1; 4) 11æ13; 6) 1æ111? 117. Запишіть усі дільники числа, яке дорівнює добутку: 1) 2æ2æ5; 2) 3æ5æ7. 31 118. Запишіть усі дільники числа, яке дорівнює добутку: 1) 2æ5æ13; 2) 3æ3æ3æ7. 119. На тарілки, яких було менше ніж 10, розклали порівну 65 слив. Скільки було тарілок? 120. На залізничничні платформи, яких було біль- ше ніж 15, навантажили порівну 119 контейнерів. Скільки контейнерів навантажили на одну плат- форму? 121. Чому дорівнює частка від ділення числа a на число b, якщо: 1) a = 2æ2æ2æ3æ3æ7, b = 2æ2æ3æ7; 2) a = 3æ5æ5æ13æ17 æ19, b = 3æ13æ19? 122. Чому дорівнює частка від ділення числа a на число b, якщо: 1) a = 2æ3æ5æ5æ7 æ11æ13, b = 2æ5æ13; 2) a = 2æ2æ3æ5æ23æ37, b = 2æ3æ37 ? 123. Запишіть усі двоцифрові числа, у розкладі яких на прості множники один із множників до- рівнює: 1) 7; 2) 17; 3) 23. 124. Запишіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається: 1) із двох однако- вих множників; 2) із трьох однакових множників. 125. Задумали просте число. Відомо, що наступне за ним натуральне число теж просте. Яке число за- думали? 126. Чи може сума двох простих чисел бути простим числом? У разі ствердної відповіді наведіть приклад. 127. Чи може бути простим числом: 1) добуток двох різних чисел; 2) значення площі квадрата, довжину сторони якого виражено натуральним числом? Відповідь обґрунтуйте. 32 128. Чи може сума двох складених чисел бути про- стим числом? У разі ствердної відповіді наведіть приклад. 129. Чи існує прямокутник, довжини сторін якого виражено натуральними числами, а периметр — простим числом (довжини сторін і периметр прямо- кутника виражені в тих самих одиницях виміру)? Відповідь обґрунтуйте. 130. Чи може добуток ста різних простих чисел ділитися націло: 1) на 3; 2) на 9? 131. Чи існують три послідовних натуральних числа: 1) кожне з яких є простим; 2) жодне з яких не є складеним? Відповідь обґрунтуйте. 132. При якому натуральному значенні n буде про- стим числом значення виразу: 1) 2n; 2) n2 ; 3) n (n + 1)? Вправи для повторення 133. Квадрат зі стороною 1,6 см і прямокутник, ширина якого 0,8 см, мають рівні площі. Знайдіть довжину пря- мокутника. 134. Розв’яжіть рівняння: 1) 4x + 5x + 4,7 = 16,4; 3) (35,8 – x) : 2,1 = 1,3; 2) 0,7x – 0,4x + 46 = 211; 4) 0,9 (283 – x) = 17,01. 135. Запишіть 5 чисел, що є кратними: 1) числа 8; 2) числа 18; 3) числа n. Учимося застосовувати математику 136. Відкриття першої школи на Русі відбулося, як за- писано в «Повісті минулих літ», у Києві за часів князя Володимира Святославовича 988 р. Першу в Україні гімназію було відкрито в Новгороді-Сіверському 1804 р. Через скільки років після відкриття першої школи це відбулося? На скільки років ваша школа «молодша» від першої школи? 33 137. У школі працюють два нічних охоронці: Іван Івано- вич і Петро Петрович. Вони працюють по черзі з вечора до ранку наступного дня. Іван Іванович заступив на чергу- вання 1 вересня, Петро Петрович — 2 вересня. Хто з них заступить на чергування 18 вересня? 29 вересня? 1 жов- тня? 30 жовтня? 31 жовтня? По яких числах — парних чи непарних — чергуватиме Іван Іванович у листопаді? Хто з них чергуватиме в ніч на Новий рік? 138. Олеся та Микола живуть у селі Грушеве, а навчають- ся в різних університетах міста Києва. До Центрального залізничного вокзалу Києва вони їдуть електропотягом. В університеті, де вчиться Олеся, заняття починаються о 8:30, а на шлях від залізничного вокзалу до університету вона витрачає 35 хв. В університеті, де вчиться Микола, заняття починаються о 9:00, а на шлях від вокзалу до університету він витрачає 40 хв. У таблиці наведено фрагмент розкладу