Un oficial del ejército visualiza, con un ángulo de elevación de 30°, la bandera izada de su batallón. Por ello se detiene y para firme, luego camina 10 m en línea recta hacia la a... Un oficial del ejército visualiza, con un ángulo de elevación de 30°, la bandera izada de su batallón. Por ello se detiene y para firme, luego camina 10 m en línea recta hacia la asta, se detiene nuevamente para mirar a la bandera y darle saludo militar. El ángulo de elevación de su mirada en este punto es el doble que cuando la miró inicialmente. Se desea saber a qué distancia se encuentra del pie de la asta.
Understand the Problem
La pregunta se refiere a un problema de trigonometría donde un oficial visualiza una bandera desde dos posiciones diferentes, y se requiere determinar la distancia desde el pie del asta de la bandera hasta el punto donde se encontraba el oficial al principio. Se utilizan los ángulos de elevación proporcionados en las dos posiciones para resolver el problema.
Answer
La distancia es $15 \, \text{m}$.
Answer for screen readers
La distancia desde el pie del asta de la bandera hasta el punto donde se encontraba el oficial inicialmente es $15 , \text{m}$.
Steps to Solve
- Identificar la situación inicial
El oficial observa la bandera a un ángulo de elevación de $30^\circ$. Usamos la tangente para encontrar la altura de la bandera (h) respecto a la distancia inicial del oficial (d).
La relación es: $$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$
- Calcular la altura de la bandera
Sabemos que $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Así que podemos reescribir la ecuación: $$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} $$ De esto, despejamos la altura: $$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} $$
- Situación después de caminar 10 m
El oficial camina 10 m hacia el asta, así que la nueva distancia es $d - 10$. El nuevo ángulo de elevación es $60^\circ$ (el doble de $30^\circ$).
Usamos la tangente nuevamente: $$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{d - 10} $$
- Calcular la relación con el nuevo ángulo
Sabemos que $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. Entonces: $$ \sqrt{3} = \frac{h}{d - 10} $$
- Sustituir la altura de la bandera
Sustituyendo la expresión de h que obtuvimos antes: $$ \sqrt{3} = \frac{\frac{d}{\sqrt{3}}}{d - 10} $$
- Resolver para d
Multiplicamos ambos lados por $(d - 10)$: $$ \sqrt{3}(d - 10) = \frac{d}{\sqrt{3}} $$
Multiplicamos todo por $\sqrt{3}$ para eliminar el denominador: $$ 3(d - 10) = d $$ $$ 3d - 30 = d $$ $$ 2d = 30 $$
Finalmente: $$ d = 15 $$
La distancia desde el pie del asta de la bandera hasta el punto donde se encontraba el oficial inicialmente es $15 , \text{m}$.
More Information
La resolución de este problema combina el uso de la trigonometría y las relaciones de tangentes. El ángulo de elevación inicial y la caminata del oficial crean un sistema que se puede resolver mediante sustituciones.
Tips
- Olvidar convertir correctamente los ángulos a sus funciones trigonométricas correspondientes.
- No prestar atención al cambio de la distancia al caminar hacia el asta.
- Confundir las relaciones de las alturas y distancias al aplicar las funciones trigonométricas.
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