Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y) = (√x + 2y - 3) / ln(4y² - 5x)?
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para identificar o domínio da função f(x, y) = (√(x) + 2y - 3) / ln(4y² - 5x). Precisamos considerar as condições em que a expressão está definida, como a restrição da função logarítmica e a raiz quadrada.
Answer
O domínio da função é $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4y^2 - 5x > 0, x \geq 0\}$.
Answer for screen readers
O domínio da função é: $$ {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4y^2 - 5x > 0, x \geq 0} $$
Steps to Solve
- Condições da raiz quadrada
A expressão $\sqrt{x}$ deve ser não negativa, então temos a condição: $$ x \geq 0 $$
- Condições do logaritmo
A função $\ln(4y^2 - 5x)$ exige que seu argumento seja positivo: $$ 4y^2 - 5x > 0 $$
- Condições adicionais do logaritmo
Como não pode ser igual a zero, devemos incluir que: $$ 4y^2 - 5x \neq 0 $$ Portanto, combinamos isso com a condição anterior.
- Resumindo as condições
Agora que temos as duas condições:
- $x \geq 0$
- $4y^2 - 5x > 0$ e $4y^2 - 5x \neq 0$
Podemos expressar o domínio da função como: $$ {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0, 4y^2 - 5x > 0} $$
O domínio da função é: $$ {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 4y^2 - 5x > 0, x \geq 0} $$
More Information
Nesse problema, é importante considerar as condições que tornam a função definida, especialmente para funções que envolvem logaritmos e raízes quadradas. Uma área importante em matemática, chamada análise, estuda tais condições para funções.
Tips
- Negligenciar a condição do logaritmo: Muitos podem esquecer que o argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
- Não considerar a raiz quadrada negativa: É essencial lembrar que a raíz quadrada só existe para números não negativos.
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