Probabilités PDF

1 sur 7 PROBABILITÉS Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dvx_O37gfyY Partie 1 : Rappels sur les calculs de probabilités 1. Expérience aléatoire - On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure....

1 sur 7 PROBABILITÉS Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dvx_O37gfyY Partie 1 : Rappels sur les calculs de probabilités 1. Expérience aléatoire - On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure. - On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. - On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche. Définitions : Une expérience (lancer une pièce par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues (PILE ou FACE par exemple) et que l’on ne peut pas prévoir quel résultat se produira. L’ensemble de toutes les issues d’une expérience s’appelle l’univers. 2. Évènement Exemples : On lance un dé à six faces. « Obtenir un chiffre pair » est l’évènement constitué des issues : 2 ; 4 et 6. « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » est l’évènement constitué des issues : 1 et 2. Définition : Un évènement est constitué d’ une ou plusieurs issues d’une même expérience aléatoire. 3. Probabilité Exemple : Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire. Définition : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance » qu’a un évènement de se produire. Remarques : - Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement impossible. - Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain. - Lorsque chaque issue a autant de chance de se produire, on dit qu’il y a équiprobabilité. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  2 sur 7 Propriété : En cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement A est : !"#$%& ( ! )**+&* ,-."%-$/&* à 1 𝑃(𝐴) = !"#$%& ( ! )**+&* 2"2-/ Méthode : Calculer une probabilité (1) Vidéo https://youtu.be/d6Co0q01QH0 On lance un dé à 6 faces. On considère les évènements : 𝐸 = « On obtient un 3 » 𝐹 = « On obtient un chiffre pair » 𝐺 = « On obtient un chiffre strictement supérieur à 3 » Calculer la probabilité que ces évènements se réalisent. Correction Nombre d’issues favorables à 𝐸 : 1 Nombre d’issues total : 6 En effet, le dé à 6 faces. 1 𝑃(𝐸) = 6 Nombre d’issues favorables à 𝐹 : 3 Pour avoir un nombre pair, il faut obtenir un 2, un 4 ou un 6. 3 1 𝑃(𝐹) = = 6 2 Nombre d’issues favorables à 𝐺 : 3 Pour avoir un chiffre strictement supérieur à 3, il faut obtenir un 4, un 5, ou un 6. 3 1 𝑃(𝐺) = = 6 2 Méthode : Calculer une probabilité (2) Vidéo https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit 𝐸 l’évènement : « On tire un as ». Quelle est la probabilité que l’événement 𝐸 se réalise ? Correction Il a 32 issues possibles car il existe 32 façons différentes de tirer une carte. L’évènement 𝐸 possède 4 issues possibles : As de cœur, as de carreau, as de trèfle, as de pique. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  3 sur 7 3 6 La probabilité que l’événement 𝐸 se réalise est donc égale à : 𝑃(𝐸) = =. 45 7 Partie 2 : Évènement contraire, réunion, intersection 1. Évènement contraire Définition : L'événement contraire de 𝐴, noté 𝐴̅, est l'ensemble de toutes les issues n'appartenant pas à 𝐴. Exemples : L’évènement contraire de l’évènement « Obtenir un chiffre pair » est l’événement « Obtenir un chiffre impair ». L’évènement contraire de l’évènement « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 » est l’événement constitué des issues 3 ; 4 ; 5 et 6. Propriété : La probabilité de l’événement contraire d’un événement 𝐴 est : 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴). Exemple : La probabilité de gagner au tennis contre Evelyne est : 𝑃(𝐺) = 0,2. Alors la probabilité de perdre (évènement contraire) est : 𝑃(𝐺̅ ) = 1 − 𝑃(𝐺) = 1 − 0,2 = 0,8. 2. Loi de probabilité Exemple : Une urne contient 6 boules vertes, 3 boules jaunes et 11 boules noires. On tire une boule au hasard et on note sa couleur. Le tableau suivant présente les probabilités de toutes les issues de l’expérience, on l’appelle loi de probabilité. Issues Boule verte Boule jaune Boule noire 6 3 11 Probabilités = 0,3 = 0,15 = 0,55 20 20 20 Propriétés : La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1. Exemple : 𝑃(Boule verte) + 𝑃(𝐵oule jaune) + 𝑃(𝐵oule noire) = 0,3 + 0,15 + 0,55 = 1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  4 sur 7 Méthode : Utiliser une loi de probabilité Vidéo https://youtu.be/i24AGpzHviE On tire au hasard un jeton dans le sac contenant des jetons numérotés de 1 à 5. Le tableau présente les probabilités de toutes les issues (loi de probabilité). Issues 1 2 3 4 5 1 4 3 4 Probabilités ? 