руху електро- потягів. Відправлення Прибуття від станції Грушеве на вокзал у Київ 6:27 7:23 6:39 8:00 6:45 8:08 7:15 8:23 О котрій годині найпізніше може виїхати Олеся, а о ко­трій — Микола, щоб не запізнитися на заняття? Задача від Мудрої Сови 139. Шаховий кінь починає свій марш- 18 рут у лівому нижньому куті шахів- 27 36 ниці, а закінчує його в правому верх- 45 ньому куті. Чи може кінь при цьому 54 побувати на всіх полях шахівниці по 63 одному разу? 72 81 aa bb cc d d e e f f g g h h 34  Коли зроблено уроки Чи такі вже прості ці прості числа? Коли із чимось можна впоратися легко, без проблем, ми кажемо «проста задача», «проста справа», «простий маршрут» тощо. Вам може здатися, що коли йдеться про прості числа, то жодних ускладнень не передбачається. Проте це зовсім не так. Прості числа поставили перед математиками чимало питань, на багато які з них відповіді досі не знайдено. Деякі проблеми, пов’язані з прости- ми числами, розглянуто в цьому оповіданні. З першої тисячі натуральних чисел 168 є про- стими (див. форзац). Є прості числа й у другій, третій, четвертій тисячах. Може скластися вра- ження, що серед будь-яких 1000 натуральних чи- сел, які йдуть поспіль, трапляються прості. Але цей висновок помилковий. Запишемо у стовпчик 1000 числових виразів: 1æ2æ3æ...æ1000 æ1001 + 2; 1æ2æ3æ...æ1000 æ1001 + 3;... 1æ2æ3æ...æ1000 æ1001 + 1000; 1æ2æ3æ...æ1000 æ1001 + 1001. Значеннями цих виразів є послідовні натуральні числа. Кожне із цих чисел є складеним. Справді, перше число ділиться націло на 2, друге — на 3, дев’ятсот дев’яносто дев’яте — на 1000, тисячне — на 1001. Подібно до цього можна сконструювати, напри- клад, мільйон, мільярд, трильйон і т. д. складе- них чисел, які йдуть поспіль. 35  Тоді можна припустити, що в натуральному ряді, починаючи з якогось місця, узагалі немож- ливо натрапити на просте число. Однак і це не- правильно. Досліджуючи таблиці простих чисел, французький математик Жозеф Луї Франсуа Бер- тран (1822–1900) стверджував, що при n > 2 між числами n і 2n – 2 міститься щонайменше одне просте число, але не зміг цього довести. Ще давньогрецький учений Евклід у своїй зна- менитій книзі «Начала» довів, що існує безліч про- стих чисел. Він міркував приблизно так. Нехай простих чисел є скінченна кількість, наприклад стільки, скільки їх у першій тисячі. Перемножимо їх і до добутку додамо число 1. Отримаємо число n = 2æ3æ5æ...æ997 + 1. Число n більше за будь-яке з простих чисел першої тисячі. Отже, воно складе- не, а тому має ділитися націло на деяке просте число k. Водночас добуток 2æ3æ5æ...æ997 також ділиться націло на k. Тоді при діленні числа n на k отримаємо в остачі 1, а це суперечить тому, що число n ділиться націло на k. Як ви бачите, доведення непросте. Установити, наприклад, що існує безліч непарних (парних) чи- 36 сел, значно легше. Якщо у вираз 2n – 1 по чер- зі замість n підставляти всі натуральні числа, то отримаємо нескінченну послідовність, яка склада- ється з непарних чисел: 1, 3, 5, 7,.... Отже, вираз 2n – 1 породжує всі непарні числа. А чи існує вираз, при підстановці в який замість букви будь-якого натурального числа отримаємо просте число? 