Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení...

Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení příbuzná Transformace náhodných veličin 1 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Opakování – po...

Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data Náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin Normální rozdělení a rozdělení příbuzná Transformace náhodných veličin 1 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Opakování – popis dat ̶ Co chceme u dat popsat? Jak to můžeme udělat? 2 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Náhodná veličina 3 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pojem náhodná veličina ̶ Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Matematicky je to funkce, která každému elementárnímu jevu ω z Ω přiřadí hodnotu X(ω) z nějaké množiny možných hodnot. X : R ̶ Náhodná veličina se netýká pouze kvantitativních proměnných. Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu může popisovat i pohlaví. ̶ Chování náhodné veličiny lze popsat pomocí rozdělení pravděpodobnosti: ̶ Funkce zadaná analyticky ̶ Výčet možností a příslušných pravděpodobností 4 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Význam náhodných veličin ̶ Množina Ω často není známa (může být i nekonečná) a nejsme tak schopni ji popsat. Náhodná veličina převádí Ω na čísla, se kterými se pracuje lépe. ̶ Neznáme-li Ω, nejsme schopni popsat ani X, ale jsme schopni ho pozorovat. Základ ní prostor Ω Pravděpodobnost P Je Náhodná veličina X v ω1 A 0 P(A) 1 R 0 x R 5 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny ̶ Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny je jednoznačně popsáno tzv. rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny. Ověření hypotézy na Hypotéza ̶ Funkční popis: základě dat ̶ Distribuční funkce ̶ Hustota – spojité náhodné veličiny ̶ Pravděpodobnostní funkce – diskrétní náhodné veličiny Experimentální Model cílové vzorek populace ̶ Rozdělení pravděpodobnosti představuje model cílové populace. ̶ Pomocí vzorku (naměřených pozorování) se ptáme, jestli byl model správný – snažíme se z dat usuzovat na vlastnosti tohoto rozdělení pravděpodobnosti. 6 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Popis rozdělení pravděpodobnosti ̶ Distribuční funkce popisuje rozdělení pravděpodobnosti kumulativním způsobem. ̶ Hustota a pravděpodobnostní funkce popisují rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé „body“ (respektive intervaly) na reálné ose. ̶ Distribuční funkce a hustota, respektive pravděpodobnostní funkce, jsou navzájem ekvivalentní, tedy známe-li jednu nepotřebujeme druhou. 7 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Distribuční funkce ̶ Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřekročí dané x na reálné ose. F ( x) P( X  x) P(i   : X (i )  x) ̶ Vlastnosti distribuční funkce? 8 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Distribuční funkce y y F (x) ̶ Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná F ( x2 ) veličina X nepřekročí dané x na reálné ose. F ( x) P( X  x) P(i   : X (i )  x) ̶ Vlastnosti distribuční funkce? P( x1  X  x2 ) 1. Neklesající 2. Zprava spojitá 3. 0 F ( x) 1 F ( x1 ) 4. F ( x) 0 pro x  5. F ( x) 1 pro x  x1 x2 x ( x1  X  x2 ) 9 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Výběrová distribuční funkce ̶ Distribuční funkce je teoretická záležitost, která definuje pravděpodobnostní model pro náhodnou veličinu X. Často neznáme její přesné vyjádření. ̶ Výběrová distribuční funkce je charakteristika pozorovaných dat. Je odhadem teoretické distribuční funkce (je-li vzorek reprezentativní). ̶ Vyjádření: # ( xi  x) 1 n Fn ( x)    I ( xi  x) n n i 1 10 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Výběrová distribuční funkce – příklad ̶ Výška studentů 2. ročníku Matematické biologie 11 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Spojité a diskrétní náhodné veličiny ̶ Náhodné veličiny dělíme dle podstaty na: ̶ Spojité – mohou nabývat všech hodnot v daném intervalu. ̶ Diskrétní – mohou nabývat nejvýše spočetně mnoha hodnot. ̶ Spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. hustota x pravděpodobnosti, což je funkce taková, že platí: FX ( x)  f X ( x)dt  ̶ Diskrétní náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. pravděpodobnostní