Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas completas: a. x^4 - 5x^2 + 4 = 0 b. x^4 - 24x^2 - 25 = 0 c. 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 d. 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 e. 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 f.... Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas completas: a. x^4 - 5x^2 + 4 = 0 b. x^4 - 24x^2 - 25 = 0 c. 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 d. 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 e. 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 f. 4x^4 - 8x^2 - 5 = 0 Read more

Steps to Solve

1. Cambio de variable

Para resolver cada ecuación bicuadrada, realizamos un cambio de variable. Sea ( y = x^2 ). Entonces, cada ecuación bicuadrada se transforma en una ecuación cuadrática.

2. Resolviendo la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula general de la cuadrática ( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ) para resolver cada ecuación cuadrática. Aquí, ( a ), ( b ), y ( c ) son los coeficientes de cada ecuación transformada.

3. Encontrando los valores de ( x )

Después de encontrar los valores de ( y ), deshacemos el cambio de variable encontrando ( x ) usando ( x = \sqrt{y} ) y ( x = -\sqrt{y} ) cuando ( y ) es positivo.

a. ( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 )

Al hacer el cambio de variable ( y = x^2 ), se transforma a:

$$ y^2 - 5y + 4 = 0 $$

Usando la fórmula cuadrática:

$$ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} $$

Por lo tanto, ( y_1 = 4 ) y ( y_2 = 1 ). Luego:

• ( x = \sqrt{4} = 2 ) y ( x = -\sqrt{4} = -2 )
• ( x = \sqrt{1} = 1 ) y ( x = -\sqrt{1} = -1 )

b. ( x^4 - 24x^2 - 25 = 0 )

Transformamos a:

$$ y^2 - 24y - 25 = 0 $$

Resolviendo la cuadrática:

$$ y = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(1)(-25)}}{2(1)} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} $$

Esto lleva a ( y_1 = 25 ) y ( y_2 = -1 ) (descartamos ( y_2 )).

• Para ( y = 25 ), obtenemos ( x = \pm 5 ).

c. ( 4x^4 - 13x^2 + 9 = 0 )

Transformando a:

$$ 4y^2 - 13y + 9 = 0 $$

Resolviendo:

$$ y = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(4)(9)}}{2(4)} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{8} = \frac{13 \pm 5}{8} $$

Esto da ( y_1 = 2.25 ) y ( y_2 = 1 ).

• Para ( y_1 ): ( x = \pm \sqrt{2.25} = \pm 1.5 )
• Para ( y_2 ): ( x = \pm 1 )

d. ( 100x^4 - 29x^2 + 1 = 0 )

Transformamos a:

$$ 100y^2 - 29y + 1 = 0 $$

Resolviendo:

$$ y = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 - 4(100)(1)}}{2(100)} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{200} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{200} $$

Da ( y_1 = 0.2 ) y ( y_2 = 0.01 ).

• Para ( y_1 ): ( x = \pm \sqrt{0.2} )
• Para ( y_2 ): ( x = \pm \sqrt{0.01} )

e. ( 6x^4 + 5x^2 + 1 = 0 )

Transformamos a:

$$ 6y^2 + 5y + 1 = 0 $$

Resolviendo:

$$ y = \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} = \frac{-5 \pm 1}{12} $$

Esto da ( y_1 = -\frac{1}{3} ) y ( y_2 = -\frac{1}{2} ) (ambos negativos, así que no hay soluciones reales).

f. ( 4x^4 - 8x^2 - 5 = 0 )

Transformamos a:

$$ 4y^2 - 8y - 5 = 0 $$

Resolviendo:

$$ y = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(4)(-5)}}{2(4)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{8} $$

Esto da ( y_1 = 3 ) y ( y_2 = -\frac{1}{2} ).

• Para ( y_1 ): ( x = \pm \sqrt{3} )