مقدّمات حساب دیفرانسیل با متغیر، PDF

‫ﺑﺴﻢ اﻟ ﻪ اﻟﺮﺣﻤﻦ اﻟﺮﺣﯿﻢ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮه‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎت ﺣﺴﺎب دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﯾ‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ اول ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ و ﺧﻮاص آﻧﻬﺎ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫داﻧﺸ ﺎه آزاد اﺳﻼﻣ واﺣﺪ رودﻫﻦ‬ ‫‪ ١۶‬ﻣﻬﺮ ‪١۴٠١‬‬ ...

‫ﺑﺴﻢ اﻟ ﻪ اﻟﺮﺣﻤﻦ اﻟﺮﺣﯿﻢ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮه‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺎت ﺣﺴﺎب دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﯾ‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ اول ‪ :‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ و ﺧﻮاص آﻧﻬﺎ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫داﻧﺸ ﺎه آزاد اﺳﻼﻣ واﺣﺪ رودﻫﻦ‬ ‫‪ ١۶‬ﻣﻬﺮ ‪١۴٠١‬‬  ‫ﻋﻨﻮان ﻣﻄﺎﻟﺐ‪:‬‬ ‫‪.١‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬داﻣﻨﻪ وﺑﺮد‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ‬ ‫‪.٢‬ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ‪ ،‬ﺧﻄ ‪ ،‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای‪ ،‬ﮐﺴﺮی ﮔﻮﯾﺎ‪ ،‬رادﯾ ﺎﻟ ‪ ،‬ﻗﺪرﻣﻄﻠﻘ ‪ ،‬ﺟﺰﺻﺤﯿﺢ‪ ،‬ﻟ ﺎرﯾﺘﻤ ‪،‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﯽ‪ ،‬ﻣﺜﻠﺜﺎﺗ ‪ ،‬ﻫﺬﻟﻮﻟﻮی وﭼﻨﺪﺿﺎﺑﻄﻪ ای‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﯾ ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ وارون‬ ‫‪.٣‬ﺗﺎﺑﻊ زوج وﻓﺮد ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﯾ ﻨﻮا‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺮاﻧﺪار‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﯾ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪.۴‬ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬داﻣﻨﻪ وﺑﺮد‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫‪A×B‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ A‬و ‪ B‬دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬از ‪ A‬ﺑﻪ ‪ B‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ای از زوج ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ زوج ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ آن ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎی اول ﯾ ﺴﺎن ﻧﺪارﻧﺪ‪.‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎی اول را‬ ‫داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ وﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ Df‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎی دوم را ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﻣ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻧﺎﻣﯿﻢ وﺑﺎ ﻧﻤﺎد ‪ Rf‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎی زﯾﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ داﻣﻨﻪ و ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ راﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﮐﺪاﻣﯿ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫)‪f = {(−١, ٢), (٠, ٣), (−١, ۴), (٢, ١)} (١‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪g = {(١, ٣), (٠, ۴), (−١, ٣), (٢, ٠)} (٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫دارای ﻣﻮﻟﻔﻪ اول‬ ‫)‪(−١, ۴‬‬ ‫و‬ ‫)‪(−١, ٢‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ دو زوج ﻣﺮﺗﺐ‬ ‫‪(−١, ۴) ∈ f‬‬ ‫و‬ ‫‪(−١, ٢) ∈ f‬‬ ‫)‪ (١‬ﭼﻮن‬ ‫ﯾ ﺴﺎن ‪ −١‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻊ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬زوج ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ در ‪ g‬ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎی اول ﯾ ﺴﺎن ﻧﺪارﻧﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ‪ g‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ و‬ ‫}‪Dg = {١, ٠, −١, ٢‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫}‪Rg = {٣, ۴, ٠‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻋﻤﻠ ﺮد ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻮﻟﺪ در ﻧﻈﺮﺑ ﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮﺧﺎم اوﻟﯿﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ورودی‬ ‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺗﺎﯾﻊ راﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﯾ‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫دارد ﮐﻪ از داﻣﻨﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ آن اﻧﺘﺨﺎب ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﭘﺲ از ورود اﻧﺠﺎم ﻋﻤﻠﯿﺎت روی آن ﻣﻘﺎدﯾﺮی ﺧﺮوﺟ دارد ﮐﻪ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺟﺰ ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :١‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﯾ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﯾﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻫﺎی ﻣﺮﺗﺐ ﻫﻤﯿﺸﻪ اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬ﺑﺮای ﺳﻬﻮﻟﺖ درﺑﯿﺎن ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬در ﺑﺴﯿﺎری از‬ ‫ﻣﻮارد ﻣ ﺗﻮان ﺑﯿﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ اول )ﻣﺘﻐﯿﺮﻣﺴﺘﻘﻞ ﮐﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﺎ‪ x‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ( و ﻣﻮﻟﻔﻪ دوم ﺗﺎﯾﻊ )ﻣﺘﻐﯿﺮواﺑﺴﺘﻪ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﺎ ﺑﺎ ‪ y‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ( ﻗﺎﻧﻮن ﯾﺎ راﺑﻄﻪ ای ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ وآن را )‪ f (x‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬ﻟﺬا ﯾ‬ ‫‪ A‬ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎﺿﺎﺑﻄﻪ ‪ f‬ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f :A→B‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ y = f (x‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫)‪f = {(−١, −١), (١, ١), (٢, ٢١ ), (٣, ١٣ )} (١‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫)‪g = {(٠, ١), (١, ٢), (٢, ۵), (٣, ١٠), (۴, ١٧)} (٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪h = {(−١, ٠), (٠, ٠), (١, ٠), (٢, ١), (٣, ١)} (٣‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫= )‪f (−١) = −١, f (١) = ١, f (٢‬‬ ‫= )‪, f (٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﭘﺲ ﻫﺮﮔﺎه }‪ x ∈ {−١, ١, ٢, ٣‬و } ‪ y ∈ {−١, ١, ٢١ , ١٣‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺎﺑﻊ راﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪ f : {−١, ١, ٢, ٣} → {−١, ١, ١ , ١‬‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫‪ y = f (x) = ١‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫)‪ (٢‬ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﺎﺑﻊ ‪ g‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫‪g(٠) = ٠٢ +١ = ١, g(١) = ١٢ +١ = ٢, g(٢) = ٢٢ +١ = ۵, g(٣) = ٣٢ +١ = ١٠, g(۴) = ۴٢ +١ = ١٧‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺎﺑﻊ راﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬ ‫}‪y ∈ {١, ٢, ۵, ١٠, ١٧‬‬ ‫‪x‬و‬ ‫}‪∈ {٠, ١, ٢, ٣, ۴‬‬ ‫ﻟﺬا ﺑﺎدرﻧﻈﺮﮔﺮﻓﺘﻦ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ f : {٠, ١, ٢, ٣, ۴} → {١, ٢, ۵, ١٠, ١٧‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y = f (x) = x٢ + ١‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫)‪ (٣‬ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺗﺎﺑﻊ ‪ ،h‬ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪h(−١) = h(٠) = h(١) = ٠,‬‬ ‫‪h(٢) = h(٣) = ١‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺿﺎﺑﻄﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪h : {−١, ٠, ١, ٢, ٣} → {٠, ١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ ٠ x ∈ {−١, ٠, ١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ ١ x ∈ { ٢, ٣‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﺗﺎﺑﻌ ﮐﻪ داﻣﻨﻪ وﺑﺮد آن زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ای از اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f :R→R‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ y = f (x‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﻋﻼوه ﺑﺮ اﯾﻦ داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ ‪ f‬از دﺳﺘﻮر زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫})‪Df = {x ∈ R : y = f (x‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﮐﻪ در آن ﻋﺒﺎرت )‪ y = f (x‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺮد آن از دﺳﺘﻮر زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫} ‪Rf = {f (x) : x ∈ Df‬‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﮔﺎﻫ ‪ Df‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬اﺟﺘﻤﺎع ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎی دوﺑﺪو ﻣﺠﺰا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬روی اﯾﻦ‬ ‫را ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪﺿﺎﺑﻄﻪ ای ﻣ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﻗﺎﻧﻮن ﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻔ ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪.‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت‬ ‫ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x٣ + ٢x x < ٠‬‬ ‫‪ x٢ − x x < −١‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪٢x + ۵ ٠ ⩽ x < ١‬‬ ‫‪ ٢ x + ۵ x ⩾ −١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪ x۴ − ٢ x ⩾ ١‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٢‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﻌﻤﻮﻟ اﺳﺖ ﺑﻪ‬ ‫))‪(x, f (x‬‬ ‫‪ ،y‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﻤﻪ ﻧﻘﺎط‬ ‫)‪= f (x‬‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﻗﺎﻧﻮن‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻃﻮری ﮐﻪ ‪.x ∈ Df‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺗﺴﺎوی دو ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﯾﺎ ﻣﺴﺎوی ﮔﻮﯾﯿﻢ و ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ ‪ ، f = g‬ﻫﺮﮔﺎه‬ ‫‪Df = Dg‬‬ ‫و‬ ‫‪f (x) = g(x) ∀ x ∈ Df = Dg‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫= )‪ f (x‬و ‪ g(x) = x − ٢‬ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﯿﺴﺘﻨﺪ زﯾﺮا ﺗﺎﺑﻊ ‪ g‬ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x‬در ‪ R‬ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫‪x٢ −۴‬‬ ‫‪x+٢‬‬ ‫)‪ (١‬دو ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪.D f‬‬ ‫‪̸= Dg‬‬ ‫ﺷﺪه اﺳﺖ وﻟ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ﺗﻤﺎم ‪ R‬ﺑﺠﺰء ‪ x = −٢‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻟﺬا‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫= )‪ f (x‬و ‪ g(x) = x٢ − ١‬ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ زﯾﺮا اوﻻ داﻣﻨﻪ ﻫﺮ دو ﺗﺎﺑﻊ‪ ،‬ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد‬ ‫‪x۴ −١‬‬ ‫‪x٢ +١‬‬ ‫)‪ (٢‬دو ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ )ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﻫﻤﻮاره ﻣﺨﺎﻟﻒ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ(‪.