设二维随机变量(X, Y)的联合密度函数f(x, y)={21/4 * x^2 * y, 0 ≤ x^2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; 其他地方为0}，分别求X和Y的边际密度。

Steps to Solve

1. 定义边际密度函数 边际密度函数是通过对联合概率密度函数进行积分得到的。对于随机变量 $X$ 和 $Y$，其边际密度函数分别为：

• $f_X(x) = \int f(x, y) , dy$
• $f_Y(y) = \int f(x, y) , dx$

2. 求 $X$ 的边际密度函数 根据给定的联合密度函数 $f(x, y)$，我们对 $y$ 从 $0$ 积分到 $1$： $$ f_X(x) = \int_0^1 f(x, y) , dy = \int_0^1 \left(\frac{21}{4} x^2 y\right) , dy $$ 计算积分： $$ f_X(x) = \frac{21}{4} x^2 \int_0^1 y , dy $$ $$ = \frac{21}{4} x^2 \cdot \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 = \frac{21}{4} x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{21}{8} x^2 $$ 注意范围是 $0 \leq x^2 \leq 1$。

3. 求 $Y$ 的边际密度函数 同样，我们对 $x$ 从 $0$ 积分到 $1$，需要先写出 $f(x, y)$ 的表达式： $$ f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} f(x, y) , dx = \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} \left(\frac{21}{4} x^2 y\right) , dx $$ 积分计算： $$ f_Y(y) = \frac{21}{4} y \int_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} x^2 , dx $$ $$ = \frac{21}{4} y \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\sqrt{1}}^{\sqrt{1}} = \frac{21}{4} y \cdot \left(\frac{(1)^{3}}{3} - \frac{(-1)^{3}}{3}\right) $$ $$ = \frac{21}{4} y \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{21}{4} y \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{6} y $$ 注意这里的范围是 $0 \leq y \leq 1$。