funkce, což je funkce taková, že platí: FX ( x)  p X (t )  P( X t ) t x t x 12 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  F(x), f(x) a p(x) P(0  X 2) Spojitá P(0  X 2) náhodná Příklady? veličina P( X 3) Diskrétní náhodná Příklady? veličina 13 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  F(x), f(x) a p(x) Výška, váha, krevní tlak, P(0  X 2) Spojitá glykémie, čas do sledované náhodná P(0  X 2) události, biomasa na m2, veličina listová plocha, pH, koncentrace látek ve vodě, ovzduší, … Počet krvácivých epizod, počet P( X 3) Diskrétní hospitalizací, počet dní po náhodná operaci do odeznění bolesti, veličina počet zvířat na jednotku (plochu, objem), počet kolonií na misku, … 14 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Kvantilová funkce ̶ Inverzní funkce k distribuční funkci, výsledkem není pravděpodobnost, ale číslo na reálné ose, které odpovídá určité pravděpodobnosti. ̶ Distribuční funkce F ( x ) P ( X  x ) Spojitá náhodná veličina ̶ Kvantilová funkce x p F  1 ( P( X  x)) F  1 ( p ) P x 15 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Charakteristiky náhodných veličin 16 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Co chceme u dat popsat? ̶Kvalitativní data – četnosti (absolutní i relativní) jednotlivých kategorií. ̶Kvantitativní data – těžiště a rozsah pozorovaných hodnot.  Střední hodnota náhodné veličiny ̶ Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce popisují chování náhodné veličiny sice kompletně, ale trochu neprakticky – složitě. ̶ Jsou definovány dvě charakteristiky, které odráží vlastnosti rozdělení jedním číslem: střední hodnota a rozptyl. ̶ Střední hodnota je definována ̶ pro spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f(x) jako integrál (pokud existuje):  E ( X )   x f ( x)dx  ̶ pro diskrétní náhodnou veličinu X s pravděpodobnostní funkcí p(x) jako součet: E ( X )   xp( x) xR 18 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Rozptyl náhodné veličiny ̶ Rozptyl je definován pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu X jako střední hodnota: D ( X )  2 E ( X  E ( X )) 2 ̶ Pro výpočet je používán vzorec: D( X ) E ( X  E ( X )) 2 E ( X 2  2 X E ( X )  E ( X ) 2 ) E ( X 2 )  2 E ( X ) E ( X )  E ( X ) 2 E ( X 2 )  E ( X ) 2 ̶ Nevýhoda rozptylu je, že není ve stejných jednotkách jako střední hodnota, proto se používá tzv. směrodatná odchylka – odmocnina z rozptylu. 19 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Charakteristiky náhodných veličin ̶ To, co nás zajímalo u pozorovaných dat má teoretický ekvivalent (ve smyslu pravděpodobnosti) ve formě charakteristik náhodných veličin: Těžiště ≈ Střední hodnota Rozsah ≈ Rozptyl ̶ Těmto charakteristikám pak odpovídají parametry rozdělení pravděpodobnosti. ̶ Charakteristiky však mohou být i lehce zavádějící: náhodná veličina nemusí nabývat své střední hodnoty. Příklad: Náhodná veličina X nabývá hodnot −1 a 1, obou s pravděpodobností 0,5. Její střední hodnota je 0! 20 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Význam střední hodnoty ̶ Jedná se o formu váženého průměru možných hodnot na základě jejich pravděpodobností. ̶ Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu Váhu pro jednotlivé hodnoty ̶ X = {x1, …, xk} hraje jejich pravděpodobnost ̶ P(X=x1) = p1,…, P(X=xk) = pk k E ( X )   xi p( xi ) i 1 ̶ Pak střední hodnota má tvar: Jednotlivé možné hodnoty 21 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  K čemu všechny ty funkce a čísla vlastně jsou? ̶ Popis vlastností cílové populace – na základě pozorovaných dat (histogram, box plot, popisné statistiky) jsme schopni usuzovat na charakter rozdělení pravděpodobnosti sledované veličiny. Dokonce jsme schopni otestovat míru shody s teoretickým rozdělením. ̶ Srovnání vlastností cílové populace/populací – na základě pozorovaných dat a našich předpokladů o teoretickém modelu (hypotéz) jsme schopni pomocí statistických testů srovnávat vlastnosti jedné nebo více cílových populací. ̶ Predikce vlastností cílové populace – nevyvrátíme-li na základě pozorovaných dat platnost teoretického modelu, jsme schopni se ptát, jak a s jakou pravděpodobností se bude cílová populace v budoucnu chovat. 