‬ﺛﺎﻧﯿﺎٌ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ x‬در ‪ R‬دارﯾﻢ‪:‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫‪x۴ − ١‬‬ ‫)‪(x٢ − ١)(x٢ + ١‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫‪f (x) = ٢‬‬ ‫=‬ ‫)‪= x٢ − ١ = g(x‬‬ ‫‪x +١‬‬ ‫‪x +١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ ﮐﻪ ﻗﺒﻞ از آن ﮐﻪ ﻫﺮﻋﻤﻠ روی ﺗﺎﺑﻊ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد ﻣ ﺑﺎﯾﺴﺖ داﻣﻨﻪ آن ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪٢‬‬ ‫اﻧﻮاع ﺗﻮاﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ‬ ‫در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺑﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﺗﻮاﺑﻊ ﺣﻘﯿﻘ و ﺑﺮرﺳ ﺧﻮاص آﻧﻬﺎ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪.‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻋﻀﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ k‬ﻧﻈﯿﺮ ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد وﺑﺎ‬ ‫ﺗﺎﺑﻌ ﮐﻪ ﻫﻤﮥ ﻋﻨﺎﺻﺮ داﻣﻨﮥ آن ﺑﻪ ﯾ‬ ‫ﺿﺎﺑﻄﻪ ‪ y = f (x) = k‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬ﺑﻪ وﺿﻮح ﺑﺮد آن ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﮏ ﻋﻀﻮی }‪ {k‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ و ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄ ﻣﻮازی ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٣‬ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۴‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪.y = ٢‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮاﺳﺖ ﮐﻪ ﺧﻂ ‪ y = ٠‬ﻫﻤﺎن ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ و ﺧﻂ ‪ x = ٠‬ﻫﻤﺎن ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄ‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪ y‬ﮐﻪ درآن ‪ a‬و ‪ b‬اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ را ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ‪.‬‬ ‫‪= f (x) = ax + b‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﮥ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﭼﻨﯿﻦ ﻣﻌﺎدﻻﺗ ﺧﻄﻮط راﺳﺖ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪﮐﻪ در آن ﺿﺮﯾﺐ ‪ x‬را ﺷﯿﺐ ﯾﺎ ﺿﺮﯾﺐ زاوﯾﻪ ﺧﻂ و ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ‪ b‬را ﻋﺮض ازﻣﺒﺪا ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫داﻣﻨﻪ وﺑﺮد اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ‪.‬ﺑﺮای رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار آن دو ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاه از آن را ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫و ﺑﻪ وﺻﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ واﻣﺘﺪاد ﻣ دﻫﯿﻢ‪.‬ﻣﻌﻤﻮﻻ ﺑﺮای ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻧﻘﺎط‪ x = ٠ ،‬و ‪ y = ٠‬را درﻣﻌﺎدﻟﮥ ﺧﻂ ﻗﺮار‬ ‫ﻣ دﻫﯿﻢ و ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻋﺮض و ﻃﻮل ﻧﻘﺎط واﻗﻊ ﺑﺮ ﺧﻂ را ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻄ ﮐﻪ از ﻧﻘﻄﮥ ) ‪ A(x١ , y١‬ﻋﺒﻮر ﻣ ﮐﻨﺪ ودارای ﺷﯿﺐ ﻣﻌﻠﻮم ‪ m‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫) ‪y − y١ = m(x − x١‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬ﻣﻌﺎدﻟﮥ ﺧﻄ ﮐﻪ از دو ﻧﻘﻄﮥ ﺛﺎﺑﺖ )‪ A(a, b‬و ) ‪ (a′ , b′‬ﻣ ﮔﺬرد ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫‪′‬‬ ‫‪b −b‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫=‪y−b‬‬ ‫)‪(x − a‬‬ ‫‪a′ − a‬‬ ‫= ‪ m‬ﺷﯿﺐ ﺧﻂ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬اﮔﺮ ‪ ،m = ٠‬آﻧﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺧﻂ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ y = b‬اﺳﺖ‪.‬اﮔﺮ‬ ‫‪b′ −b‬‬ ‫‪a′ −a‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫∞ = ‪ ،m‬آﻧﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﮥ ﺧﻂ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ x = a‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺧﻄ ﻣﻮازی وﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ اﮔﺮ‪ α‬زاوﯾﻪ ﺣﺎده ای ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺧﻂ ﺑﻪ ﺷﯿﺐ ‪ m‬ﺑﺎﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻣ ﺳﺎزد‪ ،‬دراﯾﻦ ﺻﻮرت ‪.tanα = m‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۵‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪.y = x‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫‪ ،x‬ﭘﺲ‬ ‫‪= ١‬‬ ‫‪.y‬ﺣﺎل ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‬ ‫‪= ٠‬‬ ‫‪ ،x‬ﻟﺬا‬ ‫‪= ٠‬‬ ‫‪ ،y‬اﺑﺘﺪا ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‬ ‫‪= x‬‬ ‫ﺑﺮای رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ‬ ‫‪.y = ١‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ ﻧﻤﻮدار از دوﻧﻘﻄﮥ )‪ (٠, ٠‬و )‪ (١, ١‬ﻣ ﮔﺬرد‪.