Wie lautet der Wert der Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen? 1 + 2 + ... + 6?

Steps to Solve

1. Aufgabe 12: Verdopplung der Funktion bestimmen

Die Funktion ist gegeben durch $y(t) = 5 \cdot 2^{t/3}$. Um den Zeitpunkt zu finden, an dem sich $y$ verdoppelt, setzen wir $y(t) = 2 \cdot y(0)$, woraus folgt:

$$ 5 \cdot 2^{t/3} = 2 \cdot 5 \implies 2^{t/3} = 2 $$

2. Gleichung umformen

Nun teilen wir durch 5 und lösen für $t$:

$$ 2^{t/3} = 2^1 \implies \frac{t}{3} = 1 \implies t = 3 $$

3. Ergebnis prüfen

Jetzt überprüfen wir, ob $t = 3$ korrekt ist, indem wir die ursprüngliche Funktion einsetzen:

$$ y(3) = 5 \cdot 2^{3/3} = 5 \cdot 2 = 10 $$

Da $y(0) = 5$, ist $2 \cdot y(0) = 10$, was korrekt ist.

4. Aufgabe 13: Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen

Die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen ist gegeben durch die Formel:

$$ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $$

Für $n = 6$:

$$ S_6 = \frac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = \frac{6 \cdot 7}{2} = 21 $$

5. Aufgabe 14: Produkt der binomischen Formeln

Hier ist die Gleichung gegeben:

$$(a + \ldots)^2 = a^2 + \ldots$$

Das Produkt der fehlenden Einträge bezieht sich auf die Binomische Formel:

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

Das Produkt ist also $2ab$. Es fehlt $b^2$.

6. Aufgabe 15: Summe der Nullstellen der Parabel

Die Parabel ist gegeben durch die Funktion $y = x^2 - 5x + 4$. Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Gleichung gleich 0:

$$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$

Wir verwenden die Mitternachtsformel:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} $$

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \implies x = \frac{5 \pm 3}{2} $$

Dies gibt die Nullstellen $x_1 = 4$ und $x_2 = 1$. Die Summe der Nullstellen ist:

$$ S = x_1 + x_2 = 4 + 1 = 5 $$