Onde Meccaniche e Suono PDF

MOTO ONDULATORIO Onda: perturbazione fisica generata in un punto, si propaga attraverso lo spazio, producendo un effetto successivamente in un altro punto. Esempi: suono di una campana, scia prodotta da un motoscafo, luce emessa da una lampadina. Onde meccaniche: vibrazioni meccaniche che si propag...

MOTO ONDULATORIO Onda: perturbazione fisica generata in un punto, si propaga attraverso lo spazio, producendo un effetto successivamente in un altro punto. Esempi: suono di una campana, scia prodotta da un motoscafo, luce emessa da una lampadina. Onde meccaniche: vibrazioni meccaniche che si propagano in un mezzo costituito da elementi che possano influenzarsi l’un l’altro mediante un meccanismo fisico. suono onde del mare corda che vibra Onde elettromagnetiche: campi elettrici e magnetici che si propagano anche in assenza di materia. E Eo onda elettromagnetica B Bo v l x  COSA SI PROPAGA NEL MOTO ONDULATORIO? Le onde possono spostarsi per lunghe distanze, ma il mezzo in cui si muovono è soggetto solo ad un moto limitato. Energia si propaga nel moto ondulatorio INTENSITA’ DELL’ONDA Mentre l’onda si propaga, viene trasferita energia da una particella all’altra nel mezzo. Intensità: energia trasportata nell’unità di tempo attraverso l’unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione: I = (energia/tempo)/area = potenza/area L’intensità si misura in W/m2.  IMPULSO D’ONDA Sorgente: rapida perturbazione in un punto dello spazio. ONDA PERIODICA Sorgente: perturbazione continua ed oscillante  PERIODICITA’ NELLO SPAZIO Ad un determinato istante di tempo, esiste una lunghezza caratteristica, lungo la direzione di propagazione dell’onda, dopo la quale la perturbazione riprende la stessa configurazione: lunghezza d’onda (l). Esempio: onda armonica Massimo spostamento dalla posizione di equilibrio: ampiezza Massimo spostamento verso l’alto: cresta Massimo spostamento verso il basso: valle l: lunghezza d’onda (unità di misura: m) l determina il periodo spaziale  PERIODICITA’ NEL TEMPO T (periodo): tempo necessario affinchè un’onda si ripeta, ossia l’onda ritorni in una data configurazione (unità di misura: s). f = 1/T: frequenza, ossia numero di oscillazioni al secondo (unità di misura: s-1 = Hz)  ONDE TRASVERSALI La vibrazione delle particelle del mezzo avviene perpendicolarmente alla direzione di propagazione. ONDE LONGITUDINALI La vibrazione delle particelle del mezzo avviene lungo la direzione di propagazione.  FUNZIONE D’ONDA Impulso che si propaga con velocità v lungo una corda. Asse x: asse della corda, lungo cui si propaga l’impulso Asse y: spostamento degli elementi della corda dalla posizione di equilibrio Obiettivo: determinare y(x,t) A t=0, la forma dell’impulso può essere rappresentata da una funzione (forma d’onda) y(x,0)=f(x), che descrive lo spostamento dalla posizione di equilibrio dell’elemento in x. All’istante t, l’impulso si è spostato di vt  all’istante t, l’elemento in x ha lo stesso valore di y che un elemento in x-vt aveva all’istante t=0. Quindi: y(x,t)=y(x-vt,0) Pertanto, la posizione y per tutti i valori di x e t si può esprimere come y(x,t)=f(x-vt). y(x,t): funzione d’onda  FUNZIONE D’ONDA SINUSOIDALE y(x,0)=Asin(ax) Per determinare a, osserviamo che: y(0,0)=Asin(a0)=0  λ   λ inoltre: y  ,0  = Asin  a  = 0 2   2 Pertanto, deve essere al/2=  a=2/l  2π  Allora, la forma d’onda dell’onda sinusoidale è: y(x,0) = Asin  x  Quindi, la funzione d’onda di un’onda sinusoidale è data da:  λ  y(x,t) = Asin   x - vt    2π λ  Poiché l’onda si sposta di l in un tempo pari al periodo T, la velocità v dell’onda si può esprimere come: Δx λ v= = = λf Δt T Allora la funzione d’onda si può anche esprimere come:  2π  λ     x t  y(x,t) = Asin   x - t   = Asin 2π  -    λ  T    λ T   NUMERO D’ONDA E FREQUENZA ANGOLARE 2π Numero d’onda: k λ 2π Frequenza angolare: ω = 2πf T Pertanto, la funzione d’onda sinusoidale si può esprimere anche come: y(x,t) = Asin  kx - ωt  ω E la velocità dell’onda si può anche esprimere come: v = k L’espressione più generale della funzione d’onda sinusoidale è la seguente: y(x,t) = Asin(kx-t+) dove  è la costante di fase.  