‬ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ‪ ،m = ١‬ﭘﺲ ‪،tanα = ١‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﻟﺬا ◦‪.α = ۴۵‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :۶‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪.y = ٣x‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﻪ وﺿﻮح ﺧﻂ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﮥ ‪ y = ٣x‬از دوﻧﻘﻄﮥ )‪ (٠, ٠‬و )‪ (١, ٣‬ﻣ ﮔﺬرد‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x+١‬‬ ‫‪x>١‬‬ ‫= )‪ f (x‬را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٣x − ٣‬‬ ‫‪−١⩽x⩽١‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪y=٠‬‬ ‫ﺑﺎ ﻓﺮض ⩽ ‪ y = ٣x − ٣ ، −١ ⩽ x‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ‪ x = ١‬و ‪ ،x = −١‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫و ‪ y = −۴‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬ﭘﺲ ﻧﻘﺎط )‪ (١, ٠‬و )‪ (−١, −۴‬ﺑﺎ وﺻﻞ ﭘﺎره ﺧﻄ ﺑﯿﻦ اﯾﻦ ﻧﻘﺎط ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ‬ ‫‪ y = ٣x − ٣‬در اﯾﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ رﺳﻢ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫‪y‬و‬ ‫‪=٢‬‬ ‫‪ y‬ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ‪ x = ١‬و ‪ ، x = ٢‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬ ‫‪= x+١‬‬ ‫ﺣﺎل اﮔﺮ ‪ x > ١‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﺷﻮد ﮐﻪ ﻧﻘﻄﮥ ﺷﺮوع )‪(١, ٢‬‬ ‫‪ y = ٣‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪.‬ﺑﺎ وﺻﻞ ﻧﻘﺎط )‪ (١, ٢‬و )‪ (٢, ٣‬ﻧﯿﻢ ﺧﻄ ﺣﺎﺻﻞ ﻣ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﺮای آن ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ زﯾﺮا داﻣﻨﮥ اﯾﻦ ﺿﺎﺑﻄﮥ ﺗﺎﺑﻊ ‪ x > ١‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫{‬ ‫‪x+١ x>١‬‬ ‫= ‪.y‬‬ ‫‪٣x − ٣ − ١ ⩽ x ⩽ ١‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٧‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫ﯾ‬ ‫‪f (x) = an xn + an−١ xn−١ +... + a١ x + a٠‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن ﺿﺮاﯾﺐ ‪ a١ ،a٠‬و‪...‬و ‪ an‬اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ اﻧﺪ و ﺗﻮان ﻫﺎ در ﻣﺠﻤﻮﻋﮥ }‪ N ∪ {٠‬ﻗﺮار دارﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺰرﮔﺘﺮﯾﻦ ﺗﻮان ‪) x‬در اﯾﻦ ﺟﺎ ‪ ،( n‬درﺟﮥ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣ ﺷﻮد‪.‬داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﺗﻤﺎم‬ ‫اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ ‪ R ،‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫√‬ ‫ﺑﺮای ﻣﺜﺎل ﺗﻮاﺑﻊ ‪ f (x) = ٣x٢ − ۵x + ۴‬و ‪ g(x) = ۵x٣ − ٢x٢ + x − ٣‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای از درﺟﮥ‬ ‫‪ ٢‬و ‪ ٣‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺗﺎﺑﻊ ‪ h(x) = ۴x۵ − ٢x− ١ + ٧x − ٣‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ازﺣﺪ وﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎ ی ﻣﺸﺘﻖ‪ ،‬اﻣ ﺎن ﭘﺬﯾﺮاﺳﺖ‪.‬درﺷ ﻞ ﻫﺎی زﯾﺮ ﻧﻤﻮدارﻫﺎی ﺑﻌﻀ ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ اﯾﻬﺎی درﺟﮥ دوم وﺳﻮم رﺳﻢ ﺷﺪه اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٨‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ درﺟﮥ دوم )ﺿﺮﯾﺐ ‪ x٢‬ﻣﻨﻔ اﺳﺖ‪(.‬‬ ‫ﺷ ﻞ ‪ :٩‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ درﺟﮥ ﺳﻮم) ‪( y = x٣‬‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺴﺮی ﮔﻮﯾﺎ‬ ‫اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫)‪q(x‬‬ ‫ﻣ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن )‪) p(x‬ﺻﻮرت ﮐﺴﺮ(‪) q(x) ،‬ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ( ﻫﺮدو ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫زﯾﺮ‬ ‫‪٣x − ۴‬‬ ‫‪x٣‬‬‫‪−‬‬ ‫‪۵x٢‬‬ ‫‪+ ٢x − ٣‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪+ ٢x − ١‬‬ ‫‪٢x + ۶x٣ − ٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫ﮐﺴﺮ وﻗﺘ ﻣﺨﺮج آن ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﻟﺬا درﺗﻮاﺑﻊ ﮐﺴﺮی‬ ‫ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﭼﻮن ﯾ‬ ‫ﺑﻪ ازای رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻧﺸﺪه ﻣ ﺷﻮد‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺴﺮی از دﺳﺘﻮر زﯾﺮ ﺑﻪ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﻪ‬ ‫= )‪ f (x‬ﺿﺎﺑﻄﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺴﺮی ﺑﺎﺷﺪ‪.