نظرية ذات الحدين PDF

‫الباب الرابع‬ ‫نظرية ذات احلدين‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫‪ 4‬نظرية ذات احلدين‬ ‫‪ 4.1‬نظرية ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‬ ‫§ مفكوك ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‬ ‫§ معامالت احلدود ف مفكوك ذات احلدين‬...

‫الباب الرابع‬ ‫نظرية ذات احلدين‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫‪ 4‬نظرية ذات احلدين‬ ‫‪ 4.1‬نظرية ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‬ ‫§ مفكوك ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‬ ‫§ معامالت احلدود ف مفكوك ذات احلدين‬ ‫§ إيجاد حد معي ف مفكوك ذات احلدين‬ ‫‪ 4.2‬نظرية ذات احلدين لألس السالب أو الكسري‬ ‫§ مفكوك ذات احلدين لألس السالب أو الكسري‬ ‫‪ 4.3‬مثلث باسكال‬ ‫§ خ واص م ثلث باس ك ال‬ ‫§ نظرية ذات احلدين ومثلث باسكال‬ ‫‪1‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫نظرية ذات احلدين ‪Binomial Theorem‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 4.1‬نظرية ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‬ ‫ألي مقدارين 𝑦 ‪ 𝑥 ,‬إذا جمعا معاً ثم رفع مجموعهما لقوة ما ‪ ،‬نعلم أن‬ ‫𝑦 ‪(𝑥 + 𝑦)! = 𝑥 +‬‬ ‫" 𝑦 ‪(𝑥 + 𝑦)" = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 " + 2𝑥𝑦 +‬‬ ‫‪(𝑥 + 𝑦)# = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 # + 3𝑥 " 𝑦 + 3𝑥𝑦 " + 𝑦 #‬‬ ‫)𝑦 ‪(𝑥 + 𝑦)$ = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦)(𝑥 +‬‬ ‫‪= 𝑥 $ + 4𝑥 # 𝑦 + 6𝑥 " 𝑦 " + 4𝑥𝑦 # + 𝑦 $‬‬ ‫عملية الضرب املتكرر تصعب كلما زادت القوة املرفوع لها املقدار ‪ ،‬ولكن نالحظ أن احلدود‬ ‫الناجتة من عملية الرفع لقوة تأخذ منطاً عاماً موحداً‪ ،‬مثالً‪:‬‬ ‫ عدد احلدود يزيد عن األس بـ ‪1‬‬ ‫ قوى احلدود تبدأ باألس نفسه ف احلد األول ثم تتناقص إلى أن تتالشى‪ ،‬بينا قوى احلد‬ ‫الثاني بالعكس تبدأ من الصفر ثم تتزايد إلى أن تصل إلى األس ف احلد األخير وهكذا ‪..‬‬ ‫نستطيع تعميم هذه النتائج ألي أس صحيح موجب ‪ n‬ونقول أن مفكوك مجموع حدين املرفوع‬ ‫للق و ة ‪ n‬ه و ‪:‬‬ ‫‪n(n − 1) !"$ $ n(n − 1)(n − 2) !"% %‬‬ ‫‪(𝑥 + 𝑦)! = 𝑥 ! + 𝑛 𝑥 !"# 𝑦 +‬‬ ‫‪𝑥 𝑦 +‬‬ ‫!𝑦 ‪𝑥 𝑦 + ⋯ +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(3)(2‬‬ ‫معامالت احلدود واضح أنها ف صورة توافيق )‪ (Combination‬لذلك نكتب املفكوك بالصورة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫… ‪(𝑥 + 𝑦)% = 𝐶(% 𝑥 %&( 𝑦 ( + 𝐶!