Suponha que depositou uma quantia q, em euros, num depósito em regime de juros compostos, com taxa anual de 2% e capitalização semestral. Sabendo que ao fim de 8 anos o capital acu... Suponha que depositou uma quantia q, em euros, num depósito em regime de juros compostos, com taxa anual de 2% e capitalização semestral. Sabendo que ao fim de 8 anos o capital acumulado é de 10 000 €, qual das seguintes expressões permite calcular o capital inicial depositado?
Understand the Problem
A questão pede para calcular o capital inicial depositado, dado um montante acumulado ao fim de 8 anos com juros compostos a uma taxa anual de 2% e capitalização semestral. Precisamos usar a fórmula de juros compostos para encontrar a expressão correta entre as opções apresentadas.
Answer
$$ q = \frac{10.000}{1,01^{16}} $$
Answer for screen readers
A expressão que permite calcular o capital inicial depositado é: $$ q = \frac{10.000}{1,01^{16}} $$
Steps to Solve
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Identificar os parâmetros
O capital acumulado ao fim de 8 anos é de 10.000 €, a taxa de juros é de 2% ao ano, e a capitalização é semestral. Portanto, precisamos ajustar a taxa e o número de períodos para o cálculo. -
Calcular a taxa e o número de períodos
A taxa semestral é a metade da taxa anual: $$ r = \frac{2%}{2} = 1% = 0,01 $$
O total de períodos de capitalização em 8 anos, com capitalização semestral, é: $$ n = 8 \text{ anos} \times 2 = 16 \text{ semestres} $$
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Utilizar a fórmula de juros compostos
A fórmula de juros compostos é dada por: $$ A = P(1 + r)^n $$ onde ( A ) é o montante acumulado, ( P ) é o capital inicial ( q ), ( r ) é a taxa de juros, e ( n ) é o número de períodos. Substituindo os valores conhecidos: $$ 10.000 = q(1 + 0,01)^{16} $$ -
Isolar o capital inicial
Para encontrar a expressão de ( q ), isolamos ( q ) na fórmula: $$ q = \frac{10.000}{(1 + 0,01)^{16}} $$ -
Simplificar a expressão
Substituindo a taxa na expressão: $$ q = \frac{10.000}{1,01^{16}} $$
A expressão que permite calcular o capital inicial depositado é: $$ q = \frac{10.000}{1,01^{16}} $$
More Information
A fórmula de juros compostos é amplamente utilizada em finanças para calcular o crescimento de investimentos ao longo do tempo. A capitalização semestral significa que os juros são calculados e adicionados duas vezes por ano.
Tips
- Confundir a taxa de juros: Não multiplicar a taxa anual por 2 para obter a taxa semestral.
- Errar no número de períodos: Não considerar que 8 anos correspondem a 16 semestres.
- Negligenciar o arredondamento: Embora não influencie na expressão matemática, é importante ser consistente no tratamento de casas decimais.
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