22 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Normální rozdělení pravděpodobnosti a rozdělení z něj odvozená 23 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Normální rozdělení pravděpodobnosti ̶ Klíčové rozdělení pravděpodobnosti. Jak pro teoretickou statistiku, tak pro biostatistiku. ̶ Označení „normální“ neznamená, že by bylo normálnější než ostatní rozdělení. ̶ Popisuje proměnné, jejichž hodnoty se symetricky shlukují kolem střední hodnoty. Rozptyl kolem střední hodnoty je dán aditivním vlivem mnoha „slabě působících“ faktorů. ̶ Příklad: výška člověka, krevní tlak 24 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Normální rozdělení pravděpodobnosti ̶ Označení: N(μ,σ2), Je kompletně popsáno dvěma parametry: ̶ μ – střední hodnota, tedy E(X) ̶ σ2 – rozptyl, tedy D(X) ̶ Hustota pravděpodobnosti: 1 2 / 2 2 f ( x;  ,  2 )  e ( x  ) 2 2 ̶ Čím bychom mohli jednotlivé parametry normálního rozdělení odhadnout? 25 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Normální rozdělení pravděpodobnosti ̶ Normalita je klíčovým předpokladem řady statistických metod – zejména testů a modelů. ̶ Není-li splněna podmínka normality hodnot, je špatně celý model se kterým daná metoda pracuje, což vede k neinterpretovatelným závěrům. ̶ Její ověření je tak stejně důležité jako výběr správného testu. ̶ Pro ověření normality existuje řada testů a grafických metod. 26 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Standardizované normální rozdělení ̶ Jakékoliv normální rozdělení může být převedeno (zatím schválně neříkám transformováno) na tzv. standardizované normální rozdělení: X  X ~ N ( , 2 ) Y  2 Y ~ N (0,1)  ̶ Hustota pravděpodobnosti: 1  x2 / 2 f ( x;0,1)  e 2 ̶ Klíčové rozdělení řady testů. ̶ Výhoda je, že všechny hodnoty distribuční i kvantilové funkce jsou tabelovány a obsaženy ve všech dostupných softwarech. 27 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pravidlo ±3 sigma ̶ U normálního rozdělení lze vyčíslit procento hodnot, které by se měly vyskytovat v rozmezí ± x-násobku směrodatné odchylky od střední hodnoty. ̶ Lze říci, že v rozmezí μ ± 3σ by se mělo vyskytovat přes 99,5 % všech hodnot. 68,3 % všech hodnot 95,6 % všech hodnot 99,7 % všech hodnot 28 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pravidlo ±3 sigma – k čemu to je? ̶ Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro identifikaci odlehlých hodnot. ̶ Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro orientační ověření normality dat. 68,3 % všech hodnot 95,6 % všech hodnot 99,7 % všech hodnot 29 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pravidlo ±3 sigma – příklad 1 ̶ Hladina sérového albuminu u 216 pacientů s cirhózou jater. ̶ Sumarizace pozorovaných hodnot: x 34,46 g/l s 5,84 g/l x 1s 28,62  40,30 g/l 73,15 % hodnot 68,3 % všech hodnot x 2 s 22,78  46,14 g/l 95,6 % všech hodnot 95,83 % hodnot 99,7 % všech hodnot x 3s 16,94  51,98 g/l 99,07 % hodnot 30 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Pravidlo ±3 sigma – příklad 2 ̶ Simulovaná data, 50 hodnot z N(0,1) + 1 odlehlá hodnota (200). ̶ Sumarizace pozorovaných hodnot: x 3,87 s 28,02 x 1s  24,15  31,90 98,04 % hodnot 68,3 % hodnot 68,3 % všech hodnot x 2 s  52,18  59,92 95,6 % všech hodnot 98,04 % hodnot 95,6 % hodnot 99,7 % všech hodnot x 3s  80,21  87,95 98,04 % hodnot 99,7 % hodnot 31 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Chí-kvadrát rozdělení ̶ Vzniká jako součet druhých mocnin k nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním rozdělením, N(0,1). Konstanta k je nazývána počet stupňů volnosti. k X i ~ N (0,1) Q  X i2 Q ~  2 (k ) i 1 ̶ Velký význam v teoretické statistice: ̶ Výpočet intervalu spolehlivosti pro rozptyl ̶ Testování hypotéz o nezávislosti kvalitativních dat ̶ Testy dobré shody 32 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Studentovo t rozdělení ̶ Charakterizuje rozdělení průměru jako odhadu střední hodnoty veličiny s normálním rozdělením, v případě, že neznáme rozptyl (což je téměř vždy). ̶ Vzniká jako podíl dvou nezávislých veličin, jedné s rozdělením N(0,1) a druhé s rozdělením χ2(k). Parametrem t rozdělení je opět počet stupňů volnosti k. X X ~ N (0,1), Q ~  2 (k ) T  T ~ t (k ) Q/k ̶ Je to aproximace normálního rozdělení pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů konverguje k normálnímu rozdělení. 