% 𝑥 %&! 𝑦 ! + 𝐶"% 𝑥 %&" 𝑦 " +‬‬ ‫‪+ 𝐶'% 𝑥 %&' 𝑦 ' + ⋯ + 𝐶%% 𝑥 %&% 𝑦 %‬‬ ‫‪(𝑥 + 𝑦)% = 𝑥 % + C!% 𝑥 %&! 𝑦 ! + C"% 𝑥 %&" 𝑦 " + … + C'% 𝑥 %&' 𝑦 ' + ⋯ + 𝑦 %‬‬ ‫وهذا هو ما يعرف مبفكوك ذات احلدين لألس الصحيح املوجب 𝒏‬ ‫أو بص ورة أخ ر ى‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪(𝑥 + 𝑦)% = 𝑥 % + 0 3 𝑥 %&! 𝑦 ! + 0 3 𝑥 %&" 𝑦 " + ⋯ + 0 3 𝑥 %&' 𝑦 ' + ⋯ + 𝑦 %‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑛‬ ‫' ‪C!" = $‬‬ ‫ح يث‬ ‫𝑟‬ ‫هذه احلدود ميكن أيضاً كتابتها باستخدام رمز اجملموع كالتالي‪:‬‬ ‫‪%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫𝑛‬ ‫' 𝑦 '&‪(𝑥 + 𝑦)% = 6 C'% 𝑥 %&' 𝑦 ' = 6 0 3 𝑥 %‬‬ ‫𝑟‬ ‫()'‬ ‫()'‬ ‫𝑛‬ ‫مع مالحظة أن ' 𝑦 '&‪ 0 3 𝑥 %‬هو احلد العام ف املفكوك‬ ‫𝑟‬ ‫‪3‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫معامالت احلدود ف مفكوك ذات احلدين‪:‬‬ ‫معامالت احلدود ف املفكوك هي التوافيق‬ ‫𝑛‬ ‫!𝑛‬ ‫= ' ‪C!" = $‬‬ ‫𝑟‬ ‫!)𝑟 ‪𝑟! (𝑛 −‬‬ ‫ويسمى معامل ذو احلدين أو املعامل الثنائي )‪(binomial coefficient‬‬ ‫حيث 𝑛 األس الصحيح املوجب ‪ ،‬و ‪𝑟 = 0,1,2, … , 𝑛.‬‬ ‫و ح يث ا لر م ز " ! " ي ش ي ر إ ل ى م ض ر و ب ا ل ع د د ‪.‬‬ ‫م ض ر و ب الع د د ‪:‬‬ ‫هو حاصل ضرب جميع األعداد الصحيحة املوجبة األصغر من أو تساوي العدد املعطى‬ ‫أي ‪:‬‬ ‫‪𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ….3.2.1‬‬ ‫مثالً ‪:‬‬ ‫‪3! = 3.2.1 = 6‬‬ ‫‪5! = 5.4.3.2.1 = 120‬‬ ‫خ واص ه ام ة للم ض روب ‪:‬‬ ‫!)‪Ø 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1‬‬ ‫مثالً )!‪4! = 4. (3.2.1) = 4. (3‬‬ ‫‪Ø 1! = 1‬‬ ‫‪Ø 0! = 1‬‬ ‫‪4‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫بعض اخلواص الهامة للتوافيق‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪§ C(% = C%% = 1‬‬ ‫‪; 0 3=0 3=1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪C(* = 0 3 = 1‬‬ ‫‪, C** = 0 3 = 1‬‬ ‫مثالً‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫!&‪§ C!% = C%‬‬ ‫‪%‬‬ ‫𝑛=‬ ‫‪; 0 3=0‬‬ ‫𝑛=‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪C!+ = 0 3 = 5 ,‬‬ ‫مثالً ‪C$+ = 0 3 = 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪§ C'% = 0 3 = 0‬‬ ‫‪𝑖𝑓 𝑟 > 𝑛 + 1‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C+$ = 0 3 = 0‬‬ ‫مثالً‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑛‬ ‫!‪%‬‬ ‫!)'&‪C'% = 0 3 = '!(%‬‬ ‫ممكن التأكد من صحة هذه اخلواص بالتعويض ف القانون‬ ‫𝑟‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫توجد عدة رموز للتوافيق تستخدمها املراجع والكتب اخملتلفة‪ ،‬وكلها تعني نفس الشيء ‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫'𝐶‪C'% , 0 3 , 𝐶 (𝑛, 𝑟) , %‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪5‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫خواص مفكوك ذات احلدين لألس الصحيح املوجب‪:‬‬ ‫ عدد حدود املفكوك يساوي ‪ , n + 1‬أي أن عدد احلدود يزيد عن األس مبقدار ‪. 1‬‬ ‫ احلد األول ف املفكوك هو ‪ ، 𝑥 %‬ثم ينقص أس 𝑥 ف احلدود التالية مبقدار الواحد على‬ ‫التوالي إلى أن يختفي ف احلد األخير‪.‬‬ ‫ يبدأ ظهور املقدار ‪ y‬ف املفكوك ف احلد الثاني ‪ ،‬ثم يزيد أس ‪ y‬مبقدار الواحد على‬ ‫التوالي حتى نصل للحد األخير ف املفكوك ويكون ‪𝑦 %‬‬ ‫ مجموع قوى ‪ x‬و ‪ y‬ف أي حد من حدود املفكوك يساوي دائماً األس ‪. n‬‬ ‫احلد العام ف مفكوك ذات احلدين ‪:‬‬ ‫احلد العام الذي رتبته ‪ r + 1‬يرمز له بالرمز‪U'/! :‬‬ ‫𝑛‬ ‫' 𝑦 '&‪U'/! = C'% 𝑥 %‬‬ ‫' 𝑦 '&‪𝑜𝑟 U'/! = 0 3 𝑥 %‬‬ ‫𝑟‬ ‫والذي من خالله ميكن إيجاد قيمة أي حد بشكل منفرد دون احلاجة لفك املقدار كامالً ‪ ،‬مثالً‬ ‫إليجاد احلد األول توضع ‪ r = 0‬واحلد الثاني توضع ‪ r =1‬واحلد الرابع توضع ‪r = 3‬‬ ‫و ه ك ذ ا‪..‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫‪ -１‬عند إيجاد مفكوك املقدار ‪ (𝑥 + 𝑦)%‬فإن إشارة كل حد ف املفكوك تعتمد على إشارة كل‬ ‫من ‪ x , y‬فتكون إشارة احلدود كلها موجبة إذا كانت إشارتي ‪ x ,y‬موجبة أما إذا كانت‬ ‫إشارة أحدهما عل األقل سالبة فسوف تظهر حدود سالبة ف املفكوك‪....‬لذلك إذا كانت‬ ‫إشارة الوسط بي احلدين سالبة ‪ (𝑥 − 𝑦)%‬يفضل كتابتها بالشكل ‪ (𝑥 + (−𝑦))%‬قبل‬ ‫إيجاد املفكوك‪.‬‬ ‫‪6‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫م ث ا ل ‪:١‬‬ ‫أوجد قيمة معامل ذات احلدين‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪(c‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(d‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪8‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫!𝑛‬ ‫=‪∵0 3‬‬ ‫𝑟‬ ‫!) 𝑟 ‪𝑟! (𝑛 −‬‬ ‫‪6‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫!‪0.+.$‬‬ ‫‪𝑎) 0 3 = "!(0&")! = "!($)! = ".!($)! = 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪𝑏) 0 3 = 1‬‬ ‫من اخلواص مباشرة‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫!*‬ ‫!*‬ ‫!‪*.0.+‬‬ ‫‪c) 0 3 = +!(*&+)! = +!(")! = +!." = 21‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪d) 0‬‬ ‫‪3 = 100‬‬ ‫من اخلواص مباشرة‪:‬‬ ‫‪99‬‬ ‫م ث ا ل ‪:٢‬‬ ‫أوجد مفكوك املقدار ‪(𝑥 + 𝑦)+‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫بالتعويض املباشر ف قاعدة املفكوك‬ ‫‪(𝑥 + 𝑦)+ = 𝑥 + + C!+ 𝑥 +&! 𝑦 ! + C"+ 𝑥 +&" 𝑦 " + C#+ 𝑥 +&# 𝑦 #‬‬ ‫‪+ C$+ 𝑥 +&$ 𝑦 $ + 𝑦 +‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪= 𝑥 + + 5 𝑥 $𝑦! +‬‬ ‫‪𝑥 #𝑦 " +‬‬ ‫‪𝑥 "𝑦 #‬‬ ‫!)‪2! (5 − 2‬‬ ‫!)‪3! (5 − 3‬‬ ‫‪+ 5 𝑥!𝑦 $ + 𝑦 +‬‬ ‫‪= 𝑥 + + 5 𝑥 $ 𝑦 + 10 𝑥 # 𝑦 " + 10 𝑥 " 𝑦 # + 5 𝑥 𝑦 $ + 𝑦 +‬‬ ‫‪7‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫م ث ا ل ‪:٣‬‬ ‫أوجد مفكوك املقدار ‪(𝑥 − 2)$‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫بالتعويض املباشر ف قاعدة املفكوك‬ ‫‪$‬‬ ‫‪(𝑥 − 2)$ = H𝑥 + (−2)I‬‬ ‫‪= 𝑥 $ + C!$ 𝑥 $&! (−2)! + C"$ 𝑥 $&" (−2)" + C#$ 𝑥 $&# (−2)#‬‬ ‫‪+ (−2)$‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫)‪= 𝑥 $ + 4 𝑥 # (−2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥 " (4) +‬‬ ‫!)‪2! (4 − 2‬‬ ‫‪4 𝑥 ! (−8) + 16‬‬ ‫‪(𝑥 − 2)$ = 𝑥 $ − 8 𝑥 # + 24 𝑥 " − 32 𝑥 + 16‬‬ ‫م ث ا ل ‪:٤‬‬ ‫أوجد مفكوك املقدار ‪(1 − 𝑥 )0‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪(1 − 𝑥 )0 = (1 + (−𝑥))0‬‬ ‫‪= 10 + C!0 10&! (−𝑥)! + C"0 10&" (−𝑥)" + C#0 10&# (−𝑥)#‬‬ ‫‪+ C$0 10&$ (−𝑥)$ + C+0 10&+ (−𝑥)+ + (−𝑥)0‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪= 1 + 6(−𝑥) +‬‬ ‫‪(𝑥) +‬‬ ‫) ‪(−𝑥 #‬‬ ‫!)‪2! (6 − 2‬‬ ‫!)‪3! (6 − 3‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥 $ + 6 (−𝑥 + ) + 𝑥 0‬‬ ‫!)‪4! (6 − 4‬‬ ‫‪= 1 − 6𝑥 + 15 𝑥 " − 20 𝑥 # + 15 𝑥 $ + − 6 𝑥 + + 𝑥 0‬‬ ‫‪8‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫م ث ا ل ‪:٥‬‬ ‫أوجد مفكوك املقدار ‪(2 + 3𝑥 )+‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪(2 + 3𝑥 )+ = 2+ + C!