6n Звісно, існує! Ось, наприклад,. При будь- 2n якому натуральному n цей вираз буде «видавати» просте число 3. Зрозуміло, що така «формула» простих чисел нас не задовольняє. Хотілося б мати вираз, який дав би змогу отримувати всі прості числа одне за одним. На жаль, математики досі такого зручного виразу не знайшли. У світі простих чисел є багато й інших нерозв’язаних задач. Наприклад, у таблиці про- стих чисел (див. форзац) червоним кольором ви- ділено прості числа, які відрізняються на 2. Це, зокрема, 3 і 5, 5 і 7, 419 і 421. Прості числа, які утворюють такі пари, називають близнюка- ми. Скінченною чи нескінченною є кількість пар близнюків, поки що невідомо. Залишається загадкою, скільки існує простих чисел, усі цифри яких — одиниці. Наприклад, числа 11, 11 111, 11 111 111 111 111 111 111 111 є простими. Скінченною чи нескінченною є множина1 про- стих чисел, у записі яких не міститься жодного нуля, ще й досі не знає ніхто. 1 Докладніше з поняттям множини ви ознайомитеся в оповіданні «Нерозумні» числа». 37  5. Найбільший спільний дільник Число 28 має такі дільники: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Дільниками числа 42 є числа 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Пурпуровим кольором виділено числа 1, 2, 7, 14, які є спільними дільниками чисел 28 і 42. Серед спільних дільників число 14 є найбільшим. Найбільше натуральне число, на яке ділить- ся націло кожне з двох даних натуральних чи- сел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел. Найбільший спільний дільник чисел a і b по- значають так: НСД (a; b). Отже, можна записати: НСД (28; 42) = 14. Неважко встановити, наприклад, що НСД (7; 12) = = 1, НСД (10; 25) = 5, НСД (18; 24) = 6. Найбільший спільний дільник багатоцифрових чисел зручно знаходити, попередньо розклавши їх на прості множники. Знайдемо НСД (455; 770). Розкладемо числа 455 і 770 на прості множники: 455 5 770 2 91 7 385 5 13 13 77 7 1 455 = 5æ7 æ13 11 11 1 770 = 2æ5æ7 æ11 Пурпуровим кольором виділено всі спільні про- сті дільники цих чисел: 5 і 7. Найбільше число, на яке діляться націло і 455, і 770, дорівнює 5æ7, тобто НСД (455; 770) = 5æ7 = 35. Розглянемо ще один приклад: знайдемо НСД (180; 840). Розклавши числа 180 і 840 на прості множники, отримаємо: 180 = 2æ2æ3æ3æ5; 840 = 2æ2æ2æ3æ5æ7. 38  Як бачимо, у розкладах даних чисел деякі про- сті множники повторюються. Число 2 у розкладі числа 180 трапляється двічі, а в розкладі числа 840 — тричі. При цьому число 4, яке дорівнює 2æ2, є спільним дільником даних чисел, а чис- ло 8, яке дорівнює 2æ2æ2, не є дільником числа 180. Так само видно, що число 3 — спільний діль- ник даних чисел, а число 9, яке дорівнює 3æ3, не є дільником числа 840. Ще розглядувані числа мають спільний дільник — число 5. Отже, числа 180 і 840 діляться націло на кож- не із чисел 4, 3, 5. Вони також діляться націло й на їхній добуток 4 æ3æ5. Таким чином, НСД (180; 840) = 4 æ3æ5 = 60. Якщо розклади чисел 180 і 840 на прості множ- ники записати у вигляді добутку степенів: 180 = 22 æ32 æ51; 840 = 23 æ31 æ51 æ71, то НСД зручно знаходити за таким правилом. 1) Визначити степені, основи яких є спільни- ми простими дільниками даних чисел (у розгля- дуваному прикладі це основи 2, 3, 5). 2) Із кожної пари степенів з однаковими осно- вами вибрати степінь з меншим показником (у розглядуваному прикладі це 22 , 31, 51 ). 3) Перемножити вибрані степені. Отриманий добуток є шуканим найбільшим спільним дільником (у розглядуваному прикладі НСД (180; 840) = 22 æ31 æ51 ). Розглянемо ще один приклад. Знайдемо НСД (585; 616). Маємо: 585 = 32 æ5æ13; 616 = 23 æ7 æ11. Бачимо, що числа 585 і 616 не мають спільних простих дільників. Їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1, тобто НСД (585; 616) = 1. 