VELOCITA’ DI UN’ONDA L’espressione generale, valida per tutti i tipi di onda, della velocità è: Δx λ v= = = λf Δt T La velocità dell’onda può anche essere espressa in funzione di parametri caratteristici del materiale in cui si propaga. Essa è espressa da un’espressione del tipo: proprietà elastica v= proprietà inerziale Per un’onda che si propaga lungo una corda: T T: tensione nella corda v= μ : massa per unità di lunghezza ( =m/L) Per un’onda acustica: B B: modulo di compressione v= ρ : densità del mezzo  FRONTE D’ONDA Il fronte d’onda è il luogo dei punti che vibrano concordemente (per ciascuno di essi lo spostamento dalla posizione di equilibrio assume lo stesso valore in ogni istante). Onde circolari: fronti d’onda sono circonferenze Es.: onde prodotte sulla superficie dell’acqua da sorgente puntiforme Onde rettilinee: fronti d’onda sono linee parallele. Es.: onde prodotte facendo vibrare una sbarretta sulla superficie di un liquido Onde sferiche: superfici d’onda sono superfici sferiche concentriche. Es.: onde sonore prodotte da una piccola sorgente in un fluido omogeneo Onde piane: superfici d’onda sono piani paralleli. Es.: onde sferiche a grandi distanze dalla sorgente La direzione di propagazione dell’onda è perpendicolare ai fronti d’onda.  INTENSITA’ DELL’ONDA SFERICA Mentre un’onda sferica si propaga, l’energia trasportata è distribuita su di una superficie sferica sempre maggiore al crescere di r  l’intensità dell’onda è: P I= 4πr 2 Se P è costante si vede che I decresce come 1/r2 dove r è la distanza dalla sorgente (al centro della superficie sferica). In due punti a distanza r1 ed r2 dalla sorgente, le intensità sono: P P I1 P / ( 4π r12) r22 I1 = 2 e I2 = 2  = 2 = 2 4πr1 4πr2 I2 P / ( 4π r2 ) r1 Quindi se la distanza raddoppia, la I si riduce di 4 volte. Ampiezza: I1 A 12 I1 r22 I1  A 12 e I2  A 22  = 2 ed essendo = 2  I2 A 2 I2 r1 A 12 r22 A 1 r2 Quindi se la distanza r raddoppia, allora 2 = 2  = l’ampiezza A si dimezza. A 2 r1 A 2 r1  RIFLESSIONE Quando un’onda raggiunge il punto o la superficie di separazione di due mezzi differenti, parte dell’energia trasportata torna indietro: onda riflessa. Onda 1-dimensionale Onda piana incidente su una superficie Angolo di incidenza: angolo che la direzione di propagazione dell’onda incidente forma con la normale alla superficie riflettente. Angolo di riflessione: angolo che la direzione di propagazione dell’onda riflessa forma con la normale alla superficie riflettente. Legge della riflessione “l’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza”  TRASMISSIONE E RIFRAZIONE Quando un’onda raggiunge il punto o la superficie di separazione di due mezzi differenti, parte dell’energia trasportata si propaga nel secondo mezzo: onda trasmessa. Onda in 1 dimensione Onda piana incidente su una superficie di separazione di due mezzi in cui la velocità di propagazione è differente L’onda trasmessa si muove in direzione diversa rispetto a quella dell’onda incidente: rifrazione. Angolo di rifrazione: angolo che la direzione di propagazione dell’onda trasmessa forma con la normale alla superficie di separazione. Legge della rifrazione sinθrifrazione v 2 v2v1  rifrazione> incidenza  DIFFRAZIONE Quando un’onda incontra un oggetto o un ostacolo munito di un’apertura, la forma geometrica dell’onda può essere alterata, ma l’onda è in grado di aggirare l’ostacolo passando nella regione dietro di esso. Gli effetti diffrattivi diventano più evidenti quando la lunghezza d’onda diventa confrontabile con la dimensione dell’oggetto  INTERFERENZA Quando due o più onde passano attraverso la stessa regione di spazio nello stesso istante, la perturbazione risultante è la somma algebrica delle rispettive perturbazioni (principio di sovrapposizione). Il principio di sovrapposizione vale solo per onde lineari (ampiezza piccola rispetto a lunghezza d’onda) Es.: due impulsi, viaggianti lungo una corda, che si incrociano Interferenza costruttiva: massimo rinforzo del moto ondulatorio Interferenza distruttiva: massima attenuazione del moto ondulatorio  Esempio di interferenza: onde sulla superficie dell’acqua Nei punti in cui creste e valli sono allineate (onde in fase): interferenza costruttiva. Nei punti in cui le creste di un’onda incontrano le valli dell’altra (onde in opposizione di fase): interferenza distruttiva. Nei punti in cui la fase relativa delle due onde è intermedia fra i due estremi: interferenza parzialmente distruttiva.  