+ 2+&! (3𝑥)! + C"+ 2+&" (3𝑥)" + C#+ 2+&# (3𝑥)#‬‬ ‫‪+ C$+ 2+&$ (3𝑥)$ + (3𝑥)+‬‬ ‫مبا أن ‪:‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫)!‪5(4)(3‬‬ ‫‪C!+ = 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ‪C"+‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫!)‪2! (5 − 2‬‬ ‫!)‪2! (3‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫)!‪5(4)(3‬‬ ‫= ‪C#+‬‬ ‫=‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪C$+ = 5‬‬ ‫!)‪3! (5 − 3‬‬ ‫!)‪3! (2‬‬ ‫إذ اً‬ ‫‪(2 + 3𝑥 )+ = 32 + 5(16)(3𝑥) + 10(8)(9) 𝑥 " + 10 (4)(27)𝑥 #‬‬ ‫‪+ 5 (2)(81)𝑥 $ + 243 𝑥 +‬‬ ‫‪(2 + 3𝑥 )! = 32 + 240 𝑥 + 720 𝑥 " + 1080 𝑥 # + 810 𝑥 $ + 243 𝑥 !.‬‬ ‫م ثال ‪: ٦‬‬ ‫أوجد احلد اخلامس ف مفكوك *)𝑦 ‪(𝑥 +‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫جند أن ‪n = 7‬‬ ‫نق ارن بالص و ر ة العام ة ‪( 𝑥 + 𝑦 ) %‬‬ ‫نستخدم صورة احلد العام‬ ‫' 𝑦 '&‪U'/! = C'% 𝑥 %‬‬ ‫‪9‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫نريد احلد اخلامس يعني ‪U5‬‬ ‫‪∴ 𝑟+1=5‬‬ ‫‪⇒ 𝑟=4‬‬ ‫نعوض بقيمتي 𝑛 ‪ 𝑟 ,‬ف احلد العام‬ ‫!‪7‬‬ ‫= ‪⇒ U+ = C$* 𝑥 *&$ 𝑦 $‬‬ ‫‪𝑥# 𝑦$‬‬ ‫!)‪4! (7 − 4‬‬ ‫‪7.6.5.4! # $‬‬ ‫=‬ ‫𝟒𝒚 𝟑𝒙 𝟓𝟑 = 𝑦 𝑥‬ ‫!)‪4! (3‬‬ ‫وهذا هو احلد اخلامس املطلوب‪.‬‬ ‫م ث ا ل ‪:٧‬‬ ‫أوجد احلد التاسع ف مفكوك "!) 𝑏 ‪(3 −‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪n = 12 , y = -b , x =3‬‬ ‫جند ‪:‬‬ ‫نق ارن بالص و ر ة العام ة ‪( 𝑥 + 𝑦 ) %‬‬ ‫احلد العام ‪:‬‬ ‫' 𝑦 '&‪U'/! = C'% 𝑥 %‬‬ ‫نريد احلد التاسع يعني ‪U9‬‬ ‫‪∴ 𝑟+1=9‬‬ ‫‪⇒ 𝑟=8‬‬ ‫‪⇒ U5 = C6!" 3!"&6 (−𝑏)6‬‬ ‫!‪12‬‬ ‫=‬ ‫‪3$ (−1)6 𝑏 6‬‬ ‫!)‪8! (12 − 8‬‬ ‫!‪12.11.10.9.8‬‬ ‫=‬ ‫𝟖𝒃 )𝟏𝟖( ‪. 81. 𝑏 6 = (𝟒𝟗𝟓).‬‬ ‫!)‪8! (4‬‬ ‫وهذا هو احلد التاسع املطلوب‪.‬‬ ‫‪10‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫م ث ا ل ‪:٨‬‬ ‫أوجد احلد الرابع ف مفكوك *)𝑏‪(𝑎 + 2‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪n = 7 , x = a , y = 2b‬‬ ‫جند ‪:‬‬ ‫نق ارن بالص و ر ة العام ة ‪( 𝑥 + 𝑦 ) %‬‬ ‫احلد العام ‪:‬‬ ‫' 𝑦 '&‪U'/! = C'% 𝑥 %‬‬ ‫نريد احلد الرابع يعني ‪U4‬‬ ‫‪∴ 𝑟+1=4‬‬ ‫‪⇒ 𝑟=3‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫= ‪⇒ U$ = C#* 𝑎 *&# (2𝑏)#‬‬ ‫‪𝑎$ (2)# 𝑏 #‬‬ ‫!)‪3! (7 − 3‬‬ ‫!‪7.6.5.4‬‬ ‫=‬ ‫𝟑𝒃 𝟒𝒂 𝟎𝟖𝟐 = ‪.8 𝑎$ 𝑏 # = 35.8 𝑎$ 𝑏 #‬‬ ‫(‬ ‫! ‪3! 4‬‬‫)‬ ‫وهذا هو احلد الرابع املطلوب‪.