15 15 15 15 a) Compléter le tableau de la loi de probabilité. b) Calculer la probabilité de l’évènement 𝐸 : « Tirer un chiffre pair ». c) Décrire l’évènement 𝐸C puis calculer sa probabilité. Correction a) Issues 1 2 3 4 5 1 4 1 3 4 Probabilités 15 15 5 15 15 La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1, donc : 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) = 1 1 4 3 4 + + 𝑃(3) + + =1 15 15 15 15 12 𝑃(3) + =1 15 12 𝑃(3) = 1 − 15 15 12 3 1 𝑃(3) = − = = 15 15 15 5 b) L’évènement 𝐸 possède deux issues : 2 et 4 Donc, d’après le tableau : 4 3 7 𝑃(𝐸) = + =. 15 15 15 8 La probabilité tirer un chiffre pair est égale à. 69 𝑐) 𝐸 est l’évènement : « Ne pas tirer un chiffre pair » 7 15 7 8 𝑃G𝐸H = 1 − 𝑃(𝐸) = 1 − = − =. 15 15 15 15 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  5 sur 7 3. Réunion et intersection de deux événements Exemple : Soit les évènements : 𝐴 = {1 ; 2} et 𝐵 = {1 ; 3 ; 4}. Alors 𝐴 ∩ 𝐵 = {1} et 𝐴 ∪ 𝐵 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}. Méthode : Calculer la probabilité d’une intersection Vidéo https://youtu.be/VprpP3e_R-4 On lance un dé à six faces et on considère les événements suivants : 𝐴 : « Obtenir un multiple de 2 ». 𝐵 : « Obtenir un nombre inférieur ou égale à 4 ». a) Décrire par une phrase l’évènement 𝐴 ∩ 𝐵. b) Déterminer les issues des évènements : 𝐴, 𝐵 et 𝐴 ∩ 𝐵. c) Calculer 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), P(𝐴 ∩ 𝐵). Correction a) 𝐴 ∩ 𝐵 : « Obtenir un multiple de 2 inférieur ou égale à 4. » b) On a : 𝐴 = {2 ; 4 ; 6} et 𝐵 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}. Donc 𝐴 ∩ 𝐵 = {2 ; 4}. 3 1 𝑐) 𝑃(𝐴) = = 6 2 4 2 𝑃(𝐵) = = 6 3 2 1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = = 6 3 Théorème : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Méthode : Calculer la probabilité d’une réunion Vidéo https://youtu.be/y4P_BP-ldxk On lance un dé à six faces et on considère les événements suivants : 𝐴 : « On obtient un nombre impair » 𝐵 : « On obtient un multiple de 3 » a) Calculer 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). b) Calculer la probabilité de l’événement 𝐴 ∪ 𝐵. Interpréter le résultat. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  6 sur 7 Correction a) On a : 𝐴 = {1 ; 3 ; 5} et 𝐵 = {3 ; 6}, donc : 4 6 5 6 𝑃(𝐴) = = et 𝑃(𝐵) = =. : 5 : 4 On a : 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, donc : 6 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =. : b) L'évènement 𝐴 ∪ 𝐵 a donc pour probabilité : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 1 1 1 = + − 2 3 6 3 2 1 = + − 6 6 6 4 2 = = 6 3 5 La probabilité d’obtenir un nombre impair ou un multiple de 3 est égale à. 4 Partie 3 : Arbre des possibles Exemple : Dans un sac, on dépose quatre jetons : Un bleu, un rouge, un jaune et un vert. En tirant au hasard un jeton du sac, on a quatre issues possibles. On représente les issues sur un schéma appelé arbre des possibles. Méthode : Utiliser un arbre des possibles Vidéo https://youtu.be/dQPd9njK5ZA Vidéo https://youtu.be/JF_PXsPaeN4 On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Il s’agit d’une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit 𝐸 l’événement : « On obtient au moins une fois PILE. » Calculer 𝑃(𝐸) en utilisant un arbre des possibles. Correction On construit un arbre présentant les résultats possibles aux deux épreuves de l’expérience. On note P pour PILE et F pour FACE. 1er niveau de l’arbre : issues du 1er lancer (1ère épreuve). Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  7 sur 7 2e niveau de l’arbre : issues du 2e lancer (2e épreuve). On inscrit à droite de l’arbre le bilan des issues des deux épreuves. A l’aide de l’arbre des possibles, on peut dénombrer les issues de l’expérience : On compte 4 issues en tout : (P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F). L’événement 𝐸 possède 3 issues : (P ; P), (P ; F) et (F ; P). La probabilité que l’événement 𝐸 se réalise est donc égale 4 à. 3 Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois « PILE » lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Remarque : Une autre solution consisterait à calculer la probabilité de l’évènement contraire « On obtient deux fois FACE ». Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr