Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;3) và C(-2;6;-3). Tính h(a+b-c) với (a;b;c) là tọa độ của AM.

Steps to Solve

1. Định nghĩa tọa độ các điểm A, B, C

Cho các điểm A, B, C như sau:

• Điểm A có tọa độ ( A(2, -1, 3) )
• Điểm B có tọa độ ( B(0, 7, 5) )
• Điểm C có tọa độ ( C(-2, 6, -3) )

2. Tính độ dài đoạn thẳng AB

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng giữa hai điểm trong không gian: [ d_{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} ]

Áp dụng vào tọa độ: [ d_{AB} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (7 - (-1))^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (8)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} ]

3. Tính độ dài đoạn thẳng AC

Áp dụng công thức tương tự cho đoạn thẳng AC: [ d_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2} ] [ d_{AC} = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - (-1))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (7)^2 + (-6)^2} ] [ d_{AC} = \sqrt{16 + 49 + 36} = \sqrt{101} ]

4. Sử dụng tỷ lệ BM = 2MC

Theo đề bài, cho M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho ( BM = 2MC ). Điều này có nghĩa là ( \frac{BM}{MC} = 2 ), tức là M chia đoạn BC theo tỉ lệ 2:1.

5. Tính tọa độ điểm M

Sử dụng công thức tìm tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ: [ M = \left( \frac{2x_C + x_B}{2 + 1}, \frac{2y_C + y_B}{2 + 1}, \frac{2z_C + z_B}{2 + 1} \right) ]

Tính tọa độ M: [ M = \left( \frac{2(-2) + 0}{3}, \frac{2(6) + 7}{3}, \frac{2(-3) + 5}{3} \right) ] [ = \left( \frac{-4}{3}, \frac{12 + 7}{3}, \frac{-6 + 5}{3} \right) = \left( -\frac{4}{3}, \frac{19}{3}, -\frac{1}{3} \right) ]

6. Tính dấu hiệu ( a + b - c )

Cuối cùng, tính ( a + b - c ) từ tọa độ M:

• ( a = -\frac{4}{3} )
• ( b = \frac{19}{3} )
• ( c = -\frac{1}{3} )

Tính: [ a + b - c = -\frac{4}{3} + \frac{19}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{3} + \frac{19}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} ]