‬‬ ‫مترين‪:‬‬ ‫‪ -‬ف املثال السابق أوجد احلد اخلامس‬ ‫‪ -‬أوجد احلد السادس ف مفكوك (!)𝑏 ‪(2 −‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3, 0 3 ، 0 3‬‬ ‫أوجد قيمة معامل ذات احلدين ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫‪ 4.2‬نظرية ذات احلدين لألس السالب أو الكسري‬ ‫عندما تكون 𝑛 عدداً صحيحاً سالباً أو كسرياً ‪ ،‬ف هذه احلالة يعبر عن املفكوك بنفس الصورة‬ ‫السابقة ولكن عدد احلدود سيكون غير منتهٍ )ال نهائي( أي ال يوجد حد أخير ‪ ،‬كاآلتي‪:‬‬ ‫⋯ ‪(𝑥 + 𝑦)% = 𝑥 % + 𝐶!% 𝑥 %&! 𝑦 ! + 𝐶"% 𝑥 %&" 𝑦 " + … + 𝐶'% 𝑥 %&' 𝑦 ' +‬‬ ‫ومن أجل السهولة ف التطبيق يفضل جعل املقدار على الصورة ‪(1 + 𝑥 )%‬‬ ‫وذلك بعد استخراج عامل مشترك فيصبح املفكوك‪:‬‬ ‫⋯ ‪(1 + 𝑥)% = 1 + 𝑛𝑥 + 𝐶"% 𝑥 " + ⋯ + 𝐶'% 𝑥 ' +‬‬ ‫⬚‬ ‫⬚‬ ‫!𝑛‬ ‫"‬ ‫!𝑛‬ ‫‪=1+𝑛𝑥 +‬‬ ‫‪𝑥 + …+‬‬ ‫⋯ ‪𝑥' +‬‬ ‫!)‪2! (𝑛 − 2‬‬ ‫!)𝑟 ‪𝑟! (𝑛 −‬‬ ‫ولكي يتقارب هذا املفكوك البد من حتقق الشرط ‪|𝑥| < 1‬‬ ‫أما إذا كان ‪ |𝑥| > 1‬فإن املقدار يكون متباعداً وبالتالي ال ميكن إيجاده‪.‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫ احلد الثاني ف املقدار ‪ (1 + 𝑥)%‬قد يكون أي مقدار جبري وال يقصد به 𝑥 نفسها‬ ‫ عند إيجاد مفكوك ذات احلدين لألس السالب أو غير الصحيح يكتفى عادة باألربعة أو‬ ‫اخلمسة حدود األولى من املفكوك مالم يطلب خالف ذلك‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫نظرية ذات احلدين‬ ‫م ث ا ل ‪:٩‬‬ ‫اكتب احلدود األربعة األولى ف مفكوك كل من ‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪#‬‬ ‫" !‬ ‫‪𝑖) (1 +‬‬ ‫‪3𝑥)&+‬‬ ‫‪𝑖𝑖) 0𝑥 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫"&)‪𝑖𝑖𝑖) (2𝑥 + 5‬‬ ‫‪#‬‬ ‫ثم اذكر شرط تقارب )وجود( املفكوك ف كل حالة‪.‬‬ ‫احلل‪:‬‬ ‫‪𝑖) (1 + 3𝑥)&+‬‬ ‫ن ع و ض ف الق اع د ة ‪:‬‬ ‫⋯ ‪(1 + 𝑥)% = 1 + 𝑛 𝑥 + C"% 𝑥 " + … + C'% 𝑥 ' +‬‬ ‫‪n = -5‬‬ ‫‪= 3x‬احلد الثاني ‪,‬‬ ‫⋯ ‪∴ (1 + 3𝑥 )&+ = 1 + (−5)(3 𝑥 ) + C"&+ (3𝑥 )" + C#&+ (3𝑥 )# +‬‬ ‫!‪&+‬‬ ‫!‪&+‬‬ ‫‪= 1 − 15 𝑥 +‬‬ ‫‪9𝑥 " +‬‬ ‫⋯ ‪27𝑥 # +‬‬ ‫!)"&‪"!(&+‬‬ ‫!)‪#!(&+&#‬‬ ‫!)"&‪&+(&+&!)(&+‬‬ ‫‪= 1 − 15 𝑥 +‬‬ ‫‪9𝑥 " +‬‬ ‫!)"&‪"!(&+‬‬ ‫!)‪&+(&+&!)(&+&")(&+&#‬‬ ‫!)‪#!(&+&#‬‬ ‫⋯ ‪27𝑥 # +‬‬ ‫⋯ ‪= 1 − 15 𝑥 + 135 𝑥 " − 945𝑥 # +‬‬ ‫‪|3𝑥| < 1‬‬ ‫شرط تقارب )وجود( املفكوك هو حتقق‬ ‫⇒‬ ‫‪−1 < 3𝑥 < 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪−‬‬ ‫