यदि y = √(secx - 1)/(secx + 1) तो dy/dx का मान ज्ञात कीजिए।
Understand the Problem
यह प्रश्न हमें यह निर्दिष्ट करने का निर्देश देता है कि दिए गए समीकरण के अनुसार dy/dx का मान क्या है। यहाँ हमें एक विशिष्ट गणितीय समीकरण दिया गया है जो सेकंट फंक्शन से संबंधित है।
Answer
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}}} \cdot \frac{(\sec x + 1)(\sec x \tan x) - (\sec x - 1)(\sec x \tan x)}{(\sec x + 1)^2} $$
Answer for screen readers
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}}} \cdot \frac{(\sec x + 1)(\sec x \tan x) - (\sec x - 1)(\sec x \tan x)}{(\sec x + 1)^2} $$
Steps to Solve
- समीकरण को साधारण बनाना
हमारे पास समीकरण दिया गया है $y = \sqrt{\frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}}$। सबसे पहले, हम इसे अधिक सरल रूप में लिख सकते हैं।
- डेरिवेटिव के लिए नियम लागू करना
हम $y$ के लिए चेन नियम ($\frac{dy}{dx}$) का उपयोग करेंगे। चेन नियम का सूत्र है: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ जहाँ $u = \frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}$ होगा।
- यानी भाग की डेरिवेटिव निकालन
पहले हमें $u$ का डेरिवेटिव निकालना होगा: $$ u = \frac{\sec x - 1}{\sec x + 1} $$ इसके लिए, हम भाग का नियम ($\frac{d}{dx}\left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g \cdot f' - f \cdot g'}{g^2}$) का उपयोग करेंगे।
- फंक्शन और उसकी डेरिवेटिव्स को लिखना
हम $f = \sec x - 1$ और $g = \sec x + 1$ के लिए $f'$ और $g'$ निकालते हैं: $$ f' = \sec x \tan x, \quad g' = \sec x \tan x $$
- डेरिवेटिव को मिलाकर अंतिम नतीजा निकालना
अब हम $u$ के लिए डेरिवेटिव को प्राप्त करते हैं: $$ \frac{du}{dx} = \frac{(\sec x + 1)(\sec x \tan x) - (\sec x - 1)(\sec x \tan x)}{(\sec x + 1)^2} $$
- पूर्ण डेरिवेटिव को जोड़ना
फिर हम $y$ के लिए डेरिवेटिव की गणना करते हैं: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} $$
- सभी तत्वों को संक्षेप में जोड़ना
अब, सभी रखकर, अंतिम मान ज्ञात करते हैं।
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\sec x - 1}{\sec x + 1}}} \cdot \frac{(\sec x + 1)(\sec x \tan x) - (\sec x - 1)(\sec x \tan x)}{(\sec x + 1)^2} $$
More Information
यह उत्तर चेन नियम और भाग के नियम का उपयोग करके प्राप्त किया गया है। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब आप कठिन फंक्शन्स की डेरिवेटिव निकालते हैं।
Tips
- डेरिवेटिव निकालते समय चेन नियम का सही उपयोग नहीं करना।
- भाग के नियम का अनुप्रयोग गलत तरीके से करना।
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