INTERFERENZA DI ONDE SINUSOIDALI Consideriamo due onde sinusoidali, aventi la stessa l, f ed A, che si propagano nella stessa direzione: y1 = Asin(kx-t) y2 = Asin(kx-t+) La funzione d’onda risultante y è: y = y1 + y2 = A[sin(kx-t) + sin(kx-t+)] Ricordando (formule di prostaferesi)che: sin(a) + sin(b) = 2cos  a- b   a+ b   sin   Si ha:  2   2      y = 2Acos   sin  kx - ωt +  2  2 int. costr. La y risultante è sinusoidale, ha: stessa l e f delle singole onde; ampiezza 2Acos(/2); int. distr. fase /2. int. parz. distr.  ONDE STAZIONARIE Consideriamo due onde sinusoidali, aventi la stessa l, f ed A, che si propagano in direzioni opposte: y1 = Asin(kx-t) y2 = Asin(kx+t) La funzione d’onda risultante y è: y = y1 + y2 = A[sin(kx-t) + sin(kx+t)] Ricordando (formule di addizione e sottrazione) che: sin(ab) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) Si ha: y = [2Asin(kx)]cos(t) onda stazionaria Tutte le particelle vibrano di moto armonico semplice, con la stessa frequenza, ma l’ampiezza [2Asin(kx)] dipende dalla posizione x. Ampiezza max per x tale che sin(kx)=1, ossia: π 3 5 kx = , π, π,... 2 2 2  ONDE STAZIONARIE Poiché k=2/l, le posizioni di massima ampiezza (ventri) sono: λ 3 5 n x = , λ, λ,... = λ con n = 1, 3, 5,... 4 4 4 4 Le posizioni di minima ampiezza, ossia ampiezza nulla (nodi), sono: λ 3 n x = 0, , λ, λ,... = λ con n = 0,1,2, 3,... 2 2 2 ventri e nodi sono separati di l/4 Onde che si propagano in verso opposto Onda stazionaria risultante  FREQUENZE ARMONICHE Nel caso di una corda vibrante con estremi fissi, le onde stazionarie che si producono (modi normali) possono avere diverse l (o frequenze), dipendenti dalla lunghezza L della corda. Le l si determinano tenendo conto che: gli estremi sono nodi; nodi e ventri sono separati di l/4. a) L = l1/2 ; l1: lunghezza d’onda fondamentale f1 = v/l1: frequenza fondamentale b) L = l2 ; l2: seconda armonica; f2 = v/l2 = 2v/l1 = 2f1 c) L = 3l3/2 ; l3: terza armonica; f3 = v/l3 = 3v/l1 = 3f1 in generale: ln = 2L/n, n=1,2,3,… fn = v/ln = nv/2L = nf1, n=1,2,3,… dove v è la velocità delle due onde che interferiscono viaggiando in direzioni opposte  SUONO Onde sonore: onde longitudinali, dovute a vibrazioni delle molecole del mezzo o a variazioni di pressione o densità, che possono essere rivelate dall’orecchio umano. s(x,t)=smaxcos(kx-t) P(x,t)=Pmaxsin(kx-t) Intervallo di udibilità: 20 Hz 20000 Hz: ultrasuoni < 20 Hz: infrasuoni  VELOCITA’ DEL SUONO B v= B : modulo di compressione, ρ : densità ρ B misura la variazione di volume di un materiale per effetto di una forza di compressione distribuita uniformemente sulla sua superficie. p=-B(V/V), dove p è la pressione e V il volume La velocità dipende dal materiale e dalla temperatura: in aria: v  (331+0.60t) m/s, dove t (oC) a t = 20 oC: v = 343 m/s a t = 0 oC: v= 331 m/s  CENNI SU TEOREMA DI FOURIER Una funzione periodica nel tempo si può considerare come somma di un certo numero di funzioni armoniche le cui frequenze sono multiple, secondo numeri interi, della frequenza della funzione periodica considerata. y(t) =   Ansin(2πfn t) + Bncos(2πfn t)  n SUONO PURO SUONO COMPLESSO RUMORE Pressione (densità Pressione (densità Pressione (densità e posizione) varia e posizione) varia e posizione) non nel tempo con nel tempo con varia nel tempo legge sinusoidale legge periodica con legge periodica  TONO (ALTEZZA) Il tono di un suono indica se esso è acuto (alto) oppure grave (basso). E’ espresso dalla frequenza del suono se questo è puro dalla frequenza dell’armonica fondamentale se questo è complesso. CARATTERE (TIMBRO) Il carattere di un suono dipende dalla presenza di armoniche superiori, ed in particolare dal loro numero e dalla loro ampiezza relativa.  