IMG_2940.jpeg

# Tema 1: Vektorer og geometri i rummet ## 1.1 Vektorer i rummet ### Definition En vektor i rummet er en størrelse specificeret ved en retning og en størrelse. Den er defineret ved et ordnet sæt af tre reelle tal (x, y, z). ### Notation * $\vec{v} = (x, y, z)$ * $\overrightarrow{AB} = B - A =...

# Tema 1: Vektorer og geometri i rummet ## 1.1 Vektorer i rummet ### Definition En vektor i rummet er en størrelse specificeret ved en retning og en størrelse. Den er defineret ved et ordnet sæt af tre reelle tal (x, y, z). ### Notation * $\vec{v} = (x, y, z)$ * $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ ### Operationer med vektorer Lad $\vec{v} = (x_1, y_1, z_1)$ og $\vec{w} = (x_2, y_2, z_2)$ være vektorer og $k \in \mathbb{R}$ en skalar. * **Sum:** $\vec{v} + \vec{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$ * **Skalarmultiplikation:** $k\vec{v} = (kx_1, ky_1, kz_1)$ ### Egenskaber ved operationer * $\vec{v} + \vec{w} = \vec{w} + \vec{v}$ * $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ * $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ * $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$ * $k(\vec{v} + \vec{w}) = k\vec{v} + k\vec{w}$ * $(k + l)\vec{v} = k\vec{v} + l\vec{v}$ * $k(l\vec{v}) = (kl)\vec{v}$ * $1\vec{v} = \vec{v}$ ## 1.2 Punktprodukt (Skalarprodukt) ### Definition $\vec{v} \cdot \vec{w} = ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos{\theta}$, hvor $\theta$ er vinklen mellem $\vec{v}$ og $\vec{w}$. ### Udtryk i koordinater $\vec{v} \cdot \vec{w} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ ### Egenskaber * $\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}$ * $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ * $k(\vec{v} \cdot \vec{w}) = (k\vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{v} \cdot (k\vec{w})$ * $\vec{v} \cdot \vec{v} = ||\vec{v}||^2$ * Hvis $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$, så er $\vec{v}$ og $\vec{w}$ ortogonale. ### Anvendelser * Bestemmelse af vinklen mellem to vektorer: $\cos{\theta} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}||}$ * Projektion af en vektor på en anden: $proj_{\vec{w}}\vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2}\vec{w}$ ## 1.3 Krydsprodukt (Vektorprodukt) ### Definition $\vec{v} \times \vec{w}$ er en vektor, der er ortogonal til både $\vec{v}$ og $\vec{w}$, med størrelse $||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\theta}$, hvor $\theta$ er vinklen mellem $\vec{v}$ og $\vec{w}$. Retningen er givet ved højrehåndsreglen. ### Udtryk i koordinater $\vec{v} \times \vec{w} = (y_1z_2 - z_1y_2, z_1x_2 - x_1z_2, x_1y_2 - y_1x_2)$ Eller som en determinant: $\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$ ### Egenskaber * $\vec{v} \times \vec{w} = -\vec{w} \times \vec{v}$ * $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ * $k(\vec{v} \times \vec{w}) = (k\vec{v}) \times \vec{w} = \vec{v} \times (k\vec{w})$ * $\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$ * Hvis $\vec{v} \times \vec{w} = \vec{0}$, så er $\vec{v}$ og $\vec{w}$ parallelle. ### Anvendelser * Arealet af et parallelogram udspændt af $\vec{v}$ og $\vec{w}$: $A = ||\vec{v} \times \vec{w}||$ * Normalvektor til en plan defineret af to vektorer. ## 1.4 Planer i rummet ### Ligning for en plan $ax + by + cz + d = 0$, hvor $\vec{n} = (a, b, c)$ er en normalvektor til planen. ### Bestemmelse af en plan * Givet et punkt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ i planen og en normalvektor $\vec{n} = (a, b, c)$: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ * Givet tre ikke-kollineære punkter $P_1, P_2, P_3$: Find to vektorer i planen, f.eks. $\overrightarrow{P_1P_2}$ og $\overrightarrow{P_1P_3}$. Krydsproduktet af disse vektorer giver en normalvektor. ### Vinkel mellem to planer Vinklen $\theta$ mellem to planer er vinklen mellem deres normalvektorer: $\cos{\theta} = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$ ### Afstand fra et punkt til en plan $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, hvor $P_0(x_0, y_0, z_0)$ er et punkt og $ax + by + cz + d = 0$ er ligningen for planen. ## 1.5 Linjer i rummet ### Parameterfremstilling for en linje $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + t\vec{v}$, hvor $\vec{r_0}$ er en stedvektor til et punkt på linjen, $\vec{v}$ er en retningsvektor for linjen og $t \in \mathbb{R}$. ### Ligninger $x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct$, hvor $(x_0, y_0, z_0)$ er et punkt på linjen og $(a, b, c)$ er retningsvektoren. ### Bestemmelse af en linje * Givet et punkt og en retningsvektor. * Givet to punkter $P_1$ og $P_2$: $\vec{v} = \overrightarrow{P_1P_2}$ er en retningsvektor. ### Vinkel mellem to linjer Vinklen $\theta$ mellem to linjer er vinklen mellem deres retningsvektorer: $\cos{\theta} = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{||\vec{v_1}|| \cdot ||\vec{v_2}||}$ ### Skæring mellem linje og plan Indsæt ligningerne for linjen i ligningen for planen og løs for $t$.