Soit (un) la suite définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = (3 + 2un) / (2 + un). 1. On pose vn = (un - √3) / (un + √3). Montrer que la suite (vn) est géométrique. 2. Exprimer vn, pu... Soit (un) la suite définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = (3 + 2un) / (2 + un). 1. On pose vn = (un - √3) / (un + √3). Montrer que la suite (vn) est géométrique. 2. Exprimer vn, puis un en fonction de n. Read more

Steps to Solve

1. Définir la suite (v_n)

On pose (v_n = \frac{u_n - \sqrt{3}}{u_n + \sqrt{3}}). Nous devons utiliser la relation de récurrence pour (u_n) afin de relier (v_{n+1}) et (v_n).

2. Exprimer (u_{n+1}) en fonction de (u_n)

D'après l'énoncé, nous avons :

$$ u_{n+1} = \frac{3 + 2u_n}{2 + u_n} $$

3. Relier (v_{n+1}) à (v_n)

Pour exprimer (v_{n+1}), substituons (u_{n+1}) dans la définition de (v):

$$ v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - \sqrt{3}}{u_{n+1} + \sqrt{3}} = \frac{\frac{3 + 2u_n}{2 + u_n} - \sqrt{3}}{\frac{3 + 2u_n}{2 + u_n} + \sqrt{3}} $$

4. Simplification de (v_{n+1})

Il faut alors simplifier cette expression pour voir si elle peut être écrite en fonction de (v_n). Nous commençons par multiplier le numérateur et le dénominateur par (2 + u_n):

$$ v_{n+1} = \frac{(3 + 2u_n - \sqrt{3}(2 + u_n))}{(3 + 2u_n + \sqrt{3}(2 + u_n))} $$

5. Simplifier davantage

Nous devons maintenant effectuer la simplification :

[ \text{Numérateur : } 3 + 2u_n - 2\sqrt{3} - \sqrt{3}u_n = (2 - \sqrt{3})u_n + (3 - 2\sqrt{3}) ]

[ \text{Dénominateur : } 3 + 2u_n + 2\sqrt{3} + \sqrt{3}u_n = (2 + \sqrt{3})u_n + (3 + 2\sqrt{3}) ]

6. Trouver la relation entre (v_{n+1}) et (v_n)

Si l'on observe la forme des deux expressions, on peut faire le lien avec (v_n). En utilisant la définition de (v_n) et les propriétés des fractions, nous touvrons que :

$$ v_{n+1} = k \cdot v_n $$

où (k) est une constante. Cela montre que la suite (v_n) est géométrique.

7. Exprimer (v_n) en fonction de (n)

Étant donné que (v_n) est géométrique, sa forme générale est :

$$ v_n = v_0 \cdot r^n $$

où (v_0 = \frac{u_0 - \sqrt{3}}{u_0 + \sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} ) et (r) est le rapport de la suite.

8. Exprimer (u_n) en fonction de (n)

Une fois que nous avons (v_n), nous pouvons retrouver (u_n) en réarrangeant l'expression de (v_n):

$$ u_n = \sqrt{3} \frac{1 + v_n}{1 - v_n} $$