Soit epsilon > 0, montrer qu'il existe n0 dans N tel que : pour tout n dans N, n >= n0 implique que un+1/un <= l + epsilon. Soit (vn)n dans N et (wn)n dans N deux suites numériques... Soit epsilon > 0, montrer qu'il existe n0 dans N tel que : pour tout n dans N, n >= n0 implique que un+1/un <= l + epsilon. Soit (vn)n dans N et (wn)n dans N deux suites numériques. On suppose que lim vn = l et il existe n1 dans N tel que pour tout n dans N, n >= n1, on a |vn| <= |wn| <= un+1/un. Montrer que lim |wn| = l.
Understand the Problem
La question concerne des suites numériques et demande de démontrer certaines propriétés des limites. La première partie demande de montrer qu'il existe un n0 tel que pour tous les n supérieurs ou égaux à n0, une certaine inégalité est satisfaite. La deuxième partie se concentre sur deux suites et demande de montrer que la limite d'une des suites est égale à une certaine valeur l.
Answer
Pour la première partie, il existe $n_0$ tel que $u_{n+1} \leq l + \epsilon$. Pour la seconde partie, $\lim_{n \to +\infty} |w_n| = l$.
Answer for screen readers
Pour la première partie, il existe un $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_{n+1} \leq l + \epsilon$. Pour la seconde partie, on a montré que $\lim_{n \to +\infty} |w_n| = l$.
Steps to Solve
- Introduction de l'inégalité pour la première partie
On suppose que $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$. Selon la définition de la limite, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$,
$$ \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} - l \right| < \epsilon. $$
Cela signifie que
$$ l - \epsilon < \frac{u_{n+1}}{u_n} < l + \epsilon. $$
- Application de l'inégalité
Pour établir l'inégalité suivante $u_{n+1} \leq l + \epsilon$, nous choisissons $\epsilon$ suffisamment petit pour garantir que $l - \epsilon > 0$ (car $l \in \mathbb{R}^*_+$). Ainsi, dans la situation où $l - \epsilon > 0$, nous avons
$$ u_{n+1} < (l + \epsilon) u_n $$
pour $n \geq n_0$. Cela implique que pour $n \geq n_0$,
$$ u_{n+1} \leq l + \epsilon. $$
- Preuve de la seconde partie
Ensuite, pour montrer la deuxième partie, supposons que $|v_n| \leq |w_n|$ pour tous les $n \geq n_1$. Nous savons que $\lim_{n \to +\infty} v_n = l$.
Si nous posons $M_n = \frac{u_{n+1}}{u_n}$, alors par la condition donnée,
$$ |v_n| \leq |w_n| \leq \frac{u_{n+1}}{u_n}. $$
- Convergence des suites
En utilisant les limites, pour $n \to +\infty$, nous avons $|w_n|$ asymptotiquement équivalent à $|v_n|$, donc
$$ \lim_{n \to +\infty} |w_n| = l. $$
Cela prouve que $\lim_{n \to +\infty} |w_n| = l.$
Pour la première partie, il existe un $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $u_{n+1} \leq l + \epsilon$. Pour la seconde partie, on a montré que $\lim_{n \to +\infty} |w_n| = l$.
More Information
Ce problème traite de la convergence des suites numériques et de l'application des propriétés de limites. Il exploite la définition de la limite et le principe de l'encadrement pour établir des résultats significatifs sur les suites.
Tips
- Ne pas choisir $\epsilon$ suffisamment petit pour garantir que $l - \epsilon > 0$.
- Ignorer que l'encadrement $|v_n| \leq |w_n|$ implique des limites équivalentes.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
