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# Teorema de Bayes Em teoria das probabilidades e estatística, o **teorema de Bayes** (alternativamente **lei de Bayes** ou **regra de Bayes**) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas ao evento. Formalmente, o teorema de Bayes...

# Teorema de Bayes Em teoria das probabilidades e estatística, o **teorema de Bayes** (alternativamente **lei de Bayes** ou **regra de Bayes**) descreve a probabilidade de um evento, baseado em conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas ao evento. Formalmente, o teorema de Bayes é expresso como: $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ Onde: * $P(A|B)$ é a probabilidade condicional de $A$, dado que $B$ é verdadeiro. * $P(B|A)$ é a probabilidade condicional de $B$, dado que $A$ é verdadeiro. * $P(A)$ e $P(B)$ são as probabilidades de $A$ e $B$ serem verdadeiros sem qualquer condição. ## Dedução do Teorema ### Probabilidade Condicional A probabilidade condicional é definida como a probabilidade de um evento $A$, dado que ocorreu um evento $B$. É denotada por $P(A|B)$ e calculada como: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ Onde $P(A \cap B)$ é a probabilidade de ambos os eventos $A$ e $B$ ocorrerem simultaneamente, e $P(B)$ é a probabilidade de $B$ ocorrer. ### Teorema Para derivar o teorema de Bayes, podemos começar com a definição de probabilidade condicional e expressar $P(A \cap B)$ de duas maneiras diferentes: $$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ $$ P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} $$ Como $P(A \cap B) = P(B \cap A)$, podemos reescrever as equações como: $$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) $$ $$ P(B \cap A) = P(B|A)P(A) $$ Igualando as duas expressões, temos: $$ P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) $$ Finalmente, dividindo ambos os lados por $P(B)$, obtemos o teorema de Bayes: $$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$ Este teorema é uma ferramenta fundamental em estatística e teoria das probabilidades, permitindo atualizar crenças com base em novas evidências.