Un fil cylindrique est étiré de telle sorte que sa longueur est doublée. Si le fil conserve sa forme cylindrique, par quel facteur change la résistance du fil ?
Understand the Problem
La question porte sur la modification de la résistance d'un fil cylindrique lorsque sa longueur est doublée, tout en conservant sa forme cylindrique. Il faut déterminer le facteur par lequel la résistance change.
Answer
La résistance est multipliée par 4.
Answer for screen readers
La résistance est multipliée par un facteur de 4.
Steps to Solve
- Rappel de la formule de la résistance
La résistance $R$ d'un fil est donnée par la formule:
$R = \rho \frac{L}{A}$
où $\rho$ est la résistivité du matériau, $L$ est la longueur du fil, et $A$ est l'aire de la section transversale du fil.
- Calcul du nouveau volume
Comme le volume du fil reste constant, on a $V = A_1 L_1 = A_2 L_2$, où $A_1$ et $L_1$ sont l'aire et la longueur initiales, et $A_2$ et $L_2$ sont l'aire et la longueur finales.
- Détermination de la nouvelle longueur
On sait que la nouvelle longueur est le double de la longueur initiale, donc $L_2 = 2L_1$.
- Calcul de la nouvelle aire
Comme le volume reste constant, $A_1 L_1 = A_2 L_2 = A_2 (2L_1)$. On peut donc trouver $A_2$ en fonction de $A_1$:
$A_2 = \frac{A_1 L_1}{2 L_1} = \frac{A_1}{2}$
- Calcul de la nouvelle résistance
La nouvelle résistance $R_2$ est donnée par:
$R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2} = \rho \frac{2L_1}{A_1/2} = \rho \frac{2L_1 \cdot 2}{A_1} = 4 \rho \frac{L_1}{A_1} = 4 R_1$
Ainsi, la nouvelle résistance est 4 fois la résistance initiale.
La résistance est multipliée par un facteur de 4.
More Information
La résistance d'un fil dépend directement de sa longueur et inversement de son aire de section transversale. Lorsque la longueur est doublée, mais que le volume reste constant, l'aire de la section transversale est réduite de moitié. Cela entraîne une augmentation de la résistance d'un facteur de 4.
Tips
- Oublier que le volume du fil reste constant, ce qui signifie que l'aire de la section transversale change lorsque la longueur change.
- Ne pas substituer correctement les nouvelles valeurs de longueur et d'aire dans la formule de la résistance.
- Penser que seule la longueur affecte la résistance sans considérer l'impact sur l'aire de la section transversale.
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