LIVELLO DI INTENSITA’ Soglia udito orecchio umano: 10-12 W/m2 (a 1000 Hz) Limite sensazione dolorosa: 1 W/m2 La percezione dello stimolo sonoro nell’orecchio non è direttamente proporzionale all’intensità. Si esprime il livello di intensità sonora usando una scala logaritmica: livello di intensità (decibel): (dB) = 10 log(I/I0) dove: I = intensità suono, I0 = soglia dell’udito Una persona media può distinguere una differenza di livello sonoro di 1 o 2 dB.  LIVELLO DI INTENSITA’ SONORA L’orecchio non è ugualmente sensibile a tutte le frequenze  per avvertire la stessa sensazione sonora per suoni di frequenze diverse, occorre avere intensità diverse. Livello di intensità sonora: è numericamente uguale al livello di intensità in dB a 1000 Hz. Unità di misura: phon. Ogni curva nel grafico rappresenta suoni che sembrano essere di uguale livello. Ad esempio, la curva a 40 phon rappresenta suoni che vengono uditi con la stessa sensazione sonora di un suono di frequenza 1000 Hz con un livello di intensità di 40 dB. L’orecchio è più sensibile a suoni di frequenza 20004000 Hz. Un suono a 1000 Hz è udibile già a un livello di 0 dB, mentre un suono a 100 Hz deve essere almeno di 40 dB per essere udito.  EFFETTO DOPPLER Variazione della frequenza delle onde osservate rispetto alla frequenza delle onde emesse quando osservatore e sorgente sono in moto relativo rispetto al mezzo in cui si propagano le onde. sorgente ferma 2 creste successive, a distanza d=l tempo intercorso fra l’emissione delle 2 creste è T=1/f (f=frequenza)  EFFETTO DOPPLER sorgente che si muove verso osservatore fermo sorgente si muove con velocità vs nel tempo T, la prima cresta si è mossa di d=vT (v=velocità dell’onda in aria) nel tempo T, la sorgente si è mossa di ds=vsT distanza, percepita dall’osservatore, fra 2 creste successive: l’ = d-ds = l-vsT = l-vsl/v = l(1-vs/v) quindi: l = l’-l=-vsl/v v v f frequenza percepita dall’osservatore: f = = = > f λ λ  1 - s  1 - s v v    v  v  EFFETTO DOPPLER Osservatore che si muove verso sorgente ferma Sia v0 la velocità di un osservatore che si muove verso una sorgente in quiete (vs = 0) sull’asse x. In questo caso, la distanza tra i fronti d’onda (cioè l) non cambia, ma cambia la velocità dei fronti d’onda rispetto all’osservatore. Se l’osservatore si sta muovendo verso la sorgente, la velocità relativa dei fronti d’onda misurata dall’osservatore è: v’ = v + v0 Quindi la nuova frequenza f ' è: v v + v 0 v + v 0  v + v0   v0  f = = = = f  = f 1 +  > f λ λ v f  v   v   EFFETTO DOPPLER sorgente che si muove verso f  = v = v = f > f osservatore fermo λ λ  1 - v s  1 - sv    v v sorgente che si allontana f  = f < f da osservatore fermo vs 1+ v osservatore che si muove con   v0  f = 1 + f > f velocità v0 verso sorgente ferma  v f  =  1 - 0  f < f osservatore che si allontana v con velocità v0 da sorgente ferma  v  v + v0  osservatore che si muove con velocità v0 f  =   f da sorgente in moto con velocità vs  v - vS  Nell’ultima relazione occorre considerare: v0 e vs positivi in caso di avvicinamento v0 e vs negativi in caso di allontanamento  APPLICAZIONE DELL’EFFETTO DOPPLER Determinazione velocità del flusso sanguigno, dalla misura dello spostamento Doppler della frequenza di onde riflesse dai globuli rossi. f: frequenza onda emessa dalla sorgente v0: velocità dell’oggetto in movimento v: velocità dell’onda 2 spostamenti Doppler: 1) oggetto si comporta come un osservatore in movimento e rivela un’onda di   1 + v0  f frequenza f =    v 2) oggetto si comporta come una sorgente in movimento (vs=v0) riemettendo il suono v0 f 1+ la frequenza risultante è: f  =  vf v v 1- s 1- 0 v v Dalla misura dello spostamento Doppler complessivo: f = f-f e conoscendo v, si determina v =v