39  Якщо найбільший спільний дільник двох на- туральних чисел дорівнює 1, то їх називають взаємно простими. Числа 585 і 616 — взаємно прості. Зазначимо, що будь-які два простих числа є взаємно простими. Наприклад, НСД (17; 43) = 1, НСД (101; 919) = 1. Приклад 1. Знайдіть НСД (250; 3000). Розв’язання. У цьому випадку немає потреби розкладати дані числа на прості множники. Чис- ло 250 — дільник числа 3000. Тому НСД (250; 3000) = 250. Відповідь: 250. Узагалі, якщо число a — дільник числа b, то НСД (a; b) = a. Дійсно, число b ділиться націло на а і чис- ло а ділиться націло на а. Тоді, число а — спіль- ний дільник чисел а і b. Спільний дільник не може бути більшим за а. Отже, НСД (а; b) = а. Наприклад, НСД (3; 39) = 3, НСД (48; 16) = 16. Зауважимо, що можна знаходити найбільший спільний дільник будь-якої кількості натуральних чисел, зокрема трьох. Приклад 2. Знайдіть НСД (132; 180; 144). Розв’язання. Розкладемо дані числа на прості множники: 132 2 180 2 144 2 66 2 90 2 72 2 33 3 45 3 36 2 11 11 15 3 18 2 1 55 93 1 33 1 132 = 2 æ3æ11; 180 = 2 æ3 æ5; 144 = 24 æ32. 2 2 2 40  Отже, НСД (132; 180; 144) = 22 æ3 = 12. Відповідь: 12. ? 1. Яке число називають найбільшим спільним дільником двох чисел? 2. Як можна знайти НСД двох натуральних чисел, використовуючи їхній розклад на прості множники? 3. Які числа називають взаємно простими? 4. Чому до­ рівнює НСД двох чисел, одне з яких кратне другому? Розв'язуємо усно 1. Скільки існує простих чисел, останньою цифрою яких є 5? 2. Чи може просте число ділитися націло на 3? на 9? 3. Які однакові цифри треба поставити замість зірочок, щоб була правильною рівність 2,* + 4,* = 7,6? 4. Чи є наведений розклад на множники розкладом на прості множники: 1) 120 = 2æ3æ4æ5; 2) 567 = 7æ92 ; 3) 180 = 3æ6æ10 ? 5. Скільки всього дільників має число a, якщо a = 3æ5æ19? Вправи 140.° Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 1) 12 і 18; 4) 48 і 64; 2) 24 і 30; 5) 35 і 18; 3) 6 і 36; 6) 14, 21 і 28. 141.° Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 1) 16 і 24; 4) 45 і 56; 2) 15 і 60; 5) 21 і 49; 3) 10 і 15; 6) 12, 18 і 24. ¿ 142.° Знайдіть найбільший спільний дільник чисел a і b: 1) a = 2æ2æ3æ5æ7 æ19, b = 2æ3æ3æ7 æ11æ13; 2) a = 23 æ32 æ73 æ112 æ19, b = 22 æ35 æ112 æ193. 41 ¿ 143.° Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 1) 72 і 120; 3) 924 і 396; 2) 792 і 1188; 4) 116 і 111. ¿ 144.° Знайдіть найбільший спільний дільник чисел: 1) 42 і 105; 2) 588 і 252; 3) 680 і 612. 145.° Чи є взаємно простими числа: 1) 10 і 15; 2) 8 і 12; 3) 14 і 15; 4) 6 і 11? 146.° Серед наведених пар чисел виберіть пари вза- ємно простих чисел: 1) 14 і 21; 3) 42 і 55; 5) 28 і 39; 2) 54 і 65; 4) 14 і 70; 6) 63 і 42. Для пар чисел, які не є взаємно простими, укажіть їхній найбільший спільний дільник. 147.° Із 96 пачок печива та 64 пачок вафель збира- ють однакові набори. Яку найбільшу кількість та- ких наборів можна створити? Скільки пачок печива і скільки пачок вафель буде в кожному наборі? 148.° Треба розподілити 92 тлумачних і 138 орфо- графічних словників української мови між якомога більшою кількістю шкільних бібліотек так, щоб до кожної бібліотеки потрапив однаковий комплект словників. Яку найбільшу кількість комплектів можна створити? Скільки словників кожного виду буде в одному комплекті? 149. Складіть усі пари взаємно простих чисел із чисел 12, 14, 33, 25. 150. Складіть усі пари взаємно простих чисел із чисел 15, 16, 21, 77. 151. Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 15, у яких чисельник і знаменник — взаємно про- сті числа. 42 152. Запишіть усі неправильні дроби з чисельни- ком 16, у яких чисельник і знаменник — взаємно прості числа. ¿ 153. Доведіть, що: 1) числа 364 і 495 — взаємно прості; 2) числа 380 і 399 не є взаємно простими. ¿ 154. Доведіть, що: 1) числа 945 і 572 — взаємно прості; 2) числа 1095 і 738 не є взаємно простими. 155. Використовуючи цифри 2, 3, 4, запишіть усі можливі двоцифрові числа (цифри в кожному дво- цифровому числі мають бути різними). З утворених чисел випишіть пари взаємно простих чисел. 156. Напишіть три такі пари складених чисел, щоб у кожній парі числа були взаємно простими. 157. Між учнями та учениця- ми 6 класу поділили порівну 155 зошитів і 62 ручки. Скіль- ки в цьому класі дітей? 158. Для новорічних подарун- ків придбали 96 шоколадок, 72 апельсини та 84 банани. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна з них склас- ти, якщо треба використати всі продукти? Скільки окремо шо- коладок, апельсинів і бананів буде в кожному подарунку? 159. Зі 156 жовтих, 234 білих і 390 червоних троянд складали букети. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти, якщо треба ви- користати всі квіти? 43  Вправи для повторення 160. Використовуючи цифри 2, 5 і 9 (цифри повторюва- ти не можна), запишіть трицифрове число: 1) кратне 2; 2) кратне 5. Чи можна за допомогою цих цифр записати число, кратне 3? 161. Яку цифру можна поставити замість зірочки в записі 1*8, щоб отримане число ділилося націло на 18? 162. Запишіть число 19 у вигляді суми трьох простих чисел. 163. Якщо до деякого двоцифрового числа праворуч до- писати нуль, то дане число збільшиться на 432. Знайдіть це число. 164. Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку об- числень: æa +b :c 1) 38 →1,9 → 2,24 → 56; → 4 æ :y 2) a + 2,5 x →1,6 → 32. Задача від Мудрої Сови 165. Футбольний м’яч щільно обтягнутий сіткою. Із кож- ного вузла сітки виходить 3 мотузки. Чи може в цій сітці бути 999 вузлів? 6. Найменше спільне кратне Число 24 кратне кожному із чисел 6 і 4. У цьо- му разі кажуть, що число 24 є спільним кратним чисел 4 і 6. Запишемо числа, кратні 4. Маємо: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,.... Запишемо числа, кратні 6. Маємо: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,.... Пурпуровим кольором виділено спільні кратні чисел 4 і 6. Найменше натуральне число, яке ділиться націло на кожне з двох даних натуральних чи- 44 сел, називають найменшим спільним кратним цих чисел. Найменше спільне кратне чисел a і b позна- чають так: НСК (a; b). Отже, можна записати: НСК (4; 6) = 12. Неважко встановити, що НСК (2; 3) = 6, НСК (10; 15) = 30, НСК (12; 24) = 24. Для пошуку НСК двох чисел, наприклад 18 і 30, можна скористатися такою схемою: будемо послідовно виписувати числа, кратні 30, доти, доки не отримаємо число, кратне 18. Маємо: 30; 60; 90. Число 90 є найменшим спільним кратним чисел 18 і 30. Проте частіше для пошуку НСК використову- ють інший спосіб. Розглянемо розклади на прості множники чи- сел 18, 30 і числа 90, яке є їхнім найменшим спільним кратним. Маємо: 18 = 2æ3æ3 = 2æ32 ; 30 = 2æ3æ5; 90 = 2æ3æ3æ5 = 2æ32 æ5. Як бачимо, число 90, що є найменшим спіль- ним кратним чисел 18 і 30, містить усі множники з розкладу числа 18 (їх виділено пурпуровим ко- льором) і множник 5 з розкладу числа 30, якого немає в розкладі числа 18 (його позначено бла- китним кольором). Розглянемо ще один приклад. Знайдемо НСК (84; 90). Маємо: 84 = 2æ2æ3æ7; 90 = 2æ3æ3æ5. Тоді НСК (84; 90) = 2æ2æ3æ7 æ3æ5 = 1260. 45  Якщо розклади чисел 84 і 90 на прості множ- ники записати у вигляді добутку степенів: 84 = 22 æ31 æ71; 90 = 21 æ32 æ51, то НСК зручно знаходити за таким правилом. 1) Вибрати степені, основи яких трапляють- ся лише в одному з розкладів даних чисел на прості множники (у розглядуваному прикладі це 71 і 51 ). 2) Із кожної пари степенів з однаковими осно- вами вибрати степінь з більшим показником (у розглядуваному прикладі це 22