∫(x-5)√(x²+x) dx का मान ज्ञात कीजिए

Steps to Solve

1. समाकलन को विभाजित करें $ (x-5)\sqrt{x^2 + x} $ को $ x\sqrt{x^2 + x} - 5\sqrt{x^2 + x} $ के रूप में विभाजित करें, ताकि समाकलन को दो भागों में तोड़ा जा सके।

$$ \int (x-5)\sqrt{x^2+x} dx = \int x\sqrt{x^2+x} dx - \int 5\sqrt{x^2+x} dx $$

2. पहले समाकलन को हल करें $ \int x\sqrt{x^2+x} dx $ को हल करने के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। $ u = x^2 + x $ मान लें, तो $ du = (2x + 1) dx $ होगा। $ x dx $ के लिए हल करें: $ x dx = \frac{1}{2} (du - dx) $ तो, $ \approx \int x\sqrt{x^2 + x} dx = \frac{1}{3} (x^2 + x)^{3/2} + C_1 $

3. दूसरे समाकलन को हल करें $ \int 5\sqrt{x^2+x} dx $ को हल करने के लिए, पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें। $ x^2 + x $ को $ (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} $ के रूप में लिखें।

$$ 5\int \sqrt{ (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 } dx $$

अब त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करें: $ x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec(\theta) $, इसलिए $ dx = \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta $

$$ 5\int \sqrt{ \frac{1}{4}\sec^2(\theta) - \frac{1}{4} } \frac{1}{2} \sec(\theta) \tan(\theta) d\theta$$ $$ \frac{5}{4} \int \tan^2(\theta) \sec(\theta) d\theta = \frac{5}{4} \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta)) d\theta $$

यह समाकलन थोड़ा जटिल है, लेकिन हम इसे हल कर सकते हैं। समाकलन के बाद, हमें वापस $ x $ में बदलना होगा। $ \approx 5 \left[ \frac{2x+1}{4} \sqrt{x^2+x} - \frac{1}{8} \ln|2x+1 + 2\sqrt{x^2+x}| \right] + C_2 $

4. परिणामों को संयोजित करें दोनों भागों को मिलाकर, हम समाकलन का मान ज्ञात कर सकते हैं।

$$ \int (x-5)\sqrt{x^2+x} dx = \frac{1}{3} (x^2 + x)^{3/2} - 5 \left[ \frac{2x+1}{4} \sqrt{x^2+x} - \frac{1}{8} \ln|2x+1 + 2\sqrt{x^2+x}| \right] + C $$ $$ = \frac{1}{3} (x^2 + x)^{3/2} - \frac{5(2x+1)}{4} \sqrt{x^2+x} + \frac{5}{8} \ln|2x+1 + 2\sqrt{x^2+x}| + C $$