‬دراﯾﻦ ﺻﻮرت داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ از دﺳﺘﻮر زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫)‪q(x‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﺒﻢ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫}‪Df = R − {x ∈ R | q(x) = ٠‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫داﻣﻨﮥ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x٢ −١‬‬ ‫‪٢x+۴‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪٣x٢ −٢x+٨‬‬ ‫‪x٢ −٩‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪٣x٣ −۶x+٢‬‬ ‫‪x٢ +٣‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪۶x٨ −٧x+٣‬‬ ‫‪x۴ −٨x‬‬ ‫)‪(۴‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪٣x٧ −x+٢‬‬ ‫‪x۵ −x‬‬ ‫)‪(۵‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪٣x٢ +x+۶‬‬ ‫‪x۴ +١۶x‬‬ ‫)‪(۶‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x۵ −x+٢‬‬ ‫‪x٣ +x٢ +x‬‬ ‫)‪(٧‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﺑﺮای ﺗﺎﺑﻊ ﮐﺴﺮی داﻣﻨﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫}‪Df = R − {x ∈ R | ٢x + ۴ = ٠‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﭘﺲ ‪ ، ٢x + ۴ = ٠‬ﻟﺬا ‪ ،٢x = −۴‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ x = −٢‬رﯾﺸﻪ ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ اﺳﺖ‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫‪.Df‬‬ ‫}‪= R − {−٢‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪ (٢‬داﻣﻨﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫}‪Df = R − {x ∈ R | x٢ − ٩ = ٠‬‬ ‫ﭘﺲ ‪ x٢ − ٩ = ٠‬ﯾﺎ ‪ ،(x − ٣)(x + ٣) = ٠‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ x = −٣‬و ‪.x = ٣‬‬ ‫}‪Df = R − {−٣, ٣‬‬ ‫)‪ (٣‬داﻣﻨﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫‪Df = R − {x ∈ R | x٢ + ٣ = ٠} = R − {} = R‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫زﯾﺮا ﻣﻌﺎدﻟﮥ ‪ x٢ + ٣ = ٠‬رﯾﺸﮥ ﺣﻘﯿﻘ ﻧﺪارد) ‪.(∆ = −١٢ < ٠‬‬ ‫)‪ (۴‬داﻣﻨﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫}‪Df = R − {x ∈ R | x۴ − ٨x = ٠} = R − {x ∈ R | x(x٣ − ٨) = ٠‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫‪.‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ‪ x = ٠‬ﯾﺎ‬ ‫‪x٢‬‬ ‫‪+ ٢x + ۴ = ٠‬‬ ‫‪ ،x(x −‬ﻟﺬا ‪ x = ٠‬ﯾﺎ ‪ x − ٢ = ٠‬ﯾﺎ‬ ‫‪٢)(x٢‬‬ ‫‪+ ٢x + ۴) = ٠‬‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫‪.x = ٢‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫}‪Df = R − {٠, ٢‬‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪ (۵‬رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ راﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ‪.‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ‪.x۵ − x = ٠‬ﭘﺲ‬ ‫‪x(x۴ − ١) = ٠ ⇒ x(x٢ − ١)(x٢ + ١) = ٠ ⇒ x(x − ١)(x + ١)(x٢ + ١) = ٠‬‬ ‫ﻟﺬا ‪x = ٠‬ﯾﺎ ‪ x − ١ = ٠‬ﯾﺎ ‪ x + ١ = ٠‬ﯾﺎ ‪.x٢ + ١ = ٠‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪٠, ١, −١‬‬ ‫‪.‬ﭘﺲ‬ ‫}‪Df = R − {−١, ٠, ١‬‬ ‫)‪ (۶‬ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x۴ + ١۶x = ٠‬ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫‪x(x٣ + ١۶) = ٠ ⇒ x = ٠ , x٣ + ١۶ = ٠ ⇒ x = ٠ , x٣ = −١۶‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫= ‪.x‬رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬ﻟﺬا‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪−١۶ = −٢ ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﭘﺲ ‪ x = ٠‬ﯾﺎ‬ ‫√‬ ‫‪٣‬‬ ‫}‪Df = R − {٠, −٢ ٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪ (٧‬از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ ،x٣ + x٢ + x = ٠‬دارﯾﻢ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫‪x(x٢ + x + ١) = ٠ ⇒ x = ٠ , x٢ + x + ١ = ٠‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﭼﻮن ﻣﻌﺎدﻟﮥ ‪ ،x٢ + x + ١ = ٠‬رﯾﺸﮥ ﺣﻘﯿﻘ ﻧﺪارد) ‪.( ∆ = −٣‬ﭘﺲ‬ ‫}‪Df = R − {٠‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ رادﯾ ﺎﻟ ) اﺻﻢ (‬ ‫در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻪ ﺷﺮح ﺗﻮاﺑﻊ رادﯾ ﺎﻟ ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪.‬ﺑﻄﻮر ﺳﺎده ﺗﺎﺑﻌ ﮐﻪ در آن ﻋﺒﺎرﺗ ﺟﺒﺮی ﺑﺮﺣﺴﺐ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫‪ x‬در زﯾﺮ رادﯾ ﺎل ﻣ ﺑﺎﺷﺪ را ﺗﺎﺑﻊ رادﯾ ﺎﻟ ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪x٢ + ٣x‬‬ ‫‪f (x) = x − ٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= )‪g(x‬‬ ‫‪٢x − ۶‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫در اداﻣﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒِ رادﯾ ﺎل و ﺧﻮاص آن را ﻣﺮور ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬ ‫√‬ ‫= ‪.a‬اﮔﺮ ‪،n = ٢‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ ،an = b‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ‪ a‬را رﯾﺸﮥ ‪ n‬ام ‪ b‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ و ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‬ ‫√‬ ‫= ‪.a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫آﻧﮕﺎه ‪ a‬را رﯾﺸﮥ دوم ‪ b‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ و ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‬ ‫ﻗﺮارداد‬ ‫ﻋﺪد ﯾﺎ ﻋﺒﺎرت را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺮﻃﺒﻖ ﻗﺮارداد‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻋﺒﺎرت رادﯾ ﺎﻟ ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﺗﻮان ﻫﺎی ﮐﺴﺮی ﯾ‬ ‫داد‪.‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﺴﺎوی ﻫﺎی زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x = x٢ ,‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪x٢ = x ٣ ,‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪x٢ − ١ = (x٢ − ١) ۴‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﻃﻮرﮐﻠ ﻣ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪un = u m‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪xn = x m‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪= u− m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(۴‬‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪= x− m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪un‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺧﻮاص رادﯾ ﺎل‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﻋﺒﺎرت ﻫﺎی رادﯾ ﺎﻟ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﺴﺎوی ﻫﺎی زﯾﺮ‪ ،‬ﯾﺮای ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫|‪ |u‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪n = ٢k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪u n v = n uv‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪u‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪n = ٢k + ١‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪(۴‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫‪nu‬‬ ‫‪n u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫‪nv‬‬ ‫‪k n u = n knu‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‪u‬‬ ‫‪nm‬‬ ‫‪u‬‬ ‫)‪(۶‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( n u)m = n um‬‬ ‫)‪(۵‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ |u| = |v| n = ٢k‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪un = v m‬‬ ‫⇒‬ ‫‪n‬‬ ‫‪un = n v n‬‬ ‫⇒‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(٧‬‬ ‫‪ u=v‬‬ ‫‪n = ٢k + ١‬‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﻫﻤﻮاره ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺗﺴﺎوی ‪u ± n v = n u ± v‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫≠ ‪٩ + ١۶‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪٩ + ١۶.‬‬ ‫زﯾﺮا ‪ ، ٩ + ١۶ = ٧‬وﻟ ‪. ٩ + ١۶ = ٢۵ = ۵‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫را ﺳﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪٣+٢ ٢+‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت ‪۶ − ۴ ٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﻋﺒﺎرت ‪ ٣ + ٢ ٢‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ ٢ + ١ + ٢ ٢‬ﯾﺎ‪ ( ٢)٢ + ١٢ + ٢ ٢‬ﯾﺎ ‪ ( ٢ + ١)٢‬ﻧﻮﺷﺖ و‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﻋﺒﺎرت ‪ ۶ − ۴ ٣‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ ۴ − ۴ ٢ + ٢‬ﯾﺎ ‪ ٢٢ − ٢ ٢ + ( ٢)٢‬ﯾﺎ ‪ (٢ − ٢)٢‬ﻧﻮﺷﺖ‪.‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪٣+٢ ٢+‬‬ ‫‪۶ − ۴ ٢ = ( ٢ + ١) + (٢ − ٢)٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫|=‬ ‫=| ‪٢ + ١ | + | ٢ − ٢‬‬ ‫‪٢+١+٢− ٢=٣‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫√‬ ‫‪٣‬‬ ‫√‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪٢ ٨‬‬ ‫√‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ ٢‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاص رادﯾ ﺎل ﺻﻮرت و ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ را ﺳﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√ ‪٣‬‬ ‫√‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢ ٨‬‬ ‫‪٢٢ ٢٣‬‬ ‫‪٢۵‬‬ ‫‪٢۶‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪۵−٢‬‬ ‫√‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪۴‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪۶ ۶‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪٢٣٢‬‬ ‫‪۴ ٣‬‬ ‫‪٢٣ ٢‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٢۴ ٢ ١٢‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﮔﻮﯾﺎ ﮐﺮدن ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮﻫﺎ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﺿﺮب ﻣ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪un−١‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺻﻮرت وﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ رادر ﻋﺒﺎرت‬ ‫‪n‬‬ ‫‪u‬‬ ‫اﮔﺮ در ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮی ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﮐﻨﯿﻢ ﺗﺎ رادﯾ ﺎل در ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﺣﺬف ﺷﻮد‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫در ﺣﺎﻟﺘ ﮐﻪ در ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎﯾﯽ ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪A − B ، A − B ، A + B ، A + B‬‬ ‫√‬ ‫√ √‬ ‫√‬ ‫√ √‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺻﻮرت و ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ در ﻋﺒﺎرت ﻫﺎی ‪A+ B ، A+B ، A− B ، A−B‬‬ ‫اﺗﺤﺎد ﻣﺰدوج آن را ﺳﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺿﺮب ﻧﻤﻮده ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﮐﻤ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﮔﻮﯾﺎ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫‪√٢‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫√‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x+١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫√‬ ‫‪١‬‬ ‫√‬ ‫‪٢+ ٣+ ١‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٣ ٢ ٣‬‬ ‫√‬ ‫= √ √=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪(x + ١)٢‬‬ ‫‪x (x + ١)٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x (x + ١)٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫√‬ ‫√ =‬ ‫√‪.