Sejam as afirmações: I) A equação 3x² + 16y² + 4z² = 2 representa um elipsóide. II) Os traços x = 0, y = 0 e z = 0 da superfície x²/4 - y²/9 - z² = 0 são, respectivamente, parábola... Sejam as afirmações: I) A equação 3x² + 16y² + 4z² = 2 representa um elipsóide. II) Os traços x = 0, y = 0 e z = 0 da superfície x²/4 - y²/9 - z² = 0 são, respectivamente, parábola, par de retas e um ponto. III) Todas as seções z = k da superfície 4x² + 25y² + z² = 100 são elipses. Marque a alternativa correta: Read more

Steps to Solve

1. Análise da primeira afirmação

Verificamos se a equação $3x^2 + 16y^2 + 4z^2 = 2$ representa um elipsoide. Para que uma equação represente um elipsoide, deve ter a forma $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$. Reescrevendo a equação, temos:

$$ \frac{3x^2}{2} + \frac{16y^2}{2} + \frac{4z^2}{2} = 1 $$

Isso não está na forma desejada (tem que ser cada um dos termos dividido por um valor positivo). Portanto, a afirmação I é falsa.

2. Análise da segunda afirmação

Para os traços $x=0$, $y=0$ e $z=0$ na superfície dada por

$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} - z^2 = 0 $$

Substituindo $x=0$ temos:

$$ -\frac{y^2}{9} - z^2 = 0 \implies z^2 = -\frac{y^2}{9} \text{ (não possuiSol)} $$

Substituindo $y=0$:

$$ \frac{x^2}{4} - z^2 = 0 \implies z^2 = \frac{x^2}{4} \text{ (hipérbole 2D)} $$

Substituindo $z=0$:

$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 0 \text{ (hipérbole 2D)} $$

A afirmação II é falsa.

3. Análise da terceira afirmação

A equação

$$ 4x^2 + 25y^2 + z^2 = 100 $$

podemos reescrever para seções do tipo elipse da forma:

$$ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{100} = 1 $$

Logo, todas as seções $z=k$ serão elipses. Assim, a afirmação III é verdadeira.

4. Conclusão

De acordo com a análise das afirmações:

• I: Falsa
• II: Falsa
• III: Verdadeira

A alternativa correta é a opção e: Apenas a afirmação II é verdadeira.