Πληροφορική - Αριθμητικά Συστήματα (PDF)

Τμήμα Γραφιστικής και Οπτικής Επικοινωνίας Πληροφορική #03 – Αριθμητικά Συστήματα Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 1  Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1234.765 χιλιάδες εκατοντάδες δε...

Τμήμα Γραφιστικής και Οπτικής Επικοινωνίας Πληροφορική #03 – Αριθμητικά Συστήματα Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 1  Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης 1234.765 χιλιάδες εκατοντάδες δεκάδες μονάδες δέκατα εκατοστά χιλιοστά 1x1000 + 2x100 + 3x10 + 4x1 + 7x(1/10) + 6x(1/100) + 5x(1/1000) = 1x103 + 2x102 + 3x101 + 4x100 + 7x10-1 + 6x10-2 + 5x10-3 Συμπεράσματα: o Βάση: 10 o Ψηφία: {0-9} , 9=10-1 → βάση – 1, {0 – (βάση-1)} o Ξεκινώντας με την υποδιαστολή: o έχουμε το ακέραιο μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το 0 και σε κάθε θέση αυξάνονται o έχουμε το δεκαδικό μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το -1 σε κάθε θέση μειώνονται Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 2  Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης Χαρακτηριστικά: Βάση: 2 Ψηφία: {0 – (βάση-1)} → {0-1} Ξεκινώντας με την υποδιαστολή: έχουμε το ακέραιο μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το 0 και σε κάθε θέση αυξάνονται έχουμε το δεκαδικό μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το -1 σε κάθε θέση μειώνονται (1101.1)2 = = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 = = 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 = (13.5)10 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 3 Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης – Παράδειγμα 1101.011 οκτάδες τετράδες δυάδες μονάδες μισά τέταρτα όγδοα 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3 = (13.375)10 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 4 Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης - Αριθμοί 000 → 0 001 → 1 010 → 2 011 → 3 100 → 4 101 → 5 110 → 6 111 → 7 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 5  Το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης Χαρακτηριστικά: Βάση: 16 Ψηφία: {0 – (βάση-1)} → {0-15} Ψηφία: 0,1,2,3,…,8,9,Α,Β,C,D,E,F Ξεκινώντας με την υποδιαστολή: έχουμε το ακέραιο μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το 0 και σε κάθε θέση αυξάνονται έχουμε το δεκαδικό μέρος, όπου οι δυνάμεις αρχίζουν από το -1 σε κάθε θέση μειώνονται (E7A9.8)16 = 14x163 + 7x162 + 10x161 + 9x160 + 8x16-1 = = 57344 + 1792 + 160 + 9 + 0.5 = (59305.5)10 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 6  Ανακεφαλαίωση – Παραδείγματα (1673,42)10 = 1x103 + 6x102 + 7x101 + 3x100 + 4x10-1 + 2x10-2 (100110)2 = 1x25 + 0x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = (38)10 (Α34F,4)16 = Ax163+3x162+4x161+Fx160+4x16-1 = (41807,25)10 (372)8 = 3x82 + 7x81 + 2x80 = (250)10 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 7  Αριθμητικά Συστήματα Ένας δεκαδικός αριθμός x αποτελείται από μία ακολουθία δεκαδικών ψηφίων και ίσως από μία υποδιαστολή. Οποιοσδήποτε αριθμός (ποσότητα) εκφράζεται ως: n −1 (x )b =  aibi b είναι η βάση του συστήματος (b2) ai τα ψηφία του αριθμού αυτού με τιμές 0 έως b-1 i =− m Ο αριθμός: αn-1bn-1 + αn-2bn-2 + … + α1b1 + α0b0 + α-1b-1 + … + α-mb-m συμβολίζεται ως: αn-1 αn-2 … α1 α0 α-1…α-m Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 8  Αριθμητικά Συστήματα - Συμβολισμοί Όταν χρησιμοποιούμε διαφορετικά συστήματα αρίθμησης, συνήθως χρησιμοποιούμε συμβολισμούς, ώστε να γνωρίζουμε σε ποιο σύστημα είναι γραμμένος ο αριθμός. Ένας τρόπος συμβολισμού είναι με δείκτες κάτω δεξιά από τον αριθμό: (324)10 – δεκαδικό σύστημα (101001)2 – δυαδικό σύστημα (3F2D)16 – δεκαεξαδικό σύστημα (651)8 – οκταδικό σύστημα (521)9 – ενναδικό σύστημα Ένας εναλλακτικός τρόπος συμβολισμού των χρησιμοποιούμενων συστημάτων αρίθμησης στην πληροφορική (δανεισμένος από τη γλώσσα προγραμματισμού C) είναι: 324 – δεκαδικό σύστημα 0b101001 – δυαδικό σύστημα 0o651 – οκταδικό σύστημα 0x3F2D – δεκαεξαδικό σύστημα BONUS: #3F2D – δεκαεξαδικό σύστημα Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 9  Μετατροπές Από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο (1) Έστω αριθμός με ακέραιο και δεκαδικό μέρος (yyyy,xxx). Χωρίζω το ακέραιο από το κλασματικό μέρος yyyy και 0,xxx Το ακέραιο μέρος του αριθμού διαιρείται (ακέραια διαίρεση) συνεχώς με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλουμε να το μετατρέψουμε. Η διαίρεση σταματάει όταν το πηλίκο γίνει 0. Ο ζητούμενος αριθμός προκύπτει παίρνοντας ανάποδα όλα τα υπόλοιπα των διαιρέσεων. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 10  Μετατροπές Από το δεκαδικό σύστημα σε οποιοδήποτε άλλο (2) Το δεκαδικό μέρος πολλαπλασιάζεται συνεχώς με τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλουμε να το μετατρέψουμε. Οποιοδήποτε ακέραιο μέρος παραχθεί κατά τον πολλαπλασιασμό, διαχωρίζεται πάλι από το κλασματικό μέρος (με βάση την παραπάνω λογική) και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Ο πολλαπλασιασμός σταματάει όταν φτάσουμε το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που θέλουμε ή όταν βρούμε κλασματικό μέρος 0. Ο κλασματικός αριθμός στο νέο σύστημα σχηματίζεται παίρνοντας όλα τα ακέραια μέρη όλων των πολλαπλασιασμών που κάναμε με φορά από τον πρώτο προς τον τελευταίο. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 11 Μετατροπές (ακέραιο μέρος) Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 12  Μετατροπές (δεκαδικό μέρος) (1) Από δεκαδικό σε δυαδικό του 0.25 (Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί με το 2): Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 13  Μετατροπές (δεκαδικό μέρος) (2) Από δεκαδικό σε δυαδικό του 0.41 (Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί με το 2): Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 14  Μετατροπές (δεκαδικό μέρος) (3) Από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό του 0.23 (Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί με το 16): Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 15  Μετατροπές – Παράγωγα συστήματα (1) Συστήματα που η βάση του ενός είναι η ύψωση σε δύναμη της βάσης ενός άλλου ονομάζονται παράγωγα συστήματα αρίθμησης. Παράδειγμα 1: το δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι παράγωγο του δυαδικού γιατί 24=16. Παράδειγμα 2: το οκταδικό σύστημα αρίθμησης είναι παράγωγο του δυαδικού γιατί 23=8 Παράδειγμα 3: το εννεαδικό σύστημα αρίθμησης είναι παράγωγο του τριαδικού γιατί 32=9. Κάθε ψηφίο του δεκαεξαδικού αριθμού μετατρέπεται αυτόνομα στο δυαδικό σύστημα (χρησιμοποιώντας 4 δυαδικά ψηφία) και έτσι προκύπτει ο δυαδικός αριθμός και αντίστροφα. Αντίστοιχα, κάθε ψηφίο του οκταδικού αριθμού μετατρέπεται αυτόνομα στο δυαδικό σύστημα (χρησιμοποιώντας 3 δυαδικά) και έτσι προκύπτει ο δυαδικός αριθμός και αντίστροφα. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 16 Μετατροπές – Δυαδικό  Οκταδικό Δυαδικό Οκταδικό Δυαδικό Οκταδικό 000 0 100 4 001 1 101 5 010 2 110 6 011 3 111 7 (633)8 = (1 1 0 0 1 1 0 1 1)2 6 3 3 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 Μετατροπές – Δυαδικό  Δεκαεξαδικό (1) 1 10=A 15=F Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 18 Μετατροπές – Δυαδικό  Δεκαεξαδικό (2) Από δυαδικό σε δεκαεξαδικό (1 0 1 1 1 1 1.0 1 1 0 1)2 Χωρίζουμε σε τετράδες από υποδιαστολή προς τα αριστερά (ακέραιο μέρος) και από υποδιαστολή προς τα δεξιά (δεκαδικό μέρος) (κατά περίπτωση προσθέτουμε μηδενικά) (1 0 1 1 1 1 1.0 1 1 0 1)2 = (5F.68)16 5 15=F 6 8 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 19  Ανακεφαλαίωση Αριθμητικά συστήματα: Βάσεις, ψηφία Το δεκαδικό, το δυαδικό και το δεκαεξαδικό σύστημα Μετατροπή από οποιοδήποτε σύστημα στο δεκαδικό Μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό (ακέραιο και δεκαδικό μέρος) Μετατροπή από το δεκαδικό στο δεκαεξαδικό (ακέραιο και δεκαδικό μέρος) Μετατροπές σε παράγωγα συστήματα Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 20 Το 0o517 (οκταδικό σύστημα) είναι στο δεκαεξαδικό σύστημα: ⓘ Start presenting to display the poll results on this slide. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 21  Πράξεις Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 22  Πρόσθεση Η πρόσθεση ανεξάρτητα από το αριθμητικό σύστημα γίνεται θεωρώντας το κάθε ζεύγος (μονοψήφιων) αριθμών που προστίθεται ως δεκαδικό αλλά το αποτέλεσμα της πράξης γράφεται πάντα στο σύστημα στο οποίο γίνεται η πράξη (με τη λογική του αποτελέσματος και του κρατουμένου που ισχύει και στο δεκαδικό σύστημα). Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 23 Πρόσθεση στο δυαδικό σύστημα (1) Πρόσθεση δυαδικών ψηφίων: Α + Β Κρατούμενο Αποτέλεσμα 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 24 Πρόσθεση στο δυαδικό σύστημα (2) Κρατούμενο Εισόδου Α Β Κρατούμενο εξόδου Αποτέλεσμα 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Παράδειγμα: 1ος Προσθετέος: 0 0 1 1 1 (7)10 2ος Προσθετέος: 0 1 0 1 0 (10)10 Άθροισμα: 1 0 0 0 1 (17)10 Κρατούμενο: 0 1 1 1 0 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 25  Αφαίρεση Στην αφαίρεση ξεκινάμε επίσης από δεξιά αφαιρώντας τα αντίστοιχα ψηφία των αριθμών. Σε κάθε βαθμίδα δημιουργείται ένα δανεικό (borrow) ψηφίο, το οποίο προστίθεται στο ψηφίο του αφαιρέτη της επόμενης βαθμίδας. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 26  Αφαίρεση στο δυαδικό σύστημα Δανεικό Εισόδου Α Β Δανεικό εξόδου Αποτέλεσμα 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Παράδειγμα: Αφαιρετέος: 1 1 0 0 (12)10 Αφαιρέτης: - 1 0 1 0 (10)10 Άθροισμα: 0 0 1 0 (2)10 Δανεικό Εισόδου: 0 1 0 0 Δανεικό Εξόδου: 0 0 1 0 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 27  Πολλαπλασιασμός Ο πολλαπλασιασμός γίνεται με διαδοχικές προσθέσεις. Κάθε ψηφίο του πολλαπλασιαστή πολλαπλασιάζεται με όλα τα ψηφία του πολλαπλασιαστέου και σχηματίζει ένα μερικό γινόμενο. Κάθε μερικό γινόμενο γράφεται κάτω από το προηγούμενο ολισθημένο κατά μία θέση προς τα αριστερά. Στη συνέχεια, προσθέτουμε ανά δύο τα μερικά γινόμενα. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 28  Πολλαπλασιασμός στο δυαδικό σύστημα 1110 1110 x 110 x 110 0000 μερικό 0000 γινόμενο 1 1110 μερικό γινόμενο 2 1110 1110 1110 x 110 x 110 x 110 0000 0000 11100 1110 + 1110 +1110 μερικό μερικό 1110 11100 1010100 γινόμενο 3 άθροισμα 1110 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 29  Διαίρεση (Παράδειγμα στο δυαδικό σύστημα) Η διαίρεση στο πραγματοποιείται με διαδοχικές αφαιρέσεις του διαιρέτη από το διαιρετέο. 11011 101 11011 101 11011 101 101 1 101 10 101 101 001 0011 00111 101 010 Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 30  Ανακεφαλαίωση - Πράξεις Γνωρίσαμε τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Οι πράξεις γίνονται με παρόμοιο τρόπο σε όλα τα συστήματα αρίθμησης. Ιωάννης Βογιατζής 16/11/2022 31 Απορίες? Ιωάννης Βογιατζής 2022-2023 32