33 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Logaritmicko-normální rozdělení ̶ Náhodná veličina Y má log-normální rozdělení, když X = ln(Y) má normální rozdělení. A naopak, když X má normální rozdělení, pak Y = exp(X) je log-normální. 1 2 / 2 2 ̶ Hustota: f ( x;  ,  2 )  2 e  (ln x   ) ,x 0 x 2 ̶ Normální rozdělení – aditivní efekt faktorů ̶ Log-normální rozdělení – multiplikativní efekt faktorů ̶ Řada jevů v přírodě se řídí log-normálním rozdělením: délka inkubační doby infekčního onemocnění, abundance druhů, řada krevních parametrů (např. sérový bilirubin u pacientů s cirhózou), počet bakteriálních buněk v daném objemu,… 34 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Binomické rozdělení ̶ Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve formě nastala/nenastala) v sérii n nezávislých experimentů, kdy v každém experimentu je stejná pravděpodobnost výskytu události a je p = θ. ̶ Pravděpodobnostní funkce:  n P ( X k )   k (1   ) n  k k ̶ Základ binomických testů pro srovnávání výskytu sledovaných událostí v populaci nebo mezi populacemi. 35 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Poissonovo rozdělení ̶ Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události na danou jednotku (času, plochy, objemu), když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr λ). ̶ Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro n  p a 0. x e   ̶ Pravděpodobnostní funkce: P( X  x)  p X ( x;  )  , x 0 x! ̶ Střední hodnota, rozptyl: EX  , DX  ̶ Příklady: průměrný výskyt mutací bakterií na 1 Petriho misku, počet krvinek v poli mikroskopu, počet žížal vyskytujících se na 1 m2, počet pooperačních komplikací během určitého časového intervalu po výkonu. 36 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Poissonovo rozdělení – vliv parametru λ 37 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Exponenciální rozdělení ̶ Spojité rozdělení, které popisuje délky časových intervalů mezi jednotlivými událostmi Poissonova procesu. Popisuje tedy časový interval mezi událostmi, když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr λ). ̶ Hustota: f X ( x;  ) e  x , x 0 ̶ Střední hodnota, rozptyl: EX 1  , DX 1 2 ̶ Význam v analýze přežití, je to „nejjednodušší“ modelové rozdělení pro délku doby do výskytu sledované události – předpokládá totiž konstantní intenzitu (systém nemá paměť). ̶ Zobecněním jsou další rozdělení: Weibullovo, Gamma. 38 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Bimodální rozdělení ̶ Představuje většinou problém, neboť se zřejmě jedná o směs dvou souborů s unimodálním rozdělením. ženy muži ̶ Bimodální rozdělení má např. tento tvar: 39 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Existuje ±3 sigma i u asymetrických rozdělení? ̶ Pro nenormální rozdělení existuje pomůcka v podobě obecného pravidla – tzv. Čebyševovy nerovnosti: Máme-li náhodnou veličinu X se střední hodnotou μ a konečným rozptylem σ2, pak pro libovolné reálné číslo k > 0 platí: 1 P (| X   |k )  k2 40 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Transformace náhodných veličin 41 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Transformace náhodné veličiny ̶ Transformací náhodné veličiny X rozumíme aplikaci matematické funkce g tak, že vzniká nová náhodná veličina (tzv. transformovaná) Y = g(X). ̶ Nová veličina nabývá nových hodnot → má také jiné rozdělení pravděpodobnosti → je třeba ho najít (hustotu, pravděpodobnostní funkci). ̶ S transformací se mění škála – mění se i interpretace „vzdáleností“ mezi jednotlivými hodnotami. 42 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Transformace náhodné veličiny – příklad ̶ Máme rozdělení náhodné veličiny X dáno tabulkou a chceme najít rozdělení pravděpodobnosti transformované náhodné veličiny Y = X2 – 1. x -2 -1 0 1 2 p(x) 0,1 0,25 0,15 0,3 0,2 x -2 -1 0 1 2 p(x) 0,1 0,25 0,15 0,3 0,2 y 3 0 -1 0 3 p(y) 0,3 0,55 0,15 - - 43 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu  Význam transformací pro zpracování dat ̶ Teoretické vlastnosti transformovaných náhodných veličin nám dávají nástroj pro práci s pozorovanými daty. ̶ Transformace můžeme použít pro následující cíle: 1. Normalizaci pozorovaných hodnot 2. Standardizaci normálních hodnot 3. Stabilizaci rozptylu pozorovaných hodnot 4. Lepší interpretaci pozorovaných hodnot 44 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu Děkuji za pozornost 45 Biostatistika pro matematickou biologii a biomedicínu