Uma corda homogênea de massa M e comprimento L está na vertical, sua extremidade inferior está presa a um bloco de massa m e sua extremidade superior está sendo puxada para cima so... Uma corda homogênea de massa M e comprimento L está na vertical, sua extremidade inferior está presa a um bloco de massa m e sua extremidade superior está sendo puxada para cima sob a ação de uma força desconhecida. (a) Faça os diagramas de corpo livre para a corda e para o bloco. (b) Calcule essa força sabendo que a aceleração do sistema está apontada para cima e tem magnitude a. (c) Calcule a tração na corda no seu ponto médio e na sua extremidade inferior. As quantidades conhecidas são M, m, L e a (além de g, obviamente).
Understand the Problem
A pergunta envolve a análise de um sistema físico com uma corda e um bloco. A tarefa consiste em (a) fazer diagramas de corpo livre para ambos, (b) calcular a força relacionada à aceleração do sistema e (c) calcular a tração na corda em dois pontos específicos. Isso implica na aplicação de conceitos de dinâmica e estática.
Answer
A força é $F = (m + M)(a + g)$, a tração na extremidade inferior é $T_{inf} = M(a + g)$, e a tração no ponto médio é $T_{mid} = M\left(a + \frac{g}{2}\right)$.
Answer for screen readers
A força que puxa a corda é dada por:
$$ F = (m + M)(a + g) $$
A tração na extremidade inferior da corda é:
$$ T_{inf} = M(a + g) $$
A tração no ponto médio é:
$$ T_{mid} = M\left(a + \frac{g}{2}\right) $$
Steps to Solve
- Diagrama de Corpo Livre do Bloco
Para o bloco de massa $m$, as forças que atuam nele são a sua pesada (peso) e a tração $T$ na corda. O diagrama de corpo livre mostra:
- Força do peso: $P_b = mg$, para baixo.
- Tração na corda: $T$, para cima.
As forças se resumem na seguinte equação de movimento, considerando a aceleração $a$:
$$ T - mg = ma $$
- Diagrama de Corpo Livre da Corda
Para a corda de massa $M$, as forças também incluem seu peso e a tração em ambos os extremos. Consideramos um segmento infinitesimal da corda para calcular a tração.
Suponha que a tração na parte superior da corda seja $T_{sup}$ e na parte inferior seja $T_{inf}$:
- Força para baixo: $P_c = \frac{M}{L} \cdot g \cdot x$, onde $x$ é a distância do diagrama até um ponto específico.
- Força para cima: $T_{sup}$.
A equação de movimento para um segmento de corda no ponto médio, onde sua aceleração é igual à do sistema, é:
$$ T_{inf} - T_{sup} = M \cdot a $$
- Cálculo da Força $F$
O próximo passo é encontrar a força $F$ que puxa a corda. Combinando as duas equações anteriores, teremos:
- Da equação do bloco, temos
$$ T = ma + mg $$
- Para a corda, substituindo na segunda equação, temos:
$$ T_{inf} - T_{sup} = Ma $$
Fazendo a aproximação que $T_{sup}$ se anula quando $L$ tende a zero, resulta:
$$ T_{inf} = M(a + g) $$
Assim, substituindo:
$$ F = T_{sup} + Mg $$
- Tração no Ponto Médio e na Extremidade Inferior
Para encontrar a tração na corda, precisamos calcular a tração $T_{mid}$ no ponto médio. A tração no meio da corda é dada pela média do que se tem na extremidade superior e inferior. A equação a ser usada é:
$$ T_{mid} = T_{inf} - \frac{M}{2} \cdot g $$
Portanto, usando as equações:
- Tração na extremidade inferior:
$$ T_{inf} = M(a + g) $$
- Tração no ponto médio:
$$ T_{mid} = M(a + g) - \frac{M}{2}g = M\left(a + \frac{g}{2}\right) $$
A força que puxa a corda é dada por:
$$ F = (m + M)(a + g) $$
A tração na extremidade inferior da corda é:
$$ T_{inf} = M(a + g) $$
A tração no ponto médio é:
$$ T_{mid} = M\left(a + \frac{g}{2}\right) $$
More Information
Nessa análise, consideramos a dinâmica de um sistema envolvendo uma força aplicada, uma corda e um bloco. A abordagem inclui o uso de leis de Newton para solucionar o problema, além da análise das forças em sistemas em equilíbrio e movimento. Também se pode notar como a gravidade afeta a tensão em cada ponto da corda.
Tips
- Negligenciar a massa da corda: Frequentemente, os estudantes podem simplificar o problema ignorando a massa da corda, o que resulta em cálculos incorretos da tração.
- Confundir direção das forças: É comum cometer erros ao desenhar os diagramas de corpo livre, principalmente ao indicar as direções das forças.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
