Resolver los siguientes ejercicios: I) Factorizar las siguientes ecuaciones y conseguir las soluciones: a. X^2 + 5x + 6 = b. 4x^2 - 20xy + 25y^2 = c. 9z^2 -1= d. 6x^2 - 7x - 3 = e.... Resolver los siguientes ejercicios: I) Factorizar las siguientes ecuaciones y conseguir las soluciones: a. X^2 + 5x + 6 = b. 4x^2 - 20xy + 25y^2 = c. 9z^2 -1= d. 6x^2 - 7x - 3 = e. 8x^3 - 125= f. M^6 + 64n^9= II) Encontrar las soluciones a las ecuaciones dadas por formula general: a. 20x^2 + 7x - 6 = b. 16m + 15m^2 - 1= c. X^2 + 7x - 60= d. 25 - 36x^2 = III) Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a. x + 8 ≤ 3 x + 1 b. a + 2/4 ≤ a - 1 c. IV) Resolver las ecuaciones con valor absoluto: a. |3x/4 - 1| = 4 b. |3x - 1| - 4 = 0 c. |4x - 1| = -5 V) Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto: a. |-5x - 2| > 13 b. |3x/4 - 1| ≤ 4 VI) Buscar distancia, punto medio y gráfique en la recta los siguientes intervalos de ser posible: a. [2, 8] b. [-2/3, 7] c. [5, 1/7]
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo resolver una serie de ejercicios matemáticos relacionados con factorización de ecuaciones, soluciones de ecuaciones, inecuaciones y distancia en segmentos. Esto implica aplicar distintos métodos y fórmulas a los problemas planteados.
Answer
a. \( (X + 2)(X + 3) \), b. \( (2x - 5y)^2 \), c. \( (3z - 1)(3z + 1) \), d. \( x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3} \), e. \( (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) \), f. \( M^6 + 64n^9 \)
Answer for screen readers
Las factorizaciones son:
a. ( (X + 2)(X + 3) )
b. ( (2x - 5y)^2 )
c. ( (3z - 1)(3z + 1) )
d. Tiene soluciones ( x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3} )
e. ( (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) )
f. No factorizable: ( M^6 + 64n^9 )
Steps to Solve
- Factorización de la ecuación ( X^2 + 5x + 6 )
Para factorizar la ecuación cuadrática, buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5. Estos números son 2 y 3. Así, podemos escribir:
$$ X^2 + 5x + 6 = (X + 2)(X + 3) $$
- Factorización de la ecuación ( 4x^2 - 20xy + 25y^2 )
Este es un trinomio cuadrático que se puede escribir como un cuadrado perfecto:
$$ 4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2 $$
- Factorización de la ecuación ( 9z^2 - 1 )
Este es una diferencia de cuadrados:
$$ 9z^2 - 1 = (3z - 1)(3z + 1) $$
- Factorización de la ecuación ( 6x^2 - 7x - 3 )
Para esta ecuación, debemos encontrar dos números que cumplen la condición. Usando la fórmula general:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Utilizamos ( a = 6, b = -7, c = -3 ):
Calculamos el discriminante:
$$ b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(6)(-3) = 49 + 72 = 121 $$
Ahora los valores son:
$$ x = \frac{7 \pm 11}{12} $$
Las soluciones son ( x_1 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} ) y ( x_2 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} ).
- Factorización de la ecuación ( 8x^3 - 125 )
Este es una diferencia de cubos:
$$ 8x^3 - 125 = (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) $$
- Factorización de la ecuación ( M^6 + 64n^9 )
Este es una suma de cuadrados, que no se puede factorizar. Permanece como:
$$ M^6 + 64n^9 $$
Las factorizaciones son:
a. ( (X + 2)(X + 3) )
b. ( (2x - 5y)^2 )
c. ( (3z - 1)(3z + 1) )
d. Tiene soluciones ( x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3} )
e. ( (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25) )
f. No factorizable: ( M^6 + 64n^9 )
More Information
La factorización de polinomios es una técnica útil que simplifica el trabajo con ecuaciones algebraicas, permitiendo resolverlas más fácilmente. Las diferencias de cuadrados y los cuadrados perfectos son comunes en factorizaciones.
Tips
- No comprobar el discriminante: Esto puede llevar a no encontrar soluciones reales cuando son necesarias.
- Confundir diferencia de cuadrados con suma de cuadrados: La suma de cuadrados no se puede factorizar en números reales.
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