Sejam as afirmações: I) A equação \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - z^2 = 0 \) representa um elipsóide. II) Os traços \( x = 0, y = 0 \) e \( z = 0 \) da superfície \( \frac{x^2}{... Sejam as afirmações: I) A equação \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - z^2 = 0 \) representa um elipsóide. II) Os traços \( x = 0, y = 0 \) e \( z = 0 \) da superfície \( \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{36} = \frac{z}{225} \) são, respectivamente, parábola, parábola e um par de retas. III) Todas as seções \( z = k \) da superfície \( 4x^2 + 25y^2 - z^2 = 100 \) são elipses. Marque a alternativa correta: Escolha uma opção: a. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. b. Apenas a afirmação II é verdadeira. c. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. d. Apenas a afirmação I é verdadeira. e. Todas as afirmações são verdadeiras. Read more

Steps to Solve

1. Análise da Primeira Afirmativa A equação dada é

$$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - z^2 = 0. $$

Para identificar se essa equação representa um elipsóide, reorganizamos como

$$ z^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}. $$

Essa é a forma padrão de um elipsóide, e portanto a primeira afirmação é verdadeira.

2. Análise da Segunda Afirmativa Os traços dados são:

• $x = 0$
• $y = 0$
• $z = 0$

Substituindo estes traços na equação da superfície

$$ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{36} = \frac{z}{225}, $$

analisamos:

• Para $x = 0$: $\frac{-y^2}{36} = \frac{z}{225}$ (parábola).
• Para $y = 0$: $\frac{x^2}{2} = \frac{z}{225}$ (parábola).
• Para $z = 0$: $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{36} = 0$, que se reescreve como hipérbole.

Logo, a segunda afirmativa é falsa.

3. Análise da Terceira Afirmativa As seções na superfície

$$ 4x^2 + 25y^2 - z^2 = 100 $$

são dadas por $z = k$:

$$ 4x^2 + 25y^2 = 100 + k^2. $$

Reorganizando:

$$ \frac{x^2}{\frac{100 + k^2}{4}} + \frac{y^2}{\frac{100 + k^2}{25}} = 1. $$

Para que isso represente elipses, $100 + k^2 > 0$, o que é sempre verdade. Portanto, a terceira afirmativa é verdadeira.