Sabendo que f'(x) = x cos(x/4) y f(0) = 0, calcule f(π).

Steps to Solve

1. Integrar la derivada

Para encontrar la función original $f(x)$, integramos la derivada $f'(x) = x \cos\left(\frac{x}{4}\right)$. La integral se plantea como:

$$ f(x) = \int f'(x) , dx = \int x \cos\left(\frac{x}{4}\right) , dx $$

2. Usar integración por partes

Utilizamos la integración por partes donde:

• Sea $u = x \Rightarrow du = dx$
• Sea $dv = \cos\left(\frac{x}{4}\right)dx \Rightarrow v = 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right)$ (integrando $dv$)

Entonces, aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$ \int u , dv = uv - \int v , du $$

Sustituyendo, obtenemos:

$$ f(x) = x \cdot 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) - \int 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) , dx $$

3. Integrar el segundo término

Ahora integramos el segundo término:

$$ \int 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) , dx = -16 \cos\left(\frac{x}{4}\right) $$

4. Combinar resultados

Ahora combinamos nuestros resultados:

$$ f(x) = 4x \sin\left(\frac{x}{4}\right) + 16 \cos\left(\frac{x}{4}\right) + C $$

5. Usar la condición inicial

Utilizamos la condición inicial $f(0) = 0$ para encontrar $C$:

$$ f(0) = 4(0) \sin(0) + 16 \cos(0) + C = 16 + C = 0 \Rightarrow C = -16 $$

Por lo tanto, la función es:

$$ f(x) = 4x \sin\left(\frac{x}{4}\right) + 16 \cos\left(\frac{x}{4}\right) - 16 $$

6. Calcular $f(\pi)$

Finalmente, evaluamos $f(\pi)$:

$$ f(\pi) = 4\pi \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 16 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 16 $$

Sabemos que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Por lo que sustituyendo los valores, tenemos:

$$ f(\pi) = 4\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 16 $$

7. Simplificar la expresión

Esto se simplifica a:

$$ f(\pi) = 2\pi\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 16 $$