‬‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x+١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x + ١ ٣ (x + ١)٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪(x + ١)٣‬‬ ‫‪x+١‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢+ ٣−١‬‬ ‫‪٢+ ٣−١‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√=‬ ‫√‬ ‫√‪.‬‬ ‫√‬ ‫√ =‬ ‫√‬ ‫‪٢+ ٣+١‬‬ ‫‪٢+ ٣+١‬‬ ‫‪٢ + ٣ − ١ ( ٢ + ٣)٢ − ١٢‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪٢+ ٣−١‬‬ ‫)‪٢ + ٣ − ١ ۴ − ٢ ۶ ( ٢ + ٣ − ١)(۴ − ٢ ۶‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫‪.‬‬ ‫= √‬ ‫√‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪۴+٢ ۶‬‬ ‫‪۴+٢ ۶ ۴−٢ ۶‬‬ ‫‪۴٢ − (٢ ۶)٢‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪−۴‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫و‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪A٢ + ٣ AB + B ٢ ، ٣ A + ٣ B ، ٣ A − ٣ B‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﮔﺮ در ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮی ﻋﺒﺎرت ﻫﺎﯾﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ﺻﻮرت و ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ در ﻋﺒﺎرت ﻫﺎﯾﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪A٢ − ٣ AB + B ٢‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﺿﺮب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪A+ ٣ B‬‬ ‫و‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪A − ٣ B ، A٢ − ٣ AB + B ٢ ، A٢ + ٣ AB + B ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ اﺗﺤﺎد ﻫﺎی زﯾﺮ ﺳﺎده ﺷﺪه و رادﯾ ﺎل در ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ ﺣﺬف ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫) ‪A٣ − B ٣ = (A − B)(A٢ + AB + B ٢‬‬ ‫) ‪A٣ + B ٣ = (A + B)(A٢ − AB + B ٢‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫را ﮔﻮﯾﺎ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪٣‬‬ ‫√‪١‬‬ ‫‪٢+ ٣ ٣‬‬ ‫ﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺻﻮرت وﻣﺨﺮج ﮐﺴﺮ را در ﻋﺒﺎرت ‪ ٣ ۴ − ٣ ۶ + ٣ ٩‬ﺿﺮب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪۴− ٣۶+ ٣٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴− ٣۶+ ٣٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴−‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۶+‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢+ ٣٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢+ ٣٣ ٣۴− ٣۶+ ٣٩‬‬ ‫‪( ٢)٣ + ( ٣)٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۵‬‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﻪ‬ ‫داﻣﻨﮥ ﺗﻮاﺑﻊ رادﯾ ﺎﻟ‬ ‫ﺑﺮای ﺗﻌﯿﯿﻦ داﻣﻨﮥ ﺗﻮاﺑﻊ رادﯾ ﺎﻟ دﺳﺘﻮرات زﯾﺮ را ﺑ ﺎر ﻣ ﺑﺮﯾﻢ‪.‬‬ ‫√‬ ‫= )‪ f (x‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن )‪ p(x‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای اﺳﺖ‪ ،‬داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫اﻟﻒ ‪ :‬اﮔﺮ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫‪( Df‬‬ ‫‪=R‬‬ ‫ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ‪).‬‬ ‫√‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫‪n‬‬ ‫ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای و‬ ‫)‪q(x‬‬ ‫و‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ درآن‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫)‪q(x‬‬ ‫ب ‪ :‬اﮔﺮ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬ ‫ﻃﺒﯿﻌ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ از دﺳﺘﻮر زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫} ‪Df = R − {x ∈ R| q(x) = ٠‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫√‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮی و ‪ n‬ﻋﺪدﻃﺒﯿﻌ‬ ‫= )‪ f (x‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ در آن )‪ u(x‬ﯾ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻞ )‪u(x‬‬ ‫پ ‪ :‬اﮔﺮ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺷ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫زوج ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬دراﯾﻦ ﺻﻮرت داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫} ‪Df = {x ∈ R| u(x) ⩾ ٠‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﯾﺎد آوری )ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎ(‬ ‫در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﭼ ﻮﻧﮕ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎی درﺟﮥ اول و دوم ﺑﯿﺎن ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻋﺒﺎرت درﺟﮥ اول‬ ‫‪ P‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺟﺪول زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪= ax + b‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت درﺟﮥ اول‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪− ab‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫دوم ﺑﺨﺶ‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻋﺒﺎرت درﺟﮥ دوم‬ ‫‪ P‬ﻣﻄﺎﺑﻖ دﺳﺘﻮرات زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪= ax٢ + bx + c‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت درﺟﮥ دوم‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫= ‪x٢‬‬ ‫∆ ‪−b+‬‬ ‫‪٢a‬‬ ‫= ‪ x١‬و‬ ‫∆ ‪−b−‬‬ ‫‪٢a‬‬ ‫)‪ (١‬اﮔﺮ ‪ ،∆ = b٢ − ۴ac > ٠‬آﻧﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﮥ درﺟﮥ دوم دورﯾﺸﻪ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰِ‬ ‫دارد و ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﺷﻮد‪( x١ < x٢ ).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪x١‬‬ ‫‪x٢‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ax٢ + bx + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ ٠‬ﻣﺨﺎﻟﻒ ﻋﻼﻣﺖ ‪ ٠ a‬ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫= ‪ x١ = x٢‬دارد و ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪٢a‬‬ ‫)‪ (٢‬اﮔﺮ ‪ ،∆ = b٢ − ۴ac = ٠‬آﻧﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﮥ درﺟﮥ دوم رﯾﺸﮥ ﻣﻀﺎﻋﻒِ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ آن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪−b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪٢a‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪ax٢‬‬ ‫‪+ bx + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ ٠‬ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫‪٣۵‬‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺗﺬﮐﺮ‬ ‫)‪ (٣‬اﮔﺮ ‪ ،∆ = b٢ − ۴ac < ٠‬آﻧﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﮥ درﺟﮥ دوم رﯾﺸﮥ ﺣﻘﯿﻘ ﻧﺪارد و ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ax٢ + bx + c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻮاﻓﻖ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫داﻣﻨﮥ ﺗﻮاﺑﻊ زﯾﺮ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫√‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x٣ + ٢x − ۴‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫√‬ ‫‪f (x) = ٣ ٢x+‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪x+۴‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫√‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪f (x) = ٢x − ۴‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫√‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪f (x) = x٢ + ٢x‬‬ ‫)‪(۴‬‬ ‫√‬ ‫‪f (x) = x+‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪(۵‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫‪٢−x‬‬ ‫√‬ ‫‪f (x) = xx٣−‬‬ ‫‪٢ ۴‬‬ ‫‪+x‬‬ ‫)‪(۶‬‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫‪ Df‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪=R‬‬ ‫)‪ (١‬ﭼﻮن ﻓﺮﺟﮥ رادﯾ ﺎل ﻓﺮد و ﻋﺒﺎرت زﯾﺮ رادﯾ ﺎل‪ ،‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪ ای اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫)‪ (٢‬ﭼﻮن ﻓﺮﺟﮥ رادﯾ ﺎل ﻓﺮد و ﻋﺒﺎرت زﯾﺮ رادﯾ ﺎل‪ ،‬ﮐﺴﺮی اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫}‪Df = R − {x ∈ R | ٢x + ۴ = ٠ } = R − {−٢‬‬ ‫)‪ (٣‬ﭼﻮن ﻓﺮﺟﮥ رادﯾ ﺎل زوج اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫} ‪Df = {x ∈ R | ٢x − ۴ ⩾ ٠‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫اﮐﻨﻮن ﻋﺒﺎرت ‪ ٢x − ۴‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ ‪ ،٢x − ۴ = ٠‬ﭘﺲ ‪ ،x = ٢‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪٢x − ۴‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪.D f‬‬ ‫)∞‪= [٢, +‬‬ ‫ﻟﺬا‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫)‪ (۴‬ﭼﻮن ﻓﺮﺟﮥ رادﯾ ﺎل زوج اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫} ‪Df = {x ∈ R | x٢ + ٢x ⩾ ٠‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫ﺣﺎل ﻋﺒﺎرت ‪ x٢ + ٢x‬را ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﮥ ‪ x٢ + ٢x = ٠‬رﯾﺸﻪ ﻫﺎی ‪ x = −٢‬ﯾﺎ‬ ‫‪ x = ٠‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x٢ + ٢x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل‬ ‫ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل‬ ‫‪.Df‬‬ ‫)∞‪= (−∞, −٢] ∪ [٠, +‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬ ‫)‪ (۵‬داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫| ‪Df = {x ∈ R‬‬ ‫‪x+٣‬‬ ‫‪٢−x‬‬ ‫}‪⩾٠‬‬ ‫اراﺋﻪ دﻫﻨﺪه‪:‬‬ ‫ﻣﺤﻤﺪ ﺣﺴﯿﻦ‬ ‫‪ P‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺟﺪول زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪x+٣‬‬ ‫‪٢−x‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﻣﺴﻠﻤ ﮐﻮﭘﺎﯾﯽ‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫ﺑﺨﺶ اول‬ ‫‪x+٣‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫‪٢−x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‬ ‫‪P‬‬ ‫)‪(−) ٠ (+‬‬ ‫)‪(−‬‬ ‫ق‪.‬ق‬ ‫∞‬ ‫ﺣﻞ ﻣﺴﺎﯾﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ‬ ‫‪.D f‬‬ ‫)‪= [−٣, ٢‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ‬  ‫ﺑﺨﺶ دوم‬ ‫)‪ (۶‬داﻣﻨﮥ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪x٢ −۴‬‬ ‫| ‪Df = {x ∈ R‬‬ ‫‪x٣ +x‬‬ ‫}‪⩾٠‬‬ ‫‪ P‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺟﺪول زﯾﺮ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﻋﻼﻣﺖ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪x٢ −۴‬‬ ‫‪x٣ +x‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪−٢‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x٢ − ۴‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪+