Von einer arithmetischen Reihe seien folgende Daten bekannt: a_1 = 3 1/3, d = 1 1/3, S_n = 448. Bestimmen Sie n und a_n.

Steps to Solve

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in Brüche

Zuerst müssen wir die gemischten Zahlen in Brüche umwandeln.

Für $a_1 = 3 \frac{1}{3}$ haben wir: $$ a_1 = \frac{10}{3} $$

Für $d = 1 \frac{1}{3}$ haben wir: $$ d = \frac{4}{3} $$

2. Formel für die Summe einer arithmetischen Reihe

Die Formel für die Summe einer arithmetischen Reihe ist: $$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d) $$

Wir setzen die bekannten Werte in die Gleichung ein: $$ 448 = \frac{n}{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{10}{3} + (n - 1) \cdot \frac{4}{3}\right) $$

3. Umstellung der Gleichung

Multiplizieren wir beide Seiten mit 2, um die Brüche zu beseitigen: $$ 896 = n \cdot \left(2 \cdot \frac{10}{3} + (n - 1) \cdot \frac{4}{3}\right) $$

Vereinfachen wir den Klammerausdruck: $$ 896 = n \cdot \left(\frac{20}{3} + \frac{4n - 4}{3}\right) $$

$$ 896 = n \cdot \frac{4n + 16}{3} $$

4. Multiplikation beider Seiten mit 3

Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 3: $$ 2688 = n(4n + 16) $$

5. Umformung zur quadratischen Gleichung

Nun formen wir die Gleichung um: $$ 4n^2 + 16n - 2688 = 0 $$

6. Quadratische Gleichung lösen

Wir können die Gleichung mit der Mitternachtsformel lösen: $$ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Hier gilt $a = 4, b = 16, c = -2688$.

Einsetzen: $$ n = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2688)}}{2 \cdot 4} $$

Berechnung des diskriminanten Wertes und der Lösung: $$ n = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 43008}}{8} $$

$$ n = \frac{-16 \pm \sqrt{43264}}{8} $$

7. Berechnung von n und a_n

Wir berechnen $n$ und wählen den positiven Wert:

$$ n \approx 24 $$

Nun berechnen wir $a_n$: $$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

Setzen wir die Werte ein: $$ a_n = \frac{10}{3} + (24 - 1) \cdot \frac{4}{3} $$

$$ a_n = \frac{10}{3} + 23 \cdot \frac{4}{3} $$

$$ a_n = \frac{10 + 92}{3